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第四章 因式分解试题答案
1.C
2.C
3.C
4.B
5.A
6.C
7.A
8.C
9.D
10.B
11. a（a﹣4）
12. 15和17
13. 50
14.9
15. （b+2）（a+3） 3或﹣13
16.②④
17. (1) (2) 3（x﹣y）2
18. 答案不唯一略
19. （1）﹣84 （2）25 （3）±1．
20. （1）18是平和数（2）k＝4，
21.（1）
（2）
（3）①4 ②（1）（4）
22． （1）M1（3）＝27 M2（3）＝23+73＝351 M3（3）＝33+13＝28 M4（3）＝23+83＝520 M5（3）＝53+03＝125 M6（3）＝13+53＝126 M7（3）＝13+63＝217 ……
由此发现M1（3）与M7（3）的首位与末尾数字一样M2017（3）＝M7（3）＝13+63＝217
（2）正整数n的最小值是2．
23. （1）211428 212814 142128；（2）48100；（3）.
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(共15张PPT)
浙教版本 七年级
第4章 因式分解专题复习
题组1：因式分解概念
1.下列各式属于因式分解的是（ ）
A．（3x+1）（3x﹣1）＝9x2﹣1
B．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
C．a4﹣1＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）
D．9x2﹣1+3x＝（3x+1）（3x﹣1）+3x
C
2.下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+xy+x＝x（x+y）
B．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2）
C．a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1
D．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1）
D
概念：把一个多项式分解成几个整式积的形式叫因式分解 .
知识方法整理：
③右边是否是整式
②右边是否是乘积形式；
①左边是否是多项式
判断方法：
检验因式分解是否正确，只要将等式右边展开，看结果与左边的多项式是否相等。
题组2：提取公因式法
1.多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是（ ）
A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab
A
B
2.将多项式﹣2a2﹣2a因式分解提取公因式后，另一个因式是（ ）
A．a B．a+1 C．a﹣1 D．﹣a+1
D
3.将多项式x﹣ x 2因式分解正确的是（ ）
A． x （1﹣ x ） B． x （ x ﹣1）
C． x （1﹣ x 2） D． x （ x 2﹣1）
最大公因数
相同字母
一看系数
最低指数
二看字母
三看指数
公因式的确定：
提取公因式法的一般步骤：
（1）定：确定应提取的公因式
（2）除：多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式
（3）写：把多项式写成这两个因式的积的形式
题组3：公式法
B
1.下列各式中，能用平方差公式分解因式的有（ ）
①x2+y2； ②x2﹣y2； ③﹣x2+y2；
④﹣x2﹣y2； ⑤ ； ⑥x2﹣4
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2.下列因式分解中：
①x3+2xy+x＝x（x+2y）； ②x2+4x+4＝（x+2）2；
③﹣x2+y2＝（x+y）（y﹣x）；④x3﹣9x＝x（x﹣3）2，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
①只有两项
②符号相反
③每项都能写为某个式子的平方
①只有三项
②两项为平方项，且符号相同
③第三项为中间项，两数乘积的2倍
特征：
特征：
题组3：公式法
4.我们知道4x2+9不是一个多项式的完全平方，请你在它的后面添加一个单项式，使得结果变为一个多项式的完全平方.
3.如果代数式x2+mx+9＝（ax+b）2，那么m的值为 ．
题组4：因式分解
1.将下列多项式分解因式：
（1）x3﹣2x2 （2）4m2﹣25
（3）mn2﹣9m （4）x4-18x2+81
一“提”，二“选” ，三“验”.
1.因式分解步骤：
题后小结：
2.因式分解要彻底.
题组4：因式分解
2.给出三个多项式：a2+3ab﹣2b2，b2﹣3ab，ab+6b2，任请选择两个多项式进行加法运算，并把结果分解因式．
①（a2+3ab﹣2b2）+（b2﹣3ab）
＝a2+3ab﹣2b2+b2﹣3ab
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
②（a2+3ab﹣2b2）+（ ab+6b2 ）
＝a2+3ab﹣2b2+ab+6b2
＝a2+4ab+4b2
＝（a+2b）2
③（b2﹣3ab）+（ ab+6b2 ）
＝ b2﹣3ab + ab+6b2
＝ 7b2﹣2ab
＝b（7b-2a）
3.在以下三个整式中，任取其中的两个进行和或差的运算，使得计算后所得的多项式分别满足相应的要求并解答：
x4﹣2x2y2﹣y4、x4+y4、2x2y2．
(1)该多项式因式分解时，只运用了平方差公式；
(2)该多项式因式分解时，只运用了完全平方公式；
(3)该多项式因式分解时，既运用了提取公因式又运用了公式法．
(4)该多项式因式分解时，既运用了平方差公式，又运用了完全平分公式．
题组4：因式分解
题组5：因式分解求值问题
1.若a﹣b＝ ，则a2﹣b2﹣b的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
B
2.已知ab＝4，b﹣a＝7，则a2b﹣ab2的值是（ ）
A．11 B．28 C．﹣11 D．﹣28
D
3.若x2﹣xy+2＝0，y2﹣xy﹣4＝0，则x﹣y的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±
D
4.若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
A
求值问题，将结论进行因式分解，再将已知整体代入.
（2号作业本27页第8题）
6.已知：x、y满足：（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝41；则
x3y+xy3的值为 ．
-207
题组5：因式分解求值问题
题组6：因式分解整除问题
1.下列各数能整除224﹣1的是（ ）
A．62 B．63 C．64 D．66
B
2.232﹣1可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数是 ．
15和17
思路：利用平方差公式对算式不断进行因式分解.
将多顶式x2﹣3x+2分解因式x2﹣3x+2＝（x﹣2）（x﹣1），说明多顶式x2﹣3x+2有一个因式为x﹣1，还可知：当x﹣1＝0时x2﹣3x+2＝0．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
（1）若多项式x2+kx﹣8有一个因式为x﹣2，求k的值；
（2）若x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值．
题组7：待定系数法
（1）设x﹣2＝0，即当x＝2时，4+2k﹣8＝0，解得k＝2
（2）设x＝﹣2，则﹣16+4a﹣14+ b ＝0 ①
设x＝1，则2+a+7+ b ＝0 ②
由①，②得a＝13， b ＝﹣22
思路小结：
①设0
②求值
③代入
④求解
变式1 已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求m的值．
解： 设x+3＝0
解之得x＝-3
(-3)2-4×(-3)+m＝0
解得m＝-21
解：设另一个因式为x+n
得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
解之得得n＝﹣7 m＝﹣21
变式2 已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
思路小结：
①设另一个因式
②展开化简
③系数相等建方程组
④解方程组
待定系数法
题组7：待定系数法
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第4章 因式分解专题复习试题
姓名： 班级： .
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
2. 下列多项式中，能分解因式的是（ ）
A．m2+n2 B．﹣m2﹣n2 C．m2﹣4m+4 D．m2+mn+n2
3. 下列分解因式正确的是（ ）
A．x2﹣5x﹣6＝（x+2）（x﹣3） B．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x+3）
C．x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6） D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣1）（x+6）
4. 下列各式分解因式结果是（a﹣2）（b+3）的是（ ）
A．﹣6+2b﹣3a+ab B．﹣6﹣2b+3a+ab C．ab﹣3b+2a﹣6 D．ab﹣2a+3b﹣6
5. 若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
6. 计算：（﹣2）2020+（﹣2）2019＝（ ）
A．22020 B．﹣22020 C．22019 D．﹣22019
7. 若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8. 代数式x4﹣81，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（ ）
A．x+3 B．（x+3）2 C．x﹣3 D．x2+9
9. 已知（2x﹣10）（x﹣2）﹣（x﹣2）（x﹣13）可分解因式为（x+a）（x+b）．则ab的值是（ ）
A．8或 B． C． D．
10.不论x，y为何值，代数式的值（ ）
A. 总不小于7 B. 总不小于2 C. 可为任何有理数 D. 可能为负数
二．填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分
11. 因式分解：a2﹣4a= .
12. 232﹣1可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数是 .
13. 长方形的长宽分别为a，b，且a比b大5，面积为10，则a2b﹣ab2的值为 ．
14. 若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为 ．
15. 定义一种运算：(a，b)＝ab+2a+3b，例如：(﹣2，1)＝﹣2﹣4+3＝﹣3．则(a，b)+6要进行因式分解的结果为 ；如果x，y都是整数，且(x，y)＝1，那么x+y的值为 ．
16. 对于正整数m，若m＝pq（p≥q＞0，且p，q为整数），当p﹣q最小时，则称pq为m的“最佳分解”，并规定f（m）＝（如：12的分解有12×1，6×2，4×3，其中，4×3为12的最佳分解，则f（12）＝）．关于f（m）有下列判断：①f（27）＝3；②f（13）＝；③f（2018）＝；④f（2）＝f（32）．其中，正确判断的序号是 ．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 化简（本题6分）：
（1）（1）9a2﹣4 （2）3x2﹣6xy+3y2
18. 计算（本题8分）：
给出三个多项式：a2+3ab﹣2b2，b2﹣3ab，ab+6b2，任请选择两个多项式进行加法运算，并把结果分解因式．
19.（本题8分）
已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求a2b﹣ab2的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）求a+b的值．
20. （本题10分）
若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“平和数”，例如13是“平和数”，因为13＝22+32，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），我们称M也是“平和数”．
（1）请你写一个小于10的“平和数”，并判断18是否为“平和数”．
（2）已知S＝x2+5y2+4xy﹣4y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“平和数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
21. （本题10分）
如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、宽为a长为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
尝试解决：
(1)取图①的若干个三类图形都要取到拼成一个长方形，使其面积为（a+b）(a+b)，在下面虚线框中画出图形，并根据图形回答（a+b）(a+b)= ___ _ ．
(2)图②是由图①中的三种材料拼出的一个长方形，根据②可以得到并解释等式：___ ___ ．
(3)若取其中的若干个（要求三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为．
①你画的图中需要B类卡片______ 张；
②分解因式：= .
拓展研究：
如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用m、n表示四个直角三角形的两直角边边长（b>a），观察图案，以下关系式中正确的有____ __ 填写正确选项的序号
（1） （2） （3） （4）
22. （本题12分）
将一个正整数x的首位数字与末位数字先立方再求和得到一个新数（若x＜10，则直接将x立方得到新数），定义为M（x）运算．例如：M（2）＝23＝8，M（31）＝33+13＝28，M（102）＝13+23＝9，规定对某个正整数x进行第一次M（x）运算记作M1（x），第二次M（x）运算记作M2（x），……，第n次M（x）运算记作Mn（x），例如：M1（2）＝23＝8，M2（2）＝83＝512，M3（2）＝53+23＝133．
（1）求M2（3）和M2017（3）；
（2）若M5n（3）＝520，求正整数n的最小值．
23. （本题12分）
在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）．
（2）若x+y=14，xy=48，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．
（3）若多项式x2+（m﹣3n）x﹣7n因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为2434，求m、n的值．
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