第5章 分式单元能力测试卷（解析版+学生卷）

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【单元双测卷——能力测】
第5章 分式
说明：全卷满分120分，有三大题，共24小题.
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、填空题（本题有10小题，每题3分，共30分. 请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．分式的值为零，則x的值为（ ）
A．x=3 B．x=﹣3 C．x≠3 D．不能确定
2．下列等式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．若取整数，使分式的值为整数的值有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
4．已知，则的值是（ ）
A．9 B．8 C． D．
5．一项工程，甲单独做要x天完成，乙单独做要y天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的方程有解，则必须满足条件（ ）
A．a≠b ，c≠d B．a≠b ，c≠-d C．a≠-b ， c≠d D．a≠-b ， c≠-d
7．若0，则代数式（1）的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
8．若（+）?w=1，则w等于（ ）
A．a+2 B．﹣a+2 C．a﹣2 D．﹣a﹣2
9．若，则等于（ ）
A．x-1 B．x+1 C．-x D．x
10．已知，为实数且满足，，设，．①若时，；②若时，；③若时，；④若，则．则上述四个结论正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．某市为治理污水，需铺设一段全长为600米的污水排放管道，铺设120米后，为加快施工进度，后来每天铺设管道的长度比原来增加了20米，结果共用11天完成了这一任务，求原来每天铺设的管道长度．设原来每天铺设米管道，那么根据题意，可列方程______________．
12．如图，数轴上有四条线段分别标有①②③④，若x为正整数，则表示的值的点落在线段_________上（填序号）．
13．当分式与分式的值相等时，需满足__________．
14．某市对一段全长1500米的道路进行整修．原计划每天修x米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了_____天．
15．已知，则__________，__________．
16． 符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若，那么x＝_____．
三、解答题（本题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本题6分)解分式方程
（1） （2）

18．(本题6分)已知，求的值．


19．(本题6分)列方程解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2014年底开工．按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18分钟，最快列车时速是最慢列车时速的倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？


20．(本题8分)已知，，.
（1）化简和；
（2）先化简，然后从-1，0，1，2中选择一个适当的数代入求值.


21．(本题8分)关于x的方程：－＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．



22．(本题10分)为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买种图书花费了3000元，购买种图书花费了1600元，A种图书的单价是种图书的1.5倍，购买种图书的数量比种图书多20本．
（1）求和两种图书的单价；
（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了种图书20本和种图书25本，共花费多少元？




23．(本题10分)已知下面一列等式：
；；；；…
（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：
（2）验证一下你写出的等式是否成立；
（3）利用等式计算：.








24．(本题12分)阅读下面材料并解答问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为，可设，
则
∵对任意上述等式均成立，
∴且，∴，
∴
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和
解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
（2）求出的最小值．





答案及解析
1．B
【解析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．由此解答即可．
解：∵分式的值为零，∴x2﹣9=0且x﹣3≠0，
解得：x=﹣3．
故选B．
2．C
【解析】根据分式的化简求值，可知：
A. =，故不正确；
B. 已是最简分式，不能化简，故不正确；
C. =，故正确；
D. =-，故不正确.
故选：C.
3．B
【解析】把分式转化为，即可转化为讨论的整数值有几个的问题．
解：，
当2x?1＝±6或±3或±2或±1时，是整数，即原式是整数，
当2x?1＝±6或±2时，x的值不是整数，当2x?1＝±3或±1时满足条件，
故使分式的值为整数的值有4个，
故选：B．
4．D
【解析】根据 可知 即 ，把 分子、分母同时除以 得 ，把代入即可.
解：由得，即
=，
把代入得= ，
故选D
5．A
【解析】根据工程问题的关系：工作量=工作效率×工作时间，把总工作量看作单位“1”，可知甲的工作效率为，乙的工作效率为，因此甲乙合作完成工程需要：1÷（+）=.
故选A.
6．B
【解析】把a、b、c、d都看做已知数解方程，去分母，转化为关于x的整式方程，讨论x的系数，再讨论最简公分母≠0，得出结论．
解：方程两边都乘以d(b-x)，得
d(x-a)=c(b-x)，
∴dx-da=cb-cx，
即(d+c)x=cb+da，
∴当d+c≠0，即c≠-d时，原方程的解为x=，
由题意知还要满足b-x≠0，即≠b，
所以b≠a，
当c+d=0时，c=-d，0x=d(a-b)，
∴当a=b时，方程有无数个解，
故选B.
7．A
【解析】由0，得2b＝3a，把根据分式运算法则进行化简，再代入已知值计算即可.
解：（1）


，
∵0，
∴2b＝3a，
∴原式2，
故选：A．
8．D
【解析】将方程整理得： 则 即 解得： .故选D.
9．D
【解析】∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选D.
10．D
【解析】对于①，可知，，若时，，正确；
对于②，也可分析得到；对于③④同样如此.
解：对于①，可知，，若时，，正确；
对于②，也可分析得到；对于③④同样如此.
11．答案不唯一，如．
【解析】根据题目中的数量关系：120米施工天数+480米施工天数=11天，列出相应方程，本题可以解决．
解：由题意得
故答案为：．
12．②
【解析】先根据分式的基本性质通分，约分对原分式进行化简，然后分析化简后的结果的范围即可得出答案．
解：
∵x为正整数

∴表示的值的点落在线段②上，
故答案为：②．
13．x≠±1
【解析】先化简，可知两式相等的条件是两个分式都有意义据此可求．
解：
因而两式相等的条件是两个分式都有意义．
∴x2-1≠0，
∴x≠±1．
故答案是: x≠±1．
14．
【解析】等量关系为：实际用时=实际工作总量÷实际工效．
解：实际工作量为1500，实际工效为：2x+35．
故实际用时=.
故答案是：.
15．3 2
【解析】先把等式的右边通分，再与左边相比较即可得出结论.
解：右边=
=.
∵
∴,
解得，.
故答案为：3，2.
16．4．
【解析】先根据题意得出方程 ，解这个分式方程即可得解.
解：∵，
，
方程两边都乘以x﹣1得：2+1＝x﹣1，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣1≠0，1﹣x≠0，
即x＝4是分式方程的解，
故答案为：4．
17．（1）x=1；（2）原方程无解．
【解析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：1+2（x-3）=x-4，
去括号得：1+2x-6=x-4，
移项合并得：x=1，
检验：当x=3时，x-3≠0，
∴x=1是原方程的解；
（2）去分母得：3（5x-4）=2（2x+5）-3（x-2）
去括号得：15x-12=4x+10-3x+6
移项合并同类项得：14x=28
系数化为1得：x=2．
检验：当x=2时，2x-4=0，
∴x=2不是原方程的解；
∴原方程无解．
18．.
【解析】先将分式化简，然后将代入即可求出答案．
解：原式.
∵，∴原式.
19．京张高铁最慢列车的速度是180千米/时．
【解析】设京张高铁最慢列车的速度是x千米/时，则最快列车的速度是x千米/时，根据等量关系：京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18分钟，列出方程求解即可．
解：设京张高铁最慢列车的速度是x千米/时，由题意，得
，
解得x＝180，
经检验，x＝180是原方程的解，且符合题意，
答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时．
20．（1）； ；（2）
【解析】（1）将A、B中的分子、分母进行因式分解后再约分即可得到结果；
（2）先根据分式的基本性质化简原式，然后根据分式有意义的条件选一个适当的数代入即可求出x的值．
解：（1）
，
（2）
，
，
，
.
∵，，
∴且
∴.
当时，原式
21．（1）x＝－2；（2）a＝－3.
【解析】（1）将a=3代入,求解－＝1的根,验根即可,
（2）先求出增根是x＝1，将分式化简为ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值.
解：(1)当a＝3时，原方程为－＝1,
方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，
解这个整式方程得x＝－2，
检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解．
(2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，
若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，
将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
22．（1）种图书的单价为30元，种图书的单价为20元；（2）共花费880元．
【解析】（1）设种图书的单价为元，则种图书的单价为元，根据数量＝总价÷单价结合花3000元购买的种图书比花1600元购买的种图书多20本，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量，即可求出结论．
解：（1）设种图书的单价为元，则种图书的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：种图书的单价为30元，种图书的单价为20元．
（2）（元）．
答：共花费880元．
23．（1）一般性等式为；（2）原式成立；详见解析；（3）.
【解析】（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算；（3）根据前两部结论进行计算.
解：（1）由；；；；…，
知它的一般性等式为；
（2），
原式成立；
（3）
.
24．（1）3+；（2）8
【解析】（1）直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可；
（2）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：（1）=
=
=3+；
（2）由分母为，
可设，
则
．
∵对于任意的x，上述等式均成立，
∴
解得
∴
．
∴当x=0时，取得最小值8，即 的最小值是8．

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