(共25张PPT)
第五章 整式的乘除
同底数幂的乘法（一）
102 × 105 × 10 7 等于多少呢？
2002年9月，一个国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第100颗行星，距离地球约100光年.1光年是指光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×105 千米/秒.
一年以3×107 秒计算，第100颗行星与地球之间的距离约为多少千米？
3×105
× 3×107
= 9
×102×105 × 107
102
×
（千米）
试试看，你还记得吗？
1、2×2 ×2 = 2( )
2、a·a·a·a·a = a( )
3、a · a · · · · · · a = a( )
n个
3
5
n
4、 x4=
x· x· x· x
乘方的意义
底数
= a·a· … ·a
n个a
幂
指数
思考：观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？
(1) 23×22 ＝( ) ×( )
＝ ＝2( )
填一填
(2) 4× 3 ＝( ) ×( )
＝ ＝ ( )
(3) ＝( ) ×( )
＝ ＝5( )
＝23＋2
2×2×2
2×2
2×2×2×2×2
5
7
＝ 4＋3
5×5×…×5
5×5×…×5
5×5×…×5
猜想：am · an ＝ （m、n都是正整数）
猜想: am · an= (当m、n都是正整数)
am · an =
m个a
n个a
= aa…a
=am+n
(m+n)个a
即
am · an = am+n (当m、n都是正整数)
（aa…a）
（aa…a）
am+n
（乘法结合律）
（乘方的意义）
即
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
底数不变
指数相加
猜想: am · an= (当m、n都是正整数)
am · an = am+n (当m、n都是正整数)
一般地，如果m，n都是正整数，那么
am · an · ap 等于什么？
想一想:
猜想:
am· an· ap = am+n+p （m、n、p都是正整数)
方法1
am·an·ap
=(am· an ) · ap
=am+n· ap
=am+n+p
方法2
am·an·ap
=(a·a· … ·a)(a·a· … ·a)(a·a· … ·a)
n个a
m个a
p个a
=am+n+p
am · an = am+n (当m、n都是正整数)
同底数幂相乘,
想一想： 当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也 具有这一性质呢？ 怎样用公式表示？
底数 ，指数 。
不变
相加
同底数幂的乘法法则：
请你尝试用文字概括这个结论。
我们可以直接利用它进行计算.
如 43×45=
43+5
=48
如 am·an·ap =
am+n+p
注意:
条件：①乘法 ②同底数幂
结果：①底数不变 ②指数相加
下面的几个幂中哪些是同底数的幂？
= 34
= 1010
= (-3)5=-35
= a m+n+l
（5）78×73= = ； （ 6）x3 · x2 · x5 = = ；
78 + 3
711
x3 +2+ 5
x10
2.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
（1）b5 · b5= 2b5 （ ） （2）b5 + b5 = b10 （ ）
m + m3 = m + m3
b5 · b5= b10
b5 + b5 = 2b5
x2 · x3 = x5
(-7)8 · 73 = 711
a · a6 = a7
×
×
×
×
×
×
判一判
（3）x2 ·x3 = x6 ( ) （4）(-7)8 · 7 3 = (-7)11 ( )
（5）a · a6 = a6 ( ) （6）m + m3 = m4 ( )
通过上面的练习你认为同底数幂的乘法法则的应用应注意什么
1.同底数幂相乘时,指数是相加的
2.注意 am · an 与am + an的区别
3.不能疏忽指数为1的情况
例1、计算： (1) 78×73 (2) (-2)8×(-2)7
(3) a·a3 (4) (a-b)2×(a-b) (5) b·b3·b5
(6) (-11)5×113
解：(1) 78×73
(3) a · a3
(2) (-2)8×(-2)7
(4) (a-b)2×(a-b) =(a-b)2+1 =(a-b)3
=78+3
=711
=(-2)8+7
=(-2)15
= a 1+3
=a4
=-215
(6) (-11)5×113
=-115×113
=-115+3
=-118
公式中的a可代表一个数、字母、式子等.
练一练:
运用同底数幂的乘法法则计算下
列各式,并用幂的形式表示结果：
2 7 × 23 (2) (-3) 4 × (-3)7
(3) (-5) 2 × (-5)3 × 54 (4) (x+y) 3× (x+y)
解: (1) 2 7 × 23 = 27+3 = 210
(2) (-3) 4 × (-3)7 = (-3) 4+7 = (-3)11 = -3 11
(-5) 2 × (-5)3 × 54
= (-5) 2 × (-5)3 × (-5)4 = (-5) 2+3+4
=(-5)9 = -5 9
(4) (x+y) 3× (x+y)= (x+y) 3+1= (x+y)4
解：
3840亿次
=3.84×103×108次
24时
=24×3.6×103秒
（3.84×103×108 ）×（24×3.6×103）
=（3.84×24×3.6）×（103×108×103）
= 331.776×1014
≈ 3.32×1016（次）
答：它一天约能运算3.32×1016次.
例2 我国自行研制的“神威Ⅰ”计算机的峰值运算速度达到每秒3840亿次。如果按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次？ （结果保留3个有效数字）
开头问题：2002年9月，一个国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第100颗行星，距离地球约100光年。1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约3×105km/s。这颗行星距离地球多远(一年为365天计算，结果保留三个有效数字）？
解：
9×102×105 × 107
=9×102+5+7
=9 ×1014（千米）
答:第100颗行星与地球之间的距离约为 千米
9 ×1014
已知
则正整数 的值有（ ）
（A）1对 （B）2对 （C）3对 （D）4对
已知
则
能力挑战:
填空：
（1） 8 = 2x，则 x = ；
（2） 8× 4 = 2x，则 x = ；
（3） 3×27×9 = 3x，则 x = .
3
5
6
23
23
3
25
36
22
×
=
33
32
×
×
=
已知：am=2， an=3.
求am+n =？am +3 =？am+n + 2 =？
动脑筋
解： am+n = am · an
=2 × 3=6
am · an =am+n(m,n都是正整数）
同底数幂的乘法法则：
说说你的收获吧……
am· an· ap = am+n+p （m、n、p都是正整数)
快乐小结
同底数幂的乘法运算注意点
推论：
1、
2、
3、
注意：同底数幂相乘时,
底数 ，指数 .
不变
相加
1.必做题：课本第105页 A 组
作业本（2）第22页
2.选做题：课本第106页 B 组
x4+n
b2n
2x+2 =
2x .
22 = 5 × 4
=20(共24张PPT)
第五章 整式的乘除
同底数幂的乘法（三）
积的乘方
温故而知新，不亦乐乎。
幂的意义:
a·a· … ·a
n个a
an
=
同底数幂的乘法运算法则：
am · an
=
am+n
（m,n都是正整数）
幂的乘方运算法则:
(am)n= (m、n都是正整数)
amn
下面的计算对吗？错的请改正:
×
×
×
×
×
√
① a3·a4· a = （ ）
②（a3）5 = （ ）
③ 3×a2×5 = ( ）
a８
a15
15a2
同底数幂相乘
幂的乘方
乘法交换律、结合律
正确写出得数，并说出是属于哪一种幂的运算。
思考题：
1、若 am = 2, 则a3m =_____.
2、若 mx = 2, my = 3 ,
则 mx+y =____, m3x+2y =______.
8
6
72
动脑筋！
合作学习
（1）根据乘方的意义（幂的意义）
和 同底数幂的乘法法则
（4×6）3 表示什么？
（4×6）3＝（4×6）·（4×6）·（4×6）
＝（4×4×4）·（6×6×6）
＝43×63
（2）那（a b）3又等于什么？
探索与交流
(1) 根据乘方定义(幂的意义)，(ab)3表 示什么
探索 & 交流
参与活动：
(ab)3=
ab·ab·ab
(2) 为了计算(化简)算式ab·ab·ab，可以应用乘法的
交换律和结合律。
又可以把它写成什么形式
=a·a·a · b·b·b
=a3·b3
(3)由特殊的 (ab)3=a3b3 出发, 你能想到 一般的公式 吗
猜想
(ab)n=
anbn
的证明
在下面的推导中，说明每一步(变形)的依据：
(ab)n = ab·ab·……·ab ( )
=(a·a·……·a) (b·b·……·b) ( )
=an·bn． ( )
幂的意义
乘法交换律、结合律
幂的意义
n个ab
n个a
n个b
(ab)n =
an·bn
上式显示:
积的乘方
(ab)n =
an·bn
积的乘方
乘方的积
（m,n都是正整数）
= 把积的每个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘．
积的乘方法则
你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗
(a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗
即 “(a+b)n= an·bn ” 成立吗？
又 “(a+b)n= an+an ” 成立吗？
公 式 的 拓 展
三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质
怎样用公式表示
(abc)n=an·bn·cn
怎样证明
有两种思路______ 一种思路是利用乘法结合律，把三个因式积的乘方转化成两个因式积的乘方、再用积的乘方法则;
另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法：乘方的意义、乘法的交换律与结合律.
方法提示
试用第一种方法证明:
(abc)n=[(ab)·c]n
=(ab)n·cn
= an·bn·cn.
【例4】计算：
(1)(2b)5 ; (2)(3x )6 ; (3)(-x y )3 ; (4)
=25b5
= 32b5
(1) (2b)5
解：
(2) (3x )6
= 36 ( x3 ) 6
= 36x18
(3) (-x y ) 3
= -(x )3 ( y2 )
= - x9 y6
(4)
= 729x18
随堂练习
思 考：a 6y 3 ＝（ )3 81x 4y 10＝（ )2
填空:
(1)
(2)
(4)
(3)
( )
( )
( )
( )
思考：
(-a)n= -an(n为正整数），对吗？
当n为奇数时， (-a)n= -an(n为正整数）
当n为偶数时， (-a)n=an(n为正整数）
(体现了分类的思想）
【例5】木星是太阳系九大行星中最大的一颗，木星可以近似地看做球体。已知木星的半径大约是7×104 km，木星的体积大约是多少km3 ？（ p 取3.14）
解：
=
×(7×104)3
=
×
73×1012
(km3)
注意
运算顺序 !
即它的体积大约是 1.44 ×1015 km3
≈
3
4
×3.14 × 343× 1012
≈1436 ×1012
≈1.44 ×1015
1、口答：(1)(ab)6=（ ） (2)(-a)3 = （ ）
(3)(-2x)4 = （ ） (4)(ab)3 = （ ）
(5)(-xy)7 = （ ） (6)(-3abc)2 =（ ）
(7)[(-5)3]2 =（ ） (8)[(-t)5]3 =（ ）
２、下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
(1)(ab2)2=ab4; (2)(3cd)3=9c3d3;
(3)(-3a3)2= -9a6; (4)(－x3y)3= － x6y3;
（5)(a3+b2)3=a9+b6
×
×
×
×
√
公 式 的 反 向 使 用
试用简便方法计算:
(ab)n = an·bn
（m,n都是正整数）
反向使用:
an·bn = (ab)n
(1) 23×53 ;
(2) 28×58 ;
(3) (-5)16 × (-2)15 ;
(4) 24 × 44 ×(-0.125)4 ;
= (2×5)3
= 103
= (2×5)8
= 108
= (-5)×[(-5)×(-2)]15
= -5×1015 ;
= [2×4×(-0.125)]4
=( -1)4
= 1 .
本节课你的收获是什么？
幂的意义:
a·a· … ·a
n个a
an
=
同底数幂的乘法运算法则：
am · an=am+n
积的乘方运算法则: (ab)n=anbn
积的乘方= .
反向使用am · an =am+n、(am)n =amn 可使某些计算简捷。
每个因式分别乘方后的积
1.必做题：课本第110页 A 组
作业本（2）第23页
2.选做题：课本第110页 B 组
智能挑战
在255，344，433，522，这四个幂的数值中，
最大的一个是_______
344
能力挑战 你能用简便的方法计算下列各题：
2.若Xa=2, yb=3, 求(x3a+2b)2的值.
1.已知x =2，y =3，求(x 2 y) 的值。
2n
n
n
(1) 已知，当x=2时， ax3 +bx+1的值为6，
求 当x=2时，ax3 +bx+1的值
（2） 1+2+22+23+……+264
祝同学们 学习进步!
再 见(共17张PPT)
5.6同底数幂的除法(2)
(1) 53 ÷ 53 =____;
(2) 33 ÷ 35 = = =
(3) a2 ÷a5 = =
合作学习1.填空:
35
33
( )
1
3( )
1
a( )
1
3 ×3
2
3
2.讨论下列问题:
(1) 同底数幂相除法则 am÷an=am–n (a≠0)中,m,n必须
满足什么条件
(2) 要使53 ÷ 53 = 53-3也能成立,你认为应当规定50 等于
多少 更一般地, a0 (a≠0)呢
(3) 要使33 ÷ 35 = 3 3 -5和a2 ÷a5 =a2-5也成立,应当规定3-2
和a-3分别等于什么呢
1
a2
a5
50 =1
(a≠0, m,n都是正整数，且m＞n)
a0 =1
3-2=
a-3=
我们规定：
任何不等于零的数的零次幂都等于1
我们规定：
任何不等于零的数的-p(p 是正整数)次幂,等于
这个数的p次幂的倒数.
指数从正整数推广到了整数，正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用。
第一关：法官审判
（1）下列计算对吗？为什么？ 错的请改正。
①（－3）0=－1
②（－2）－1 ＝1
③ 2－2=－4
④a3÷a3=0
⑤ ap·a－p =1 （a≠0）
例1. 用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值
(1) 10-3 (2) (-0.5)-3 (3) (-3)-4
第二关：学以致用
(4)
第三关：牛刀小试
1、用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值
(1) 100-2 (2) (-1)-3 (3) (-0.1)-2
(6)
(4) （-71）-1 (5) 0.1-3
第四关：激流勇进
（计算）
(1) 950 ×(-5)-1 (2) 3.6× 10-3
(3) a3 ÷(-10)0 (4) (-3)5 ÷36
（5）
第五关：快乐点击
3.5 －10
探究延伸，建立模型
做一做：
将0.000 05输入计算器，再将它乘以0.000 007，观察你的计算器的显示，它表示什么数？
显示为:
与你的同伴交流计算器是怎样表示绝对值较小的数。
这其实是一种用科学记数法来表示很小的数
10
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
规律是:小数中从小数点左边一个零算起，至1前的零的个数，就是10的负整数指数幂的指数的绝对值。即0.000 ……01=10－n
n个0
练一练1. 把下列各数表示成 a ×10n ( 1≤a< 10,n为整数)
的形式
(1) 12000
(2) 0.0021
(3) 0.0000501
2、用小数表示下列各数：
①1.6×10－3
②－3.2×10－5
（1） 已知 2n=8,则4n-1=
(2) a10÷ an= a4 ，则n=
(3) 812-x=27x+4,则 x=
(4) x2-3x+1=0, 求x2+x-2的值
知识点
① a0=1（a≠0）
② a－p= （a≠0，p是正整数）
③ 用科学记数法表示较小的数(共23张PPT)
乘法公式（2）
完全平方公式
公式的结构特征:
左边是
a2 b2;
两个二项式的乘积,
平方差公式
应用平方差公式的注意事项:
回顾 & 思考
(a+b)(a b)=
即两数和与这两数差的积.
右边是
这两数的平方差.
使用平方差公式(a+b)(a-b)=a -b 时，关键在于
找准_a__与_b__，公式左边积的两个因式中相同的
项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b。
想一想：下列各式能用平方差公式计算吗
运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式
(1)(3+x)2
=(3+x)(3+x)
=9+6x+x2
观察以上算式，你发现了什么规律？
(a+b)2=
a2 +2ab
+ b2
两数和的平方,等于这两数的平方和,加上这两数积的2倍
(2) (a+b)2 =
= a2+2ab+b2 .
(a+b)(a+b)
=9+3x+3x+x2
= a2+ab+ab+b2
算一算你发现什么
a
a
b
b
你能用右图形的面积直观的表示两数和的平方公式呢
两数和的完全平方公式 (a+b)2 =
a2 +2ab
+ b2
做一做:用两数和的完全平方公式计算(填空):
(a+1) 2 =____2 +2 . ___ . ___ + ___2 =_____________
(2) (2a+3b)2 =____2 +2 . ___ . ____+____2=____________
a
a
1
1
a2+2a+1
(2a)
3b
(3b)
2a
4a2+12ab+9b2
两数和的完全平方公式 (a+b)2 =
a2 +2ab
+ b2
提问:（a－b）2等于什么？
是否可以写成[a＋（-b）]2 你能继续做下去吗？
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
a
a
b
b
(a-b)
a
ab
ab
b
b
b
完全平方差公式：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2的图形理解
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式
首平方，尾平方，首尾两倍中间放
公式变形为
（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
两数和的完全平方公式 (a+b)2 = a2+2ab+b2 .
两数差的完全平方公式 (a b)2 = a2 2ab+b2 .
这两个公式的区别与联系是什么
提示:
以上两个公式统称完全平 方公式.
平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
一般的，我们有以下两数和的完全平方公式：
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a 1)2＝2a2 2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) ( a 1)2＝ a2 2a 1.
解: (1)
第一数被平方时, 未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ;
应改为: (2a 1)2＝ (2a)2 2 2a 1+1;
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);
应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2 2a 1 +1;
(3) 第一数平方未添括号,
第一数与第二数乘积的2倍 错了符号;
第二数的平方 这一项错了符号;
应改为: ( a 1)2＝( a)2 2 ( a ) 1+12;
纠 错 练 习
(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
(a b)2 = a2 2ab+b2 .
课内练习：运用完全平方公式计算。
(2) (-2a2+b)2
例2、运用完全平方公式计算：
(1) ( 4a2 - b2 )2
(3) (2a-3b)2-2a(a-b)
生活在线：一花农有1块正方形茶花苗圃，边长为am。现将这块苗圃的边长都增加1.5m，求这块苗圃的面积增加了多少m 。
a
a
1.5
1.5
(a+1.5) -a
=a +3a+2.25-a
= 3a+2.25
例3：一花农有4块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m。现将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少m 。
解：设原正方形苗圃的边长为am,边长都增1.5m，
新正方形的边长为（a+1.5）m，
（a+1.5）2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25
当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55
当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75
类似地，当a=30， a=27时， 3a+2.25的值分别为92.25，83.25。
答：苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2,
92.25m2,83.25m2.
1、计算：
2、若 ，则
= 。
发散练习,勇于创新
1.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )
(A ) 11 (B) 9 (C) -11 (D) -9
2.已知(a+b)2=11 , ab=1 , 求(a-b)2的值.
B
完全平方公式
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
我们把完全平方和公式与完全平方差公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；
(2) (a - b)2 与 (b - a)2
(3) (-b +a)2 与(-a +b)2
(1) (-a -b)2 与(a+b)2
1、比较下列各式之间的关系：
相等
相等
相等
2、下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2
错
错
错
错
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x +y)2 =x2+2xy +y2(共20张PPT)
复习引入
(am)n=
amn
(ab)n=
anbn
M
P
F
E
D
C
B
A
如图，点M是AB的中点，点P在MB上，分
别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方
形PBEF.设AB=4a，MP=b，正方形APCD
与正方形PBEF的面积之差为S.
(1)用a,b的代数式表示S；
(2)当a=4,b=0.5时，S的值
是多少？怎样计算才比
较简便？
(2a+b)2-(2a-b)2
=8ab
整式的化简应遵循先乘方、再乘除、
最后算加减的顺序。
能运用乘法公式的则运用公式。
例1
（1）（2x－1)(2x＋1）－（4x＋3)(x－6）
（2）（2a＋3b）2－4a（a＋3b＋1）
解：（1）原式=
4x2 －1 －
=4x2 －1 －(4x2 －21x －18)
=4x2 －1 －4x2 +21x +18
=21x +17
（2）原式=
4a2+12ab+9b2
=9b2 －4a
(4x2 －24x+3x －18)
－4a2 － 12ab － 4a
（1）先观察所要化简的整式，其中含有哪
些运算？确定运算的顺序。
（2）各种运算应遵循怎样的运算法则？乘法
公式是否适用？
（3）结果的形式应保持最简，有同类项的必须
合并同类项。
注意：
(1) (x+6)2-(3+x)(3-x)
(2) 3x(x2+3x+8)+(-3x-4)(3x-4)
(3) (2x-5y)(2x+5y)-(2x+y)2
(1)2x2+12x+27 (2)3x3+24x+16 (3)-26y2-4xy
一块手表原价100元，降价10％，
则现价为_____元。
90
2. 一块手表原价a元，降价x％，则
现价为_______元。
a(1-x％)
3. 一块手表原价a(1-x％)元，降价x％，则现价为_________元。
a(1-x％)2
1. 一块手表原价a元，涨价x％，则
现价为_________元。
a(1+x％)
2. 一块手表原价a元，连续两次涨价
x％，则现价为_________元。
a(1+x％)2
甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这
两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的
销售额平均每月减少x%。
（1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？
（2）如果a=150，x=2，那么5月份甲超市的销售额
比乙超市多多少万元？
上海家乐福超市
实际应用
3月份
4月份
5月份
甲超市
销售额
乙超市
销售额
a
a
a(1＋x%)
a(1－x%)
a(1＋x%) (1＋x%)
= a(1＋x%)2
a(1－x%) (1－x%)
= a(1－x%)2
太好了！我们一起努力。
甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这
两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的
销售额平均每月减少x%。
（1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？
3月份
4月份
5月份
甲超市
销售额
乙超市
销售额
a
a
a(1＋x%)
a(1＋x%) x(1＋x%)
= a(1＋x%)2
a(1－x%) x(1－x%)
= a(1－x%)2
a(1－x%)
差额为：
a(1＋x%)2－a(1－x%)2
=a(1＋——＋—— )
2x
100
10000
x2
= ——(万元)
25
ax
解：当a=150，x=2时，
—— = ———
25
ax
=12（万元）
25
150×2
要加油啊！
100
10000
－a(1 －——＋—— )
2x
x2
（2）如果a=150，x=2，那么5月份甲超市的销售额
比乙超市多多少万元？
2、有两个圆，较大圆的半径为r，较小圆的
半径比较大圆的半径小3mm，求两圆的面积差，
当r=10mm时，面积之差是多少？
当r=15mm时呢？
1、当
时，求代数式
的值
练一练
已知x+y=3，xy=1，求x2+y2与(x-y)2的值.
x2+y2=(x+y) 2-2xy=32-2=7
(x-y) 2=(x+y) 2-2xy-2xy=32-4=5
1、已知 x + y =10，xy=24，
则 x2 + y2 = ;
52
2、已知 x + y =3， x2 + y2 =7，
则 xy = ;
1
观察下列各式：
52=25
152=225
252=625
352=1225
……
小组合作,
探究推理
你能口算末位数是
5的两位数的平方吗？
试说明理由。
52=25
152=225
252=625
352=1225
452=2025
……
752=5625
852=7225
可写成 ＋25
可写成 ＋25
可写成 ＋25
可写成 ＋25
可写成 ＋25
……
可写成
可写成
100×1×（1＋1）
100×2×（2＋1）
100×3×（3＋1）
100×4×（4＋1）
（1）探索规律：
100×0×（0＋1）
（2）归纳、猜想 ：
（3）根据上面的归纳、猜想，试计算：
20052= 。
100×7×8 ＋25
100×8×9 ＋25
4０20025
真厉害！
（10n＋5）2= 100n2+100n+25= 100ｎ(ｎ+１) +25
一、你能说出这节课的收获吗？
二、应用整式解决实际问题的基本过程：
列代数式 化简 求值(共27张PPT)
1.用字母表示幂的运算性质：
2．计算：
温故知新：
“阿波罗－11”号
宇航员在月球上
月球是距离地球最近的天体，它与地球的平均距
离约为 米。如果宇宙飞船以
米/秒的速度飞行，到达月球大约需要多少时间？
合作学习：
月球是距离地球最近的天体，它与地球的平均距
离约为 米。如果宇宙飞船以
米/秒的速度飞行，到达月球大约需要多少时间？
合作学习：
观察 & 归纳
仔细观察一下，并分析与思考下列几点：
(被除式的系数)÷ (除式的系数)
写在商里面作因式。
(被除式的指数) —(除式的指数)
商式的系数＝
单项式除以单项式，其结果(商式)仍是
被除式里单独有的幂，
(同底数幂) 商的指数＝
一个单项式;
理解
商式＝系数 同底的幂 被除式里单独有的幂
底数不变，
指数相减。
保留在商里
作为因式。
单项式的除法法则：
单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式。
例1、计算：
（3）8（2a＋b）4÷（2a＋b）2
解：原式=〔－1÷（－ ） 〕·a7-1·x4-4·y3-2
= a6y
解：原式=〔2×（－3）÷4〕·a2-1·b1+2-3·c
= － ac
练一练：
1、计算
2、下列计算错在哪里 应怎样改正
错
错
×
×
×
×
（3）4a8 ÷2a 2= 2a 4 ( )
（4）10a3 ÷5a2=5a ( )
（5）(-9x5) ÷(-3x) =-3x4 ( )
（6）12a3b ÷4a2=3a ( )
系数相除
同底数幂的除法，底数不变，指数相减
只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指数写在商里，防止遗漏.
求系数的商，应注意符号
3、填一填：
（1）3a2÷（6a6）·（－2a4）=（ ）
（2）（ ）·3ab2=－9ab5
（3）（－12a3bc）÷（ ）=4a2b
-1
-3b3
-3ac
（4）
（5）-a5x3y÷(-4ax2y)
（6）2a2b(-3b2c3) ÷4a3b2
4、看谁算得既快又对：
(7)7a8b3c6 ÷(2a3b2)2.(-4a2bc)3
（1） –12a5b3c÷(–4a2b)=
（2）(–5a2b)2÷5a3b2 =
（3）4(a+b)7 ÷ (a+b)3 =
2
1
（4）(–3ab2c)3÷(–3ab2c)2 =
3a3b2c
5a
8(a+b)4
–3ab2c
做一做：
比一比，看谁最聪明：
（1）(ad+bd)÷d=__________
（2）(a2b+3ab)÷a=_________
（3）(xy3-2xy)÷(xy)=_______
a+b
ab+3b
y2-2
你对以上的解题过程中发现了什么吗？
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
你能总结多项式除以单项式的法则吗
多项式除以单项式的法则:
例2、计算
1、计算
练一练：
（3）（-4a3b2+8ab3）÷（4ab2）
（4）（5x3-2x2+6x） ÷3x
（5）（2x2y3）.（-7xy2） ÷（14x4y3）
（6） 3a+4
（7）
（8）
（9）
2、下列错在哪里？应怎样改正？
3、填一填：
(4) (4c3 d4- ) ÷（-3c2d)
1、系数相除；
2、同底数幂相除；
3、只在被除式里的幂不变。
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，
再把所得的商相加。
本节课你的收获是什么？
单项式相除
多项式除以单项式
m
m
(3)
( )
=1
(2)
2
（1）
多项式
它除以 ，其商式应是（ ）项式，
商式为
一共有（ ）项
拓展练习：
（4） 计算:
3、任意给一个非零数，按下列程序计算下去，写出输出结果
= m
输入m
平方
+m
-1
输出
÷m(共27张PPT)
第五章 整式的乘除
同底数幂的乘法（二）
幂的乘方
回忆:
其中m , n都是正整数
同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
练 习
如果这个正方体的棱长是 42 cm,那么它的体积是 cm3.
你知道 (42)3 是多少个 4 相乘吗
你知道吗？
(42)3
做一做
合作学习：
根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则填空：
4
4
4
2
3
5
3
3
3
3
3
（其中m , n都是正整数）
试猜想探索
想一想
下式从左边到右边是怎样变化的？
幂的乘方，底数不变，
指数相乘。
幂的乘方法则
（其中m n都是正整数）
想一想（小组讨论）
（am）n与（an）m相等吗？为什么？
如果这个正方体的棱长是 42 cm,那么它的体积是 cm3.
你知道 (42)3 是多少个 4 相乘吗
现在你知道吗？
(42)3
知道 (42)3 是6个 4 相乘,即
例1 计算：
解：
例2 计算：
解:原式=
解:原式=
例3 把
化成
的形式。
解：
想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？
幂的乘方法则：
（其中m , n都是正整数）
同底数幂的乘法法则：
底数不变
指数相乘
指数相加
同底数幂相乘
幂的乘方
其中m , n都是正整数
下面的计算对吗？错的请改正:
×
×
×
×
×
×
⑴ (a2)4
⑵(b3m)4
⑶ (xn)m
⑷ (b3)3
⑸ x4·x4
⑹ (x4)7
⑻ (a3)3
⑽ (x6)5
⑺ －(y7)2
⑾ [(x+y)3]4
⑼ [(－1)3]5
⑿ [(a+1)3]n
口答：
抢 答：
⑴ (an+1)2
⑵ (am)3
⑶ (410)5
⑷ [(－1)3]4
⑸ －4(a2)3
⑹[(a+b)2]5
⑺ (mn)n+1
⑻ (x2a)3
⑼ (y3)m+3
1.计算：
⑴ (a2)3 ⑵ a2·a3 ⑶ (y5)5 ⑷ y5·y5
2.计算：
⑴ (x2)3· (x2)2 ⑵ (y3)4· (y4)3
⑶ －(xn)2· (x3)2m ⑷ (a2)3+a3 · a3
要认真呀！
课堂小结
幂的乘方运算法则
（am）n＝amn（m，n都是正整数）
底数不变，指数相乘
同底数幂相乘法则：
am·an＝am＋n（m，n都是正整数）
底数不变，指数相加
1.必做题：课本第107页 A 组
作业本（1）第22页
2.选做题：课本第108页 B 组
思考题：
1、若 am = 2, 则a3m =_____.
2、若 mx = 2, my = 3 ,
则 mx+y =____, m3x+2y =______.
8
6
72
动脑筋！
智能挑战
在255，344，433，522，这四个幂的数值中，
最大的一个是_______
344
能力挑战 你能用简便的方法计算下列各题：(共24张PPT)
*
5.4 乘法公式（1）
从前有一个狡猾的地主，他把一块长为x米的正方形的土地租给张老汉种植，有一天，他对张老汉说：“ 我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了 ，回到家中，他把这件事对邻居讲了，邻居一听，说：“张老汉你吃亏了！”，张老汉非常吃惊。同学们，你能告诉张老汉这是为什么吗？
5米
5米
x 米
(X-5)米
(X+5)米
(a+2) (a-2) = (2) (3-x)(3+x) =
(3) (2m+n)(2m-n) =
观察以上算式，你发现了什么规律？
运算出结果，你又发现了什么？
(a+b)(a-b)
两数和与这两数差的积，
等于这两数的平方差。
= a2-b2
(a+b)(a-b)
两数和与这两数差的积，
等于这两数的平方差。
= a2-b2
找出下列各题中的a,b项
1. (3m－1 )(3m＋1)
2. (－1+3n)(－1－3n)
3. (－2b－5)(2b－5)
1．口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)= _________
(2)(a-b)(b+a)= __________
(3)(-a-b)(-a+b)= ________
(4)(a-b)(-a-b)= _________
a2-b2
a2-b2
b2-a2
b2-a2
(1) (a+b)( a b) ；
(2) (a b)(b a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(4) (a b)(a+b) ;
(5) ( 2x+y)(y 2x).
(不能)
2.下列式子可用平方差公式计算吗 为什么 如果能够，怎样计算
(不能)
(不能)
(能)
解:原式＝ (a2 b2)
＝b2 a2
(不能)
问题：利用平方差公式计算的关键是__________
怎样确定a与b______________________
（一）应用公式：
例1. 利用平方差公式计算（先确定各题的a与b，再填空）
(1)(5+6x)(5-6x)=( )2-( )2=______
(2)(x-2y)(x+2y)=( )2-( )2=_______
(3)(-m+n)(-m-n)=( )2-( )2=_______
准确确定a和b
符号相同的项是a,符号相反的项是b
5
6x
25-36x2
x
2y
x2-4y2
-m
n
m2-n2
例1.运用平方差公式进行计算:
1.计算（口答）：
（1）（x+1)(x-1)
(2) (x+2)(x-2)
(3) (m+n)(m-n)
(4) (m+6)(m-6)
(5) (x+2y)(x-2y)
(6) (3x-2)(3x+2)
(7) (b+5a)(b-5a)
= x -1
= m -n
= x -(2y) = x -4y
= m - 6 = m -36
= (3x) -2 = 9x -4
= x - 4
= b - (5a) =b -25a
判断并改错：
(1) (a+3)(a-3)=a -3 ( )
改正：
(2)(5y+2)(5y-2)=5y -4 ( )
改正：
(3) (1- 4xy)(-1- 4xy)=1-16x y ( )
改正：
(4)(-ab+3c)(-3c-ab)=a b -9c ( )
改正：
(5) (-m+7)(7-m)=m -49 ( )
改正：
×
×
×
×
√
(a+3)(a-3)=a -9
(5y+2)(5y-2)=25y -4
原式=(- 4xy+1)(- 4xy-1)=16x y -1
(-m+7)(7-m)=(7-m)(7-m)=(7-m)
运用平方差公式进行计算:
(1)(x+m)(x-m) (2)(3a+b)(3a-b)
(3)(5a-4b)(5a+4b) (4)(-5x-3y)(-5x+3y)
王敏捷同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，
售货员刚拿起计算器，王敏捷就说出应99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”
王敏捷同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。”
你知道王敏捷同学用的是一个什么样的公式吗？怎么计算的吗
例2.利用平方差公式计算:
103×97
59.8×60.2
运用平方差公式进行计算:
(1)
(4)
(6)
(5)
(2)
(3)
(a+b)(a-b)=
a2
- b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
1)左边为两个数的和与差的积,右边为两个数的平方差
2)有些式子通过适当变形实质上能用公式
3)公式中的a和b可以是数,也可以是整式
4)最后结果必须化简
已知(N+56)2=1234567,
求(N+46)(N+66)的值
运用平方差公式计算:
5678×5680-56792
=(5679-1)(5679+1)-56792
=56792 -1 -56792
= -1
利用平方差公式计算:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(24-1)(24+1)(28+1)+1
=(28-1)(28+1)+1
=216-1+1
=216
如果A=1234567892, B=123456788×123456790,
试比较A与B的大小.(共33张PPT)
我们都喜欢数学
将快乐进行到底
细心的观察！
大胆的提出问题和想法！
多多的思考！
勇于去实践！
那就是一个成功和快乐的你！
经染色的洋葱细胞，细胞每分裂一次，1个细胞变成2个细胞。洋葱根尖细胞分裂的一个周期大约是12时，210个洋葱根类细胞经过分裂后，变成220个细胞大约需要分裂几次？需要多少时间？
怎么计算220÷210=？
帮一帮
你能计算下列两个问题吗 (填空)
(1)
=2( )
=2( )
2
(2)
=a( )
=a( )
(a≠0)
2
2
2
2
2
2
2
2
5-3
a
1
3-2
a
a
a
a
am-n
(3) 猜想：
(a≠0, m,n都是正整数，且m＞n)
（4）能不能证明你的结论呢？
(m－n)个a
m个a
n个a
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
即
同底数幂的除法法则:
条件：①除法 ②同底数幂
结果：①底数不变 ②指数相减
猜想:
注意:
（5）讨论为什么a≠0？m、n都是正整数，且m>n ？
一般地，同底数幂相除的法则是：
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
（a≠0，m,n都是 正整数，且m>n)
重点推荐
(1) a9÷a3
计算:
=a9-3 = a6
(2) 212÷27
=212-7=25=32
(3) (- x)4÷(- x)
=(- x)4-1=(- x)3= - x3
=(- 3)11-8=(- 3)3=- 27
注意：1、首先要判定同底数幂相除，指数才相减。
2.题目没有特殊说明结果形式要求的，都要化到最简。
Mr Yan 补充：
本教科书中，如果没有特别说明的，含有字母的除式均不零。
数学游艺园
(1) s7÷s3
=s4
(2) x10÷x8
=x2
(3) (-t)11÷(-t)2
=（-t）9
(4)(ab)5÷(ab)
=（ab）4
=-t9
=a4b4
(5) (-3)6÷(-3)2
=81
(6)a100÷a100
=1
=(-3)4
=34
指数相等的同底数（不为0）幂相除，商为多少？
1
比a除以b小2的数
(7) x7.( )=x8
x
(8) ( ).a3=a8
a5
(9) b4.b3.( )=b21
(10) c8÷( )=c5
b14
c3
（1） a6÷ a3 = a2
( )
×
a6÷ a3 = a3
（２） a5÷ a = a5
( )
×
a5÷ a = a4
( )
（３） -a6÷ a6 = -1
（-c）4 ÷ （-c）2 ＝c2
（４）（-c）4 ÷ （-c）2 ＝－c2
( )
×
同底数幂的乘法运算法则：
幂的乘方运算法则:
(am)n= (m、n都是正整数)
(ab)n =
an·bn
（m,n都是正整数）
积的乘方法则
amn
am · an
=
am+n
(m、n都是正整数)
同底数幂的除法运算法则：
am ÷ an = am-n
(a≠0，m、n为正整数，m>n)
回忆城
例2 计算：
（1） （2）
（3） （4）
１．乘除混合运算的顺序与有理数混合运算顺序
相同（即“从左到右”）.
２．若底数不同，先化为同底数，后运用法则．
３．可以把整个代数式看作底．
４．运算结果能化简的要进行化简．
解题后的反思
攀登高峰
a与b的和的平方
（4）p5 p2÷p7
（5）y8÷（y6÷y2)
X与1的差的平方根
(a5)3÷ a7 - 2a3 a5
计算洋葱细胞分裂时间
经染色的洋葱细胞，细胞每分裂一次，1个细胞变成2个细胞。洋葱根尖细胞分裂的一个周期大约是12时，210个洋葱根类细胞经过分裂后，变成220个细胞大约需要多少时间？
220÷210=
10×12=120（小时）
金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最亮的一颗星。金星离地球的距离为4.2×107千米时，从金星射出的光到达地球需要多少时间？
目前，光的速度是多少？
练一练：
已知：am=3,an=5. 求：
am-n的值 (2)a3m-2n的值
解:(1) am-n= am ÷ an= 3 ÷5 = 0.6
(2) a3m-2n= a 3m ÷ a 2n
= (am)3 ÷(an)2
=33 ÷52=27 ÷25
=
（1） 已知 ax=2,ay=3,则ax-y=
a2x-y= a2x-3y=
10a=20,10b=0.2,试求9a÷32b的值？
已知 2x-5y-4=0,求4x÷32y的值？
同底数幂除法的性质
am ÷ an = am-n
(a≠0，m、n为正整数，m>n)
1.同底数幂相除的法则：
2.注意a≠0,m,n都是正整数，且m>n.
3.幂的四个运算法则：
同底数幂相乘：指数相加。
幂的乘方：指数相乘。
积的乘方：
同底数幂相除：指数相减。
1.作业本5. 6(1)
X的3倍与y的4倍的比
