6.2提取公因式

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6.2 提取公因式法
请把12、15因数分解：
12=2 × 2×3；
15=3 × 5
12、15这两数有公因数吗？
如图，由一个边长为a的小正方形与 一个长、宽分别为a、b的小长方形拼接成一个大长方形ABCD。
a
a
b
a
A
a
b
B
D
C
a
请用两种不同的方法表示长方形ABCD面积,写出一个等式。
a ( a + b ) =a 2 + a b
a 2 + a b = a ( a + b )
探索发现
解:
公因式
多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式
提公因式法
这个多项式中有相同的因式么？
你能将以上方法用于多项式2ab+4abc的因式分解吗？
应提取的公因式为:________
议一议：
多项式　　　　　　　　有公因式吗？是什么？
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
2ab+4abc=2ab(1+2c)
为了提取公因式后，使多项式余下的各项不再含有公因式 ！
如何确定应提取的公因式？
定义：
2.字母:提取相同字母最低次幂。
1.系数:提取最大的公约数;
方法:
1. 3x2-3y _______
2. 2a+3a b _______
3
a
公因式
3.30 m b2 + 5n b3 ；
5b2
4.多项式3a(b-c)+8(b-c)的公因式是 ；
（b-c）
5.多项式15a2b3 - 6a3bc的公因式是 ；
3a2b
1. 3x2-3y _______
2. 2a+3a b _______
3. 12st-18t ________
4. 2xy+4yxz –10yz __________
5. 3ax3y +6x4 yz ___________
6. 7a2 b3-21ab2 c ___________
公因式
2y
6t
3x3 y
7a b2
3
a
找一找：
多项式中的公因式可以是单项式，也可以是多项式。
7、7 ( a– 3 ) – b ( a– 3) ；
（a-3）
– 9 x 2 + 6 x y 的公因式。
系数：最大
公约数。
-3
字母：相同字母
x
所以，公因式是
指数：最低次幂
1
-3 x
分解因式：-9 x 2 + 6 x y= -3x( )
3x -２y
找一找：
解:
(2) 多项式3mx – 6nx2 的公因式是
例1、(1) 多项式 8a3b2 +12ab3c的公因式是
(2) 3mx – 6nx2
=4ab2·2a2 + 4ab2·3bc
= 4ab2(2a2 + 3bc)
(1) 8a3b2 +12ab3c
= 3x·m–3x·2nx
= 3x(m–2nx)
其中因式 2a2 + 3bc 中的 2a2 和3bc 是相当于将多项式 8a3b2 +12ab3c 的每一项分别除以 4ab2 而得到的。
4ab2
3x
(3) -4x3+16x2-30x
= (-2x)×(2x2)+(-2x)×(-8x)+(-2x)×15
= -2x(2x2 - 8x +15)
=ab(6ac3-7b)
=ab·6ac3-ab·7b
(2) 6a2bc3-7ab2
=3x2(1+3x2)
= 3x2·1 +3x2·3x2
(1) 3x2 +9x4
解：
(3) -4x3+16x2-30x
(2) 6a2bc3-7ab2
(1) 3x2 +9x4
例2 、把下列各式分解因式
例3、把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解：
8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。
=ab 8a2 b-ab 12 b2 c+ab 1
=ab(8a2 b- 12 b2 c+1)
（1）2x2 + 3x3 + x = x(2x +3x2)
（2）a2c - 6a3c = 3a2(c - 2ac)
（3）-2s3 + 4s2 - 6s = - s(2s2 + 4s - 6)
（4）a2b + 6ab2 - 8a = -2ab(2a-3b) - 8a
下列的分解因式对吗？如不对，请指出原因:
应为: 原式=x(2x +3x2+1)
应为: 原式=-2s(s2-2s+3)
应为: 原式= a (ab+6b2-8)
应为: 原式=a2c(1 -2a)
1、21x2 y +7xy
2、-4x2+8ax+2x
把下列各式分解因式:
练一练：
4、4a2b+10ab-2ab2
3、 2ax2+ay
5、-3x2y+12xy2-27xy
a(2x2+y)
2ab(2a+5-b)
-3xy(x-4y+9)
7xy（3x+1）
-2x（2x-4a-1）
6、 8a2bc -4ab
4ab(2ac-1)
7、 –x2 + 3x
-x(x+3)
你能概括出提取公因式法的一般步骤吗？
反思回顾
1.确定应提取的公因式；
2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式
3.把多项式写成这两个因式的积的形式。
①提取不尽
③疏忽变号
④只提取部分公因式,整个式子未成乘积形式。
(2).提取公因式要彻底;注意易犯的错误:
②漏项
(1).当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号。
（5）(2 a-b)2 +2a – b = (2 a –b)2 + ( )
（6）a ( s + t ) –s – t = a ( s + t ) – ( )
回顾去括号法则，完成下列填空：
（1）1 -x =+( );（2）-x+1=-( )
（3）x-y =+( ); （4）-x-y=-( )
你能概括出添括号法则吗？
1 -x
x-1
x-y
x+y
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；
括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。
知识准备
2a - b
s + t
注意：提取公因式时，有时需要将因式经过符号变换、字母位置重新排列或添括号后，才能看出公因式。
= (a-b)(2a-2b-1)
= (a-b)[2(a-b)-1]
= 2(a-b)2-(a-b)
2(a-b)2 – a + b
解:
例3、把2(a-b)2 - a + b 分解因式
【例3】:
把下列各式分解因式:
(1) a(x-y) – x + y
(2) 2a(x-8)+bn(8-x)
(2) (x-8)(2a-bn)
(1)(x-y)(a-1)
练一练：
(3)(a+2)2 – 2a(a+2)
(2+a)(2-a)或-(a+2)(a-2)
（4） 7(x–3)–x(3–x)
（5）—4x2+8ax+2x
（6）—3ab+6abx—9aby
25x-5
3 x3 -3x2 –9x
8a 2c+ 2b c
-4a 3b3 +6 a2 b-2ab
a(x-y)+by-bx
把下列各式分解因式：
=5(5x-1)
=3x(x2-x-3)
=2c(4a2+b)
=-2ab(2a2b2-3a+1)
= (x-y)(a-b)
=a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y)-b(x-y)
练一练：
1、确定公因式的方法：
(1)、公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。
(2)、字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
(3)、相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂
小结
2、提取公因式法分解因式
当ｎ为奇数时
当ｎ为偶数时
３、整体的思想
1、分解因式计算（-2）101+（-2）100
2、利用简便方法计算：
4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8
3、已知a+b=3,ab=2,求代数式
a2 b + 2 a2 b2 +a b2的值.
4、把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式.
5、填一填：
（3） -24x3 –12x2 +28x =-4x（ ）
6x2+3x-7
6、若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（ ）
（A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y
（C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y
D
7、若多项式(a+b)xy+(a+b)x要分解因式,则要提的公因式是 .
(a+b)x