6.4因式分解的简单应用
姓名：___________ 学号：_____________
【巩固练习一】计算
【巩固练习二】解方程
（4） (x2+4)2-16x2=0
【提高题】
已知 a、b、c为三角形的三边，试判断 a2 -2ab+b2-c2大于零？小于零？等于零？6.3.2用乘法公式分解因式学案
姓名:__________学号：_________
【巩固练习一】
填写下表（若某一栏不适用，请填入“不适用”）
【巩固练习二】
分解因式
下列因式分解对吗？为什么？
【巩固练习三】
1、用简便方法计算
（1）49.92＋9.98 ＋0.12 （2）9 9992 ＋19 999
2、因式分解
（1）(4a2＋1)2－16a2 （2）(a 2－2)2－4 (a2－2)＋4
【提高题】
1. 将4x2+1再加上一项，使它成为完全平方式，你有几种方法？
2. 若x2+kxy+y2 是一个完全平方式，求k的值
3.若a2+b2–6a+4b+13=0,求ab的值。
a，b各表示什么
表示成（a＋b)2或（a－b)2的形式
是否是完全平方式
多项式(共13张PPT)
（1）2ab2–8a2b=_________
方法：___________
（2）x2–4=___________
方法：______________
（3）(a+b)2–10(a+b)+25=________
方法：___________
（4）–xy+2x2y–x3y=_________
方法：_____________
一、因式分解并指明所用的分解方法
二、计算
（1）12a3b3c÷6ab2=_____________
（2）(am+bm) ÷m=_____________
2ab(b–4a)
(x+2)(x–2)
(a+b–5)2
–xy(1–x)2
提取公因式法
应用平方差公式法
应用完全平方公式法
提取公因式法和
应用完全平方公式法
2a2bc
a+b
解: 原式
计算:
一、运用因式分解进行多项式除法.
例1
探索新知
两个多项式相除
单项式的除法
换元
因式分解
（未知）
（已知）
练习1 ．计算：
运用因式分解进行多项式除法的步骤：
1、因式分解
2、约去公因式
梳理知识
(4)
当方程的根多于一个时，常用带下标的字母表示，如
先请同学们思考、讨论以下问题：
1．如果 A×5 ＝0，那么A的值 ．
2．如果 A×0 ＝0，那么A的值 ．
3．如果A · B＝0，下列结论中哪个正确（ ）
① A、B同时都为零，即A＝0，且B＝0；
② A、B中至少有一个为零，即A＝0，或B＝0；
你能运用上面第3题的结论
解方程 吗？
任意数都可以
②
若改为
解：
2x+3=0或（2x–3）=0
∴原方程的根是
探
究
活
动
只含有一个未知数的方程的解也叫做根。
等
注意：
解：将原方程的左边分解因式，得
则
或
原方程的根是
二、运用因式分解解方程.
例2：解下列方程：
解：移项，得
将方程的左边分解因式，得
则
原方程的根是
或
例2：解下列方程：
4．写出方程的根．
用因式分解解方程的一般步骤：
1．移项，把方程右边化为零；
2．把方程左边因式分解；
3．将原方程转化为（一般为两个）一元一次方程；
解：移项，得
将方程的左边分解因式，得
则
原方程的根是
或
例2：解下列方程：
当方程两边有公因式时，切忌两边同时除以公因式，仍应按一般步骤解
练习2：解下列方程
（4） (x2+4)2-16x2=0
解: a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
因此 a2 -2ab+b2-c2小于零。
即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0
∴ a+c ﹥b a–b ﹤ c
∵ a、b、c为三角形的三边
=(a-b+c)(a-b-c)
已知 a、b、c为三角形的三边，试判断
a2 -2ab+b2-c2大于零？小于零？等于零？
提高题
因式分解的两种应用：
（１）运用因式分解进行多项式除法
（２）运用因式分解解简单的方程
若
则
或
，
.(共14张PPT)
6.1 因式分解
因式分解
计算下列各式:
整式的积
多项式
多项式
整式的积
根据左面的算式填空:
整式乘法
一般地,把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解.
填一填：
（1）∵m(a+b)=ma+mb
∴ma+mb= ( )( );
（2）∵(a+4)(a-3) = a2+a-12
∴a2+a-12 = ( )( );
m a+b
a+4 a-3
∵xy(x–y)
=x2y–xy2
∴因式分解x2y–xy2= xy(x–y)正确。
∵（2x+1)(2x–1)
=(2x)2–12
=4x2–1
≠2x2–1
∴因式分解2x2–1=(2x+1)(2x–1)不正确。
∵(x+1)(x+2)
=x2+2x+x+2
=x2+3x+2
∴因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2)正确。
（1）因式分解是对
多项式而言的一种变形；
（2）因式分解的结果
仍是几个整式的积的形式；
一般地,把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解.
是因式分解吗？
判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
(6).m2-4=(m+4)(m-4)
(7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
整式乘法
不是因式分解
因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
是
不是
不是
不是
不是
不是
不是
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
多项式 几个整式的积
x2-y2
9-25x2
x2+2x+1
xy-y2
(x+1)2
y(x-y)
(3-5x)(3+5x)
(x+y)(x-y)
你能用几种不同的方法计算 10032－10022，哪种方法最简单？
10032－10022
=（1003+1002）（1003－1002）
=2005×1
=2005
看谁算得快
(1)若a=1001,b=999,则a2-b2=___________；
(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=_______；
(1)a2-b2
(2)a2-2ab+b2
4000
10000
=(1001+999)(1001-999)
=(a+b)(a-b）
=(a-b) 2
=(99+1)2
如图是由2个边长分别为100和99的正方形重叠得到的.求图中蓝色部分的面积.
…
图中若由100个边长分别为100,99,98,…,2,1的正方形重叠而成的,那么,按这种方式重叠而成的蓝色部分面积是________.
1002 –992 + 98２－ 972 +
962－952 +…+ 22－12
( ) ( ）
( ) ( ）
=(100+99)(100－99)+(98+97)(98－97)
+(96+95)(96－95)+…+(2+1)(2－1)
=100+99+98+97+96+95+…+1
=5050
5050
小结 因式分解
学习
目
标
1.理解因式分解的概念
2.会判定一个从左到右的恒等变形是不是因式分解
3.学会运用因式分解的方法来解题
重点：理解因式分解的概念
难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，
并运用它们之间的相互关系寻找因式分解的方法
关键点：会判定一个从左到右的恒等变形是不是因式
分 解的关键：左边必须是多项式，右边是几
个整式的积6.3.1用乘法公式分解因式学案
姓名： __________________
[巩固练习一]分解因式
(1) 16-a2 (2) 0.01s2-t2 (4) -1+9x2
(5) (a-b)2-(c-b)2 （6) -(x+y)2+(x-2y)2
【巩固练习二】分解因式
① x4 - 81y4 ② 2a - 8a
【提高题】
1.分解因式：
（1）4x3-x ( 2 ) a4-81
（3）(3x－4y）2－（4x+3y）2 （4）16（3m－2n）2－25（m－n）2
2、计算
（1）9992－9982 （2）25 × 2652－1352 × 25(共12张PPT)
其中，a=99，b=1。
当a，b取下列值时，计算a2+2ab+b2的值。
a2+2ab+b2=
从a2+2ab+b2=(a+b)2是什么运算？
(2分钟)
6.3.2用乘法公式分解因式
先确定平方项，再检查剩余项是否符合两数积的2倍（中间项）.
（１）公式左边：
（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有三项，其中两项为平方项且它们同号（两数的平方和），另一项为中间项（这两数积的2倍）.
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个平方项底数和(差)的平方。
请用语言描述下公式的结构特点。
a2+2ab+b2
(a+b)2
=
如何判定一个多项式是否可以用完全
平方公式来分解因式呢？
形如 的多项式称为完全平方式.
＿
＿
(5分钟)
1．判别下列各式是不是完全平方式．
不是
是
是
不是
是
(2分钟)
按照完全平方公式填空：
(3分钟)
1.填写下表（若某一栏不适用，请填入“不适用”）
a表示x,b表示3
a，b各表示什么
表示成（a＋b)2或（a－b)2的形式
是
是否是完全平方式
多项式
是
a表示2y,b表示1
不是
不适用
不适用
不适用
不适用
不是
是
a表示1,b表示
是
a表示2y,b表示3x
(4分钟)
例1 把下列各式分解因式:
解: (1)原式
=(2a)2+
2×2a 3b+
(3b)2
=(2a+3b)2
(2)原式=
-(x2-4xy+
4y2 )=
-【x2-
2 x 2y+
(2y)2】
=-(x-2y)2
(3)原式=
3a(x2+2xy
+y2)
=3a(x+y)2
(3分钟)
2.下面因式分解对吗？为什么？
1．分解因式：
(5分钟)
例2 分解因式:
把2x＋y看做
a2－2ab＋b2
中的字母“a”
即设a＝ 2x＋y ，
这种数学思想称
为换元思想
＝(2x＋y)2－2· (2x＋y) ·3 ＋32
解:
(3分钟)
1、用简便方法计算
（1）49.92＋9.98 ＋0.12
（2）9 9992 ＋19 999
2、因式分解
（1）(4a2＋1)2－16a2
（2）(a 2－2)2－4 (a2－2)＋4
(4分钟)
提高题：
3. 若 ，
求 的值
2. 若 是一个完全平方式，
求k 的值
1. 将 再加上一项，使它成为
完全平方式，你有几种方法？
(10分钟)
（2）因式分解通常先考虑______________方法。再考虑 _____________ 方法。
（1）形如________________形式的两次三项式可以用完全平方公式分解因式。
（3）因式分解要_________
提取公因式法
公式法
彻底
因式分解顺口溜
若要分解多项式，先看有无公因式；
其次查对各公式，彻底分解多项式。
(2分钟)(共14张PPT)
其中，a=2005，b=2004。
当a，b取下列值时，计算a2-b2的值。
a2-b2=
从a2–b2=(a+b)(a–b)是什么运算？
§６.3用乘法公式分解因式
（１）公式左边：
（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
▲
▲
▲
请用语言描述下公式的结构特点。
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
a2-b2=(a + b)(a - b)
例：
16a2-1
=(4a)2-12
=(4a+1)(4a-1)
下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由。
（1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2
(3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2
(5) a2-4 (6) a2+3
能用平方差公式分解因式的多项式的特征：
1、由两部分组成；
2、两部分符号相反；
3、每部分都能写成某个式子的平方。
能
能
能
不能
不能
不能
运用a2-b2=(a+ b)(a- b)
例1:把下列各式分解因式：
解:（1）原式=（2p)2-(mn)2
= (2p+mn)(2p-mn)
说明:公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。
（3）原式 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)- (y+z)]
=(x+y+2z)(x-y)
=(x+z+y+z)(x+z- y-z)
(1)-m2n2+4p2 (2) x2 - y2 (3)(x+z)2-(y+z)2
（2）原式 =( x)2 –( y)2
=( x+ y)( x- y)
1.判断下列利用平方差公式分解因式是否正确,不对,请改正
(3) -9+4x2=(2x-3)(2x+3)
(2) -a4+b2=(a2+b)(a2-b)
(5) a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b+c)
(6) s2-t2=(-s+t)(-s-t)
×
×
(b+a2)(b-a2)
(a+b+c)(a-b-c)
√
√
(s-t)(s+t)
a2-b2=(a+b)(a-b)
=
=[-(s-t)][-(s+t)]
(4) -1-x2=(1-x)(1+x)
(1) x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
×
×
(x+2y)(x-2y)
不能分解因式
判断
=(4x+y) (4x －y)
=(2x + y) (2x － y)
3
1
3
1
=(2k+5mn) (2k －5mn)
2.把下列各式分解因式：
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
看谁快又对
= (a+8) (a －8)
（1）a2－64
1
（2）16x2 －y2
2
(3) － y2 + 4x2
9
1
3
(4) 4k2 －25m2n2
4
正确率+速度=效率
(2) 0.01s2-t2
(1) 16-a2
(4) -1+9x2
(5) (a-b)2-(c-b)2
(6) -(x+y)2+(x-2y)2
a2-b2=(a+b)(a-b)
ma+mb=m(a+b) m是各项的公因式
a2-b2=(a+b)(a-b)
合作学习
例2. 分解因式4x3y-9xy3
(2)提取公因式后,多项式还能继续分解因式吗
4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2)
4x3y-9xy3=xy (4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y)
(1)能分解因式吗 用什么方法
[注意]: 1.一般地,因式分解时有公因式先提公因式
2.因式分解时要分解彻底。
1、分解因式
4x2–y2=(4x+y)(4x-y )
诊断分析：
公式理解不准确，不能很好的把握公式中的项， 4x2–y2中4x2 相当于a2 ,则2x相当于“a”.
2、分解因式
x4–y4=(x2+y2)(x2–y2)
(4a+5b)2–(2a-b)2=(6a+4b)(2a+6b)
诊断分析：
综合运用提取公因式，公式法公解因式时，提公因式后，另一个因式还可以继续分解，同学们千万要注意分解完毕后对结果进行检查，看是否分解彻底了。
正确分解：
4x2–y2=(2x+y)(2x-y )
= (x2+y2) (x+y)(x-y )
问题在哪里？
=4 (3a+2b)(a+3b)
补充分解：
平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)
把下列各式分解因式
① x4 - 81y4 ② 2a - 8a
正确率+速度=效率
1.分解因式：
（1）4x3-x
( 2 ) a4-81
（3）(3x－4y）2－（4x+3y）2
（4）16（3m－2n）2－25（m－n）2
2、计算
（1）9992－9982
（2）25 × 2652－1352 × 25
谈谈这节课我们的收获······
一个知识点：
一种数学思想：
注意点：
平方差公式分解因式
类比思想
若要分解多项式，先看有无公因式，其次查对各公式，彻底分解多项式。
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-(共14张PPT)
6.2 提取公因式
某公园修建了三块长方形的绿化草坪，它们的宽都是m米，长分别是a米，b米，c米，那么这些绿化带的面积之和是多少？
m
a
b
c
m
m(a+b+c)
=
ma+mb+mc
探索发现
解:
公因式
多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式
把各项中含有的公因式提出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提取公因式法
这个多项式中有相同的因式么？
应提取的公因式为:________
议一议：
多项式 有公因式吗？是什么？
公因式的确定方法：
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂（指数最小）的积.
（1）确定应提取的公因式
思考：提取公因式法的一般步骤是什么？
例1：确定下列多项式的公因式，并分解因式
=2x2
(x
=3pq
(q2
= –2x
(2x–4a–1)
=–3ab
+3)
+5p2)
(1–2x+3y)
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式
当首项系数为负时，通常应提取负因数,余下的各项都要变号。
（1）2x2 + 3x3 + x = x(2x +3x2)
（2）a2c - 6a3c = 3a2(c - 2ac)
（3）-2s3 + 4s2 - 6s = - s(2s2 + 4s - 6)
（4）a2b + 6ab2 - 8a = -2ab(2a-3b) - 8a
下列的分解因式对吗？如不对，请指出原因:
应为: 原式=x(2x +3x2+1)
应为: 原式=-2s(s2-2s+3)
应为: 原式= a (ab+6b2-8)
应为: 原式=a2c(1 -2a)
练习1：
①提取不尽
③疏忽变号
④只提取部分公因式,整个式子未成乘积形式。
提取公因式要彻底,注意易犯的错误:
②漏项
练习2：分解因式
练习3：
多项式 公因式
因式分解结果
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积.
练习4：分解因式
例2：把2a(b+c)-3(b+c)分解因式
动脑想一想？公因式是什么？
(b+c)
=(b+c)(2a-3)
解：2a(b+c)-3(b+c)
如何验证结果正确呢？
例3：分解因式
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；
括号前面是“—”号，括到括号里的是各项都变号.
添括号法则：
口诀：添括号，看符号，
是正号，不变号，
是负号，全变号。
=（a–b）
[2(a–b)-1]
=(a–b)(2a–2b–1)
=2(a–b)2 –( )
a–b
(2) 2a(x-8)+bn(8-x)
练习5 :
一、填空
1 - 2x = + ( )
(2) -x - 2 = - ( )
(3) -x2 - 2x +1 = - ( )
1-2x
x +2
x2 + 2x -1
二、分解因式
(2)（2a–b)2–2a+b
(1) a(x-y) – x + y
(3)(a+2)2 – 2a(a+2)
（4） 7(x–3)–x(3–x)
(5) 2a(x-8)+bn(8-x)
1、确定公因式的方法：
(1)、公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。
(2)、字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
(3)、相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂
小结
2、提取公因式法分解因式及注意易犯的错误
当ｎ为奇数时
当ｎ为偶数时
３、整体的思想
