7.4分式方程（1）教学设计

课题：浙教版七年级下册7.4分式方程 (第1课时)
设计者： 南雁中学 郑小辉
【学习内容分析】
本节的主要内容是分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法，是学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组及其解法和分式的概念及其四则运算的基础上进行的。分式方程与整式方程在概念上是不同的，但它们在解法上却有着一定的联系和区别，即分式方程最终要转化为整式方程来解。通过将分式方程转化为整式方程渗透了一种重要的数学思想——转化思想。但解分式方程的最后一步要验根这是学生最容易忘记的，所以教学中要强调。
【学生情况分析】
这节课是针对七下的学生，学生刚学习了分式的概念及其四则运算，对其能够较好的掌握。学生已经学习了分式的意义，对理解分式方程可能产生无效的根这一教学难点有很大的帮助。但一元一次方程是在七上学习的，有一定的时间间隔，部分学生可能已经遗忘，需要稍加回忆。
【教学目标】
课程标准：新的课程标准指出数学教学过程是学生实践、探索和思考的过程。因此，学生是教学活动的主体，教师是教学活动的引导者和组织者。
知识与技能：了解分式方程的的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程，了解增根的概念，会对分式方程进行根的检验。
过程与方法：经历探索分式方程的概念和分式方程解法的过程，培养学生归纳概括能力和发展学生抽象思维能力。
情感态度与价值观：教师引导学生自主探索分式方程的解法，将分式方程（可化为一元一次方程的分式方程）转化为整式方程（一元一次方程），在解题中亲身体验“转化”思想。弄清了“转化”的方向，也就明白了解分式方程的方法，解题思路自然清晰，能力随之形成；通过检验分式方程的根，培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养学生严谨的科学态度。
【教学重点难点】
教学重点：解可化为一元一次方程的分式方程。
教学难点：理解增根的概念和验根的必要性。
【教学方法与手段】
采用教师启发引导、学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念。本节课使用了多媒体和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。
【教学过程设计】
创设情景，引入新课
情景1：
今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升。据调查，今年5月份一级猪肉的市场价格是1月份猪肉价格的1.25倍。同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份一级猪肉每斤是多少元？
（1）本题中的主要等量关系是什么？
（2）如果设今年1月份一级猪肉每斤x元，你将列出怎样的方程？
情景2：
某数与它的倒数之和为2，设某数为x，则可列方程： 。
情景3：
当x为何值时，分式的值为？则x满足的方程为： 。
问题：上述列出的三个方程我们学过吗？观察上述所列的三个方程与以往所学的方程有何不同？该怎样求得方程中未知数的值？
我们这节课就来研究这类方程——分式方程（板书课题）
〖设计说明：通过创设情景，让学生体会分式方程来源于实际，学习分式方程是为了解决生活中的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，激发学生学习的热情。〗
二、合作交流，探究新知
（一）分式方程的概念
思考：
（1）我们已学过哪些方程？
（2）方程，，有什么共同特征？它们与以往所学的方程相比，有什么不同？
师生活动： 学生可以相互交流并得出结论。学生容易归纳出：它们都是分母中含有未知数的方程。部分学生可能会忽略了方程中只含有分式或整式。教师加以引导，或设置问题：方程是分式方程吗？
基于以上分析，师生共同归纳得出分式方程的概念：
（板书）像这样只含有分式，或分式和整式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
师生活动：给出概念后，教师对概念进行剖析：（注意）分式方程的概念包含两个方面的条件：一是只含分式，或分式和整式；二是分母里含有未知数。
〖设计说明：根据列出的三个方程，学生通过观察分析，比较容易归纳出分式方程的定义。这里充分给学生探讨的空间，而不是教师直接给出概念，有利于培养学生观察分析归纳的能力，同时使学生获得成就感。〗
练一练：
1.请写出一个分式方程： 。
2.火眼睛睛：下列方程中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？
（1） （2） （3）
（4） （5）
师生活动：请几位学生回答。
〖设计说明：通过让学生自己举例及判断哪些方程是分式方程，及时巩固分式方程的概念。〗
（二）如何解简单的分式方程
1.我们已经学习了一元一次方程及其的解法，如何解方程 ？
解方程 时，一般先去分母，将方程化为整系数方程4x+3(x-1)=12。
问：（1）怎样去分母？（2）应该注意哪些问题？
师生活动：一起回顾去分母得方程两边同乘方程中出现的分母的最小公倍数6，并且注意2也得乘以6 。
2.该如何解分式方程呢？请试一试。
师生活动：引导学生利用类比的方法将分式方程转化为整式方程，学生自然会想到去分母来实现这种转变。如果两边同乘 7(2x-3)，就可以把分式方程转化为一元一次方程来解。
讲解例1，并板演步骤：
方程的两边同乘 7(2x-3)，得7(x+3)＝2(2x-3)
去括号，得 7x+21＝4x-6
移项，合并同类项，得 3x＝-27
∴x＝-9
把x＝-9代入原方程检验：
左边右边，
所以x＝-9是原方程的根。
师生活动：归纳上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘的整式通常取方程中出现的各分母的最简公分母。解分式方程最后注意要检验，一方面可以检查中间过程是否有出现差错，另一方面我们一起看下例2。
〖设计说明：这是本节的核心问题，鼓励学生多发言。让学生运用“转化”思想，将分式方程转化为整式方程来解。通过学生的讨论，向学生渗透“转化”的数学思想。转化思想是数学学习中一种重要的数学思想。〗
3. 例2 解方程：
根据上述方法让学生先独立解答。
方程两边同乘（x-3），得 2-x=-1-2(x-3)
化简，得x=3
把x=3代入原方程检验，结果使原方程中分式的分母的值为0，分式没有意义，所以x=3不是原方程的根，原方程无解。
师生活动：（1）分式方程为什么必须要验根？验根可以检查中间过程是否有差错；在去分母时两边所乘的是含有未知数的整式，而不是一个不为零的数，当一元一次方程的解恰好使所乘的整式等于零时，去分母就失去了等式性质的保障，或者说求得的解使原方程无意义。
（2）如何进行分式方程的验根？验根的方法有两种：代入原方程，或代入公分母。
小结：（1）当分式方程含有若干个分式时，通常可用各个分式的公分母同乘方程的两边进行去分母。
（2）解分式方程一定要验根。
（3）使原方程的分母为零的根叫做增根，增根不是原方程的根，解答时应指出，并舍去。
（4）去分母时，公分母要乘遍方程两边的每一项。
〖设计说明：通过例题教学、引导学生学会如何解简单的分式方程，这个方程的解法与例1基本无异，但出现了增根的概念，引导学生观察、反思、理解产生增根的内涵。从这领悟到分式方程根的检验是必不可少的步骤，因为方程两边同乘以整式和可能使求得x的值不是原方程的根。还应注意不能漏乘，去分母时当某一项是整式时应把它看成分母是1。通过与学生一起进行解后小结，培养学生的归纳能力，并为以后的学习提供了方法。〗
三、当堂练习，巩固新知
1.完成课内练习1 ，解下列方程
（1） （2）
先让学生独立完成，并且叫一位同学上去板演第（1）小题。
师生活动：比较讨论第（2）小题，如何确定公分母？解方程时首先要确定最简公分母，最简公分母是各分母的最小公倍式。去分母后得到的整式方程不是一元一次方程，但可用因式分解来解方程，这内容在七下第六章刚学习，学生应该并不陌生。
归纳：解分式方程的一般步骤：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母后原方程化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去。
〖设计说明：第（1）小题巩固解分式方程的方法及步骤，第（2）小题让学生在问题中，大胆尝试，激发求知欲，充分发挥学生的主体性，引导学生进行比较探究，并进行充分的讨论如何确定公分母。题后小结归纳，梳理一遍解题步骤，这样解题思路会更清晰〗
2.回到情景1，根据上述方法和步骤，解方程？学生独立完成，并指一名学生上去板演。教师强调步骤，特别是最后的检验。
〖设计说明：前后呼应，解决课前还没解决好的实际问题，通过练习及时巩固对本节课所学的重点内容，并且可以了解学生掌握的情况。〗
3.学生独立完成课内练习3 解方程： 。
这题让学生先独立完成，并且让学生制定评分标准，接着根据评分标准同桌互改。
〖设计说明：让学生制定评分标准，教师在旁加以指导和督促，这样既能调动学生的积极性，又能让学生体会各个步骤的重要性，提高了学习效率。同桌互改，让学生不仅学会解分式方程，还应会看出解错的地方。〗
4.（备用练习）当m为何值时，方程无解？
分析：要使方程无解，必须使分母x-3=0 。
四、课后小结，布置作业
小结：
通过本节课的学习，你有什么收获？
〖设计说明：使学生积极回顾，培养学生归纳概括能力，构建知识体系。〗
作业：
必做题：作业本7.4（1），课本的作业题
选做题：思考，当m为何值时，去分母解方程会产生增根？
〖设计说明：必做题是对本节课知识点的巩固，选做题是对本节课内容的延伸。根据学生的不同程度，布置思考题和作业，思考题让学有余力的学生适当加深，以满足他们学习的愿望，发展他们的数学才能。作业进一步反馈知识的掌握情况，进一步落实教学目标，也符合面向全体，分层教学和因材施教原则。〗
【板书设计】
7.4分式方程（1）
概念：只含分式，或分式和整式 例1板演 例2板演
并且分母里含有未知数的
方程叫做分式方程
增根：使原方程的分母为零的根
叫做增根 学生板演
数学思想：转化思想
【教学设计思路】
我认为教学应充分调动学生学习的积极性，以学生为主体，引导他们积极探求问题，解决问题。分式方程是分式和方程的结合，本节课通过创设生活中的情景和数学中的情景，并让学生找出所列的三个方程的共同点，从而引出分式方程的概念。教学过程中，我引导学生努力思考问题，探求分式方程的解法。我先让学生回想如何解含分母的一元一次方程（），启发学生利用类比的思想将分式方程与以前学过的含分母的一元一次方程相比较，引导他们寻找解分式方程的方法，即去分母（把分式方程转化为整式方程来解决），体现了转化的数学思想。本节课采用自主探究的教学方法，例题和练习均由学生自主探索，学生已学过如何检验一个值是否是方程的解，启发学生分式方程可能会产生增根，最后一定要检验。通过适当的当堂练习及时巩固知识，并且做到解决问题后及时总结，给学生为以后的学习提供了方法。课内练习的第3题，我让学生制定评分标准，学生独立完成，并且同桌间根据评分标准互改，这样不仅激发了学生的学习兴趣，也让学生更好地掌握解分式方程的方法与步骤，提高了课堂效率。
分式方程
转化
整式方程
解整式方程
检验