第三章 整式的乘除竞赛试题(含解析）

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2020-2021学年浙江七年级数学下第三章《整式的乘除》竞赛题
一．选择题（共10小题）
1．已知：4x＝9y＝6，则+等于（　　）
A．2
B．1
C．
D．
2．下面计算中，正确的是（　　）
A．（m﹣1）（m﹣2）＝m2﹣3m﹣2
B．（1﹣2a）（2+a）＝2﹣3a+2a2
C．（﹣x+y）（﹣x﹣y）＝x2﹣y2
D．（x+y）（x+y）＝x2+y2
3．a＝255，b＝344，c＝433，三个数的大小关系应该是（　　）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b
4．已知：ax+a﹣x＝2，a2x+a﹣2x的值是（　　）
A．4
B．3
C．2
D．6
5．若，则＝（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
6．已知
m﹣n＝﹣5，m2+n2＝13，那么m4+n4＝（　　）
A．79
B．50
C．100
D．97
7．若（x+a）（x+1）（x+2）（x+3）展开式中含x3项的系数是17，则a的值（　　）
A．10
B．11
C．12
D．13
8．若a﹣b＝m，b﹣c＝n，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是（　　）
A．m2+n2+mn
B．n2n+n3
C．m2n+mn2
D．m2n﹣mn2
9．若3x3﹣kx2+4被3x﹣1除后余5，则k的值为（　　）
A．﹣10
B．10
C．﹣8
D．8
10．若x、y、z满足x+y＝6且z2＝xy﹣9，则z的值是（　　）
A．±1
B．0
C．1
D．﹣1
二．填空题（共7小题）
11．若2a＝3，2b＝5，2c＝90，用a，b表示c可以表示为　
　．
12．已知实数a、b、x、y满足ax﹣by＝3，ay+bx＝8，则（a2+b2）（x2+y2）的值为　
　．
13．已知（a+25）2＝1000，则（a+15）（a+35）的值为　
　．
14．x1，x2，x3，x4，x5，x6都是正数，且，，，，，，则x1x2x3x4x5x6＝　
　．
15．若（2012﹣a）（2010﹣a）＝2011，则（2012﹣a）2+（2010﹣a）2＝　
　．
16．如果整数x，y，z满足，则代数式的值为　
　．
17．已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为　
　．
三．解答题（共4小题）
18．计算
（1）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）；
（2）（2x3y）2?（﹣2xy）+（﹣2x3y）3÷（2x2）
19．已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1．
（1）求ab+bc+ca的值；
（2）求a4+b4+c4的值．
20．求[x3﹣（x﹣1）2]（x﹣1）展开后，x2项的系数．
21．我们已经知道，利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性．如完全平方公式可以用图1的面积表示．
（1）根据图2写出一个代数恒等式　
　；
（2）其实图形的面积也可以解释不等式的正确性．如已知正数a、b、c和m、n、l，并且满足a+m＝b+n＝c+l＝k．试构造边长为k的正方形，利用其来说明al+bm+cn＜k2的正确性．请你画出图形，并简单解释．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：由题意可知：＝，＝，
∴＝4，＝9
∴×＝36＝62，
∴＝62，
∴＝2，
故选：A．
2．【解答】解：A、（m﹣1）（m﹣2）＝m2﹣3m+2，故本选项错误；
B、（1﹣2a）（2+a）＝﹣2a2﹣3a+2，故本选项错误；
C、（﹣x+y）（﹣x﹣y）＝x2﹣y2，故本选项正确；
D、（x+y）（x+y）＝x2+2xy+y2，故本选项错误．
故选：C．
3．【解答】解：a＝255＝（25）11＝3211，
b＝344＝（34）11＝8111，
c＝433＝（43）11＝6411，
∵32＜64＜81，
∴a＜c＜b．
故选：B．
4．【解答】解：∵ax+a﹣x＝2，
∴a2x+a﹣2x＝（ax+a﹣x）2﹣2＝4﹣2＝2．
故选：C．
5．【解答】解：∵若，
∴两边平方得：x2++2＝9，
∴x2+＝7
∴原式＝（x4+x2+1）×＝x2++1＝7+1＝8．
故选：D．
6．【解答】解：∵m﹣n＝﹣5，
∴（m﹣n）2＝25，即m2﹣2mn+n2＝25，
而m2+n2＝13，
∴mn＝﹣6，
∵m4+n4＝（m2+n2）2﹣2m2n2＝132﹣2×（﹣6）2＝97．
故选：D．
7．【解答】解：（x+a）（x+1）（x+2）（x+3）
＝[x2+（a+1）x+a]（x2+5x+6）
＝x4+（a+1）x3+ax2+5x3+5（a+1）x2+5ax+6x2+6（a+1）x+6a
＝x4+（a+6）x3+（6a+11）x2+（11a+6）x+6a．
∴a+6＝17，
解得a＝11．
故选：B．
8．【解答】解：∵a﹣b＝m，b﹣c＝n，
∴a﹣c＝（a﹣b）+（b﹣c）＝m+n，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）]＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝[m2+n2+（m﹣n）2]＝m2+n2+mn．
故选：A．
9．【解答】解：∵3x3﹣kx2+4被3x﹣1除后余5，
说明3x3﹣kx2﹣1可被3x﹣1整除，
∴3x﹣1为3x3﹣kx2﹣1的一个因式，
∴当3x﹣1＝0，即x＝时，3x3﹣kx2﹣1＝0，即3×﹣k﹣1＝0，
解得k＝﹣8，
故选：C．
10．【解答】解：∵（x﹣y）2≥0，
∴xy≤＝＝﹣xy，
即xy≤9，
∴z2＝xy﹣9≤0，
又z2≥0，
∴z＝0．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
11．【解答】解：∵90＝2×3×3×5，2a＝3，2b＝5，2c＝90，
∴2c＝21×2a×2a×2b，＝22a+b+1，
∴c＝2a+b+1，
故答案为：2a+b+1．
12．【解答】解：由题意得，ax﹣by＝3，①
ay+bx＝8，②
①2得a2x2+b2y2﹣2abxy＝9，③
②2得a2y2+b2x2+2abxy＝64，④
③+④得a2x2+b2y2+a2y2+b2x2＝73，
a2（x2+y2）+b2（x2+y2）＝73，
（a2+b2）（x2+y2）＝73，
故答案为：73．
13．【解答】解：（a+15）（a+35）
＝（a+25﹣10）（a+25+10）
＝（a+25）2﹣100，
∵（a+25）2＝1000，
∴原式＝1000﹣100＝900．
故答案为：900．
14．【解答】解：∵＝1，＝2，＝3，＝4，＝6，＝9，
∴?????＝1×2×3×4×6×9，
整理得：（x1x2x3x4x5x6）4＝2×2×2×2×3×3×3×3＝（2×3）4＝64，
则x1x2x3x4x5x6＝6．
故答案为：6．
15．【解答】解：∵设2012﹣a＝x，2010﹣a＝y，
∴xy＝2011，x﹣y＝2，
∴（2012﹣a）2+（2010﹣a）2
＝x2+y2
＝（x﹣y）2+2xy
＝22+2×2011
＝4026，
故答案为：4026．
16．【解答】解：，
则??＝24，
5x﹣z?33z+x﹣2y?24y﹣3x﹣z＝24，
故，
解得：，
把代入代数式中得：＝，
故答案为：．
17．【解答】解：∵a2+b2≥2|ab|，
∴2|ab|≤4，
∴﹣4≤﹣2ab≤4，
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4﹣2ab，
∴0≤4﹣2ab≤8，
∴（a﹣b）2的最大值8．
故答案为：8．
三．解答题（共4小题）
18．【解答】解：（1）原式＝x2﹣（2y﹣3）2＝x2﹣4y2+12y﹣9；
（2）原式＝4x6y2?（﹣2xy）﹣8x9y3÷（2x2）＝﹣8x7y3﹣4x7y3＝﹣12x7y3．
19．【解答】解：（1）∵a+b+c＝0，
∴（a+b+c）2＝0，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝0，
∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）＝0，①
∵a2+b2+c2＝1，②
把②代入①，得
1+2（ab+bc+ca）＝0，
解得，ab+bc+ca＝﹣；
（2）∵a4+b4+c4＝（a2+b2+c2）2﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）＝（a2+b2+c2）2﹣2[（ab+bc+ac）2﹣2abc（a+b+c）]，
ab+bc+ca＝﹣，a+b+c＝0，
∴a4+b4+c4
＝1﹣2×[（﹣）2﹣0]
＝．
20．【解答】解：[x3﹣（x﹣1）2]（x﹣1）＝x3（x﹣1）﹣（x﹣1）3，
∵x2项只在﹣（x﹣1）3中出现，
∴只要看﹣（x﹣1）3＝（1﹣x）3中x2项的系数即可．
根据乘法公式有（1﹣x）3＝1﹣3x+3x2﹣x3，
所以x2项的系数为3．
21．【解答】解：（1）图2的面积为：2a2+3ab+b2＝图1的面积为：（2a+b）（a+b），
∴可得：2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．
（2）根据图形al+bm+cn是图中三个矩形的面积和．
而k2是正方形的面积．大小关系显而易见．
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