2020-2021学年浙江七年级数学下第五章《分式》竞赛题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一，单项选择题（本大题共8小题）
1．当分别取、、、…、、、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先把互为倒数的两个数代入并求和，得0，再把没有倒数的0代入即可．
【详解】
解：把代入，得，
把代入，得，相加得零，
设x=a（a≠0）代入，得，
把x=代入，得，
故互为倒数的两个数代入分式后，和为0，
把0代入，得-1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式求值运算和数字规律，解题关键是通过计算发现互为倒数的两个数代入分式后，和为0．
2．对于任意的x值都有，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3
B．M＝﹣1，N＝3
C．M＝2，N＝4
D．M＝1，N＝4
【答案】B
【分析】
先计算=
,根据已知可得关于M、N的二元一次方程组
，解之可得．
【详解】
解：
=
=
∴=
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M、N的方程组．
3．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16
B．﹣14
C．﹣12
D．﹣10
【答案】B
【分析】
分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【详解】
解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2?26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2?211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2?26?2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14．
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
4．若实数a使得关于x的分式方程＝﹣2的解为负数，且使得关于y的不等式组，至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．1
【答案】B
【分析】
先求出分式方程的解，然后根据解为负数得到a的取值范围，再由不等式组的解集，即可求出a的值，然后得到答案．
【详解】
解：
解分式方程得：，
∵方程的解为负数，
∴＜0且≠﹣1，
解得a＜4且a≠1；
∵，
解不等式组得：﹣≤y＜a+1，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴a+1＞0，
解得：a＞﹣1，
综上，﹣1＜a＜4，且a≠1，
∴整数a的值为0、2、3，
则符合条件的所有整数a的和为0+2+3＝5，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
5．若，，则与的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【分析】
用作差法比较大小即可．
【详解】
∵，，
∴
=
=
=＞＞0，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查了作差法比较代数式的应用、因式分解的应用，以及放缩法的应用，作差法是是比较代数式大小常用的方法，要求学生掌握．
6．已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12
B．14
C．
D．9
【答案】A
【分析】
把两边加上3，变形可得，两边除以得到，则，从而得到的值．
【详解】
解：，
，
即，
，
而，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．解决问题的关键是从后面的式子变形出．
7．若满足,则的值为（
）
A．1或0
B．
或0
C．1或
D．1或
【答案】D
【详解】
令,则
则且,则k=1，当k=1则；当k=-1，.
故选D.
8．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝－1的解为（
）
A．1
B．2
C．1或2
D．1或－2
【答案】B
【分析】
分类讨论与的大小，列出分式方程，解方程即可．
【详解】
解：当时，x＜0，方程变形为，
去分母得：2=3-x，
解得：x=1（不符合题意，舍去）；
当，，x＞0，方程变形得：，
去分母得：1=3-x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故选：B．
【点睛】
此题考查了解分式方程，分类讨论是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题）
9．下列结论：①不论为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的是________
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可．
【详解】
①正确．∵a不论为何值不论a2+2＞0，∴不论a为何值都有意义；
②错误．∵当a=﹣1时，a2﹣1=1﹣1=0，此时分式无意义，∴此结论错误；
③正确．∵若的值为负，即x﹣1＜0，即x＜1，∴此结论正确；
④错误，根据分式成立的意义及除数不能为0的条件可知，若有意义，则x的取值范围是即，x≠﹣2，x≠0且x≠﹣1，故此结论错误．
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查的是分式有意义的条件，解答此题要注意④中除数不能为0，否则会造成误解．
10．要使关于的方程的解是正数，的取值范围是___．.
【答案】且a≠-3.
【解析】
分析：解分式方程，用含a的式子表示x，由x＞0，求出a的范围，排除使分母为0的a的值.
详解：，
去分母得，(x＋1)(x－1)－x(x＋2)＝a，
去括号得，x2－1－x2－2x＝a，
移项合并同类项得，－2x＝a＋1，
系数化为1得，x＝.
根据题意得，＞0，解得a＜－1.
当x＝1时，－2×1＝a＋1，解得a＝－3；
当x＝－2时，－2×(－2)＝a＋1，解得a＝3.
所以a的取值范围是a＜－1且a≠－3.
故答案为a＜－1且a≠－3.
点睛：本题考查了由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，这种问题的一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.
11．当x取_____时，分式有意义．
【答案】x≠0且x≠±1
【解析】
分析：要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为0，据此列出关于x的不等式组，解不等式组即可求得x的取值范围．
详解：由题意可知，只有当：时，原分式才有意义，解得：，即当x≠0且x≠±1时，原分式有意义．
故答案为：x≠0且x≠±1．
点睛：本题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可．
本题的难点在于，题中是一个繁分式，需一层一层分析，x是的分母，所以x≠0；
x﹣是的分母，所以x﹣≠0；1﹣又是整个分式的分母，因此1﹣≠0．繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求，只在竞赛中出现．
12．已知(x+3)2
-
x
＝1，则x的值可能是___________；
【答案】2或－2或－4
【解析】当指数为0时，即x=2时，(x+3)0＝1；当底数为1时，x+3=1，即可得x=-2；当底数为-1时，x+3=-1，即可得x=-4.故答案为：2或－2或－4.
13．已知a是方程x2﹣2018x+1=0的一个根a，则a2﹣2017a+的值为_____．
【答案】2017
【解析】
试题解析：根据题意可知：a2﹣2018a+1=0，
∴a2+1=2018a，
a2﹣2017a=a﹣1，
∴原式=a2﹣2017a+
=a﹣1+
=﹣1
=2018﹣1
=2017
故答案为2017
14．已知为正整数，则当______时，．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据分式的分母有理化把x、y化简，利用完全平方公式把原式变形，计算即可．
【详解】
解：，
，
，
，
则，
解得，，
故答案为3．
【点睛】
考查的是分式的化简求值、完全平方公式，掌握分式的分母有理化的一般步骤是解题的关键．
三、解答题（本大题共4小题）
15．已知：（，且、、不全相等），求的值．
【答案】所求的分式值为．
【分析】
观察分式的特征，利用替换法先对分式进行简化整理，之后再进行计算，根据x、y、z不全相等，再对式子进行求值即可．
【详解】
令，，，则分式变为，
且由已知有，
将两边平方得．
由于、、不全相等，所以、、不全为零，所以，
从而有，即所求的分式值为．
【点睛】
本题是分式的求值，在这里我们需要注意先利用替换法简化式子，再利用已知关系来构造等量．
16．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4
即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：
（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
【答案】（1）5；
（2）；
（3）
【分析】
（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
（2）仿照材料二，设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；
（3）本题介绍两种解法：
解法一：（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），化简得：①，②，③，相加变形可得x、y、z的代入＝中，可得k的值，从而得结论；
解法二：取倒数得：＝＝，拆项得，从而得x＝，z＝，代入已知可得结论．
【详解】
解：（1）∵＝，
∴＝4，
∴x﹣1+＝4，
∴x+＝5；
（2）∵设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，
∴＝＝＝；
（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），
∴①，②，③，
①+②+③得：2（）＝3k，
＝k④，
④﹣①得：＝k，
④﹣②得：，
④﹣③得：k，
∴x＝，y＝，z＝代入＝中，得：
＝，
，
k＝4，
∴x＝，y＝，z＝，
∴xyz＝＝＝；
解法二：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将其代入中得：
＝
＝，y＝，
∴x＝，z＝＝，
∴xyz＝＝．
【点睛】
本题考查了以新运算的方式求一个式子的值，题目中涉及了求一个数的倒数，约分，等式的基本性质，求代数式的值，解决本题的关键是正确理解新运算的内涵，确定一个数的倒数并能够根据等式的基本性质将原式变为能够进一步运算的式子.
17．计算下列各式：
（1）；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【答案】（1）；（2）0；（3）0；（4）1.
【详解】
试题分析：（1）运用平方差公式分步通分；
（2）将各分式拆项，再两两抵消即可得出结果；
（3）先将各分式分解因式约分，再通分计算；
（4）注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x﹣2y+z=（x﹣y）﹣（y﹣z），采用换元法简化式子．
试题解析：解：（1）原式=++=+=；
（2）原式=++
=++﹣﹣﹣
=0；
（3）原式=+﹣
=+﹣
=－
=0；
（4）设x﹣y=a，y﹣z=b，z﹣x=c，则
原式=﹣﹣﹣
=﹣
=－
=－
=－
=－
=－
=－
=
=1．
点睛：本题考查了分式的加减运算，难度较大．因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．
18．阅读材料1：
对于两个正实数，由于，所以，即，所以得到，并且当时，
阅读材料2：
若，则
，因为，，所以由阅读材料1可得：，即的最小值是2，只有时，即=1时取得最小值.
根据以上阅读材料，请回答以下问题：
(1)比较大小
(其中≥1)；
-2(其中<-1)
(2)已知代数式变形为，求常数的值
(3)当=
时，有最小值，最小值为
(直接写出答案).
【答案】（1）；（2）；（3）0，3．
【分析】
（1）根据求差法比较大小，由材料1可知将结果用配方法变形即可得出结论.
（2）根据材料（2）的方法，把代数式变形为，解答即可；
（3）先将变形为,由材料（2）可知时（即x=0，）有最小值．
【详解】
解：（1），所以；
当时，由阅读材料1可得，，
所以；
（2）
，
所以；
（3）
∵x≥0，
∴
即：当时，有最小值，
∴当x=0时，有最小值为3.
【点睛】
本题主要考查了分式的混合运算和配方法的应用．读懂材料并加以运用是解题的关键．
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试卷第1页，总3页2020-2021学年浙江七年级数学下第五章《分式》竞赛题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一，单项选择题（本大题共8小题）
1．当分别取、、、…、、、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（
）
A．
B．
C．
D．
2．对于任意的x值都有，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3
B．M＝﹣1，N＝3
C．M＝2，N＝4
D．M＝1，N＝4
3．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16
B．﹣14
C．﹣12
D．﹣10
4．若实数a使得关于x的分式方程＝﹣2的解为负数，且使得关于y的不等式组，至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．1
5．若，，则与的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．无法确定
6．已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12
B．14
C．
D．9
7．若满足,则的值为（
）
A．1或0
B．
或0
C．1或
D．1或
8．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{，}＝－1的解为（
）
A．1
B．2
C．1或2
D．1或－2
二、填空题（本大题共6小题）
9．下列结论：①不论为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的是________
10．要使关于的方程的解是正数，的取值范围是___．.
11．当x取_____时，分式有意义．
12．已知(x+3)2
-
x
＝1，则x的值可能是___________；
13．已知a是方程x2﹣2018x+1=0的一个根a，则a2﹣2017a+的值为_____．
14．已知为正整数，则当______时，．
三、解答题（本大题共4小题）
15．已知：（，且、、不全相等），求的值．
16．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4
即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：
（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
17．计算下列各式：
（1）；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
18．阅读材料1：
对于两个正实数，由于，所以，即，所以得到，并且当时，
阅读材料2：
若，则
，因为，，所以由阅读材料1可得：，即的最小值是2，只有时，即=1时取得最小值.
根据以上阅读材料，请回答以下问题：
(1)比较大小
(其中≥1)；
-2(其中<-1)
(2)已知代数式变形为，求常数的值
(3)当=
时，有最小值，最小值为
(直接写出答案).
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