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2020-2021学年浙江七年级数学下第二章《二元一次方程组》竞赛题2
一，单项选择题（本大题共8小题）
1．定义新运算：对于任意实数a，b都有a※b＝am－bn，等式右边是通常的减法和乘法运算．规定，若3※2＝5，1※（－2）＝－1，则（－3）※1的值为（
）
A．－2
B．－4
C．－7
D．－11
【答案】A
【分析】
按照定义新运算的法则，先求出m和n的值，再把算式转化为有理数运算即可．
【详解】
解：根据题意，3※2＝5，1※（－2）＝－1，得，
，
解得，，
则（－3）※1=（-3）×1-1×（-1）=-2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了定义新运算，二元一次方程组和有理数混合计算，解题关键是根据定义新运算法则把两个等式转化为二元一次方程组，求出m、n的值．
2．已知关于、的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变，其中正确的是（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】B
【分析】
①把k=0代入方程组求出解，代入方程检验即可；②方程组消元k得到x与y的方程，检验即可；③表示出y-x，代入已知不等式求出k的范围，判断即可；④方程组整理后表示出x+3y，检验即可．
【详解】
解：①把k=0代入方程组得：，
解得：，
代入方程得：左边=-2-2=-4，右边=-4，
左边=右边，此选项正确；
②由x+y=0，得到y=-x，
代入方程组得：，即k=3k-1，
解得：，
则存在实数，使x+y=0，本选项正确；
③，
解不等式组得：，
∵，
∴，
解得：，此选项错误；
④x+3y=3k-2+3-3k=1，本选项正确；
∴正确的选项是①②④；
故选：B.
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．已知方程组的解是，则方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
将方程组变形，设，结合题意得出m=3，n=4，即可求出x，y的值．
【详解】
解：方程组可以变形为：方程组
设，
则方程组可变为，
∵方程组的解是，
∴方程组的解是，
∴，解得：x=5，y=10，
故选：D．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．
4．已知方程组（xyz≠0），则x：y：z等于（
）
A．2：1：3
B．3：2：1
C．1：2：3
D．3：1：2
【答案】C
【分析】
先利用加减消元法将原方程组消去，得出和的关系式；再利用加减消元法将原方程组消去，得出和的关系式；最后将中与均用表示并化简即得比值．
【详解】
∵
∴由①×3+②×2，得
由①×4+②×5，得
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查加减消元法及方程组含参问题，利用加减消元法将多个未知数转化为同一个参数是解题关键．
5．设，，…，是从1，0，-1这三个数取值的一列数，若++…+=69，，则，，…，中为0的个数是（
）
A．173
B．888
C．957
D．69
【答案】A
【分析】
首先根据（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2018+1）2得到a12+a22+…+a20182+2156，然后设有x个1，y个-1，z个0，得到方程组
，解方程组即可确定正确的答案．
【详解】
解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2018+1）2=a12+a22+…+a20182+2（a1+a2+…+a2018）+2018
=a12+a22+…+a20142+2×69+2018
=a12+a22+…+a20142+2156，
设有x个1，y个-1，z个0
∴
化简得x-y=69，x+y=1845，
解得x=888，y=957，z=173，
∴有888个1，957个-1，173个0，
故答案为173．
【点睛】
本题考查数字的变化类问题，解题关键是对给出的式子进行正确的变形，难度较大．
6．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少钱( )
A．128元
B．130元
C．150
元
D．160元
【答案】C
【解析】
设甲每件x元,乙每件y元，丙每件z元，根据题意可列方程组:
①+②得：
4x+4y+4z=600
等号两边同除以4，得：
x+y+z=150
所以购甲、乙、丙三种商品各一件共需150元钱.
故选C.
7．方程组的解的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】解：当x＞0，y＞0时，方程组变形得：，无解；
当x＞0，y＜0时，方程组变形得：，
①+②得：2x=14，即x=7，
②﹣①得：2y=﹣6，即y=﹣3，
则方程组的解为；
当x＜0，y＞0时，方程组变形得：，
①+②得：﹣2y=14，即y=﹣7＜0，不合题意，舍去，
把y=﹣7代入②得：x=﹣3，
此时方程组无解；
当x＜0，y＜0时，方程组变形得：，无解，
综上，方程组的解个数是1，
故选A
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（ ）
A．
；
B．；
C．；
D．
【答案】C
【解析】试题分析：设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，根据“工厂现有95个工人”和“一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套”列出方程组即可得到
．
故选：C
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
二、填空题（本大题共6小题）
9．已知a，b，c为3个自然数，满足，其中，则的最大值是__________．
【答案】1346
【分析】
先化简绝对值，再根据方程取非负整数解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵a，b，c为3个自然数，
要想取最大值，a应该取最小值0，
代入得，，
当b=1时，c最大，最大值为673，
，
故答案为：1346．
【点睛】
本题考查了绝对值化简和不定方程求非负整数解，解题关键是根据题意化简绝对值并确定a、b、c的最值．
10．网红重庆迎来了无数中外游客，重庆小火锅自助餐备受青睐．北京的小张、小王、小李来到重庆后，到某单人小火锅就餐，该店有n种配菜可以选择，每种配菜都有大盘菜、中盘菜、小盘菜这三种菜，价格分别为a元、b元、3元，，a、b都为正整数，每个人都选择了n种配菜，而且对每一种配菜只选择一个盘，三个人在分量上选择都各不相同，结账时，小张、小王都花费了53元，但他们在大盘菜的花费上各不相同，而小李共花费了54元，那么小李在中盘菜上花费了_________元．
【答案】24
【分析】
由题意，三人各不相同，每个人都选择了n种配菜，所以53+53+54＝160应是每一种菜品的总价的整数倍，即（3+a+b）n＝160，根据题意求出整数解，推出a＝8，b＝5，n＝10或a＝7，b＝6，n＝10，设小李在大盘菜上花费x份，中盘菜花费y份，分两种情形分别构建方程求解即可．
【详解】
解：由题意，三人各不相同，每个人都选择了n种配菜，所以53+53+54＝160应是每一种菜品的总价的整数倍，
即（3+a+b）n＝160，
∵3＜b＜a≤8，a、b都为正整数，
可知：a＝8，b＝5，n＝10或a＝7，b＝6，n＝10
设小李在大盘菜上花费x份，中盘菜花费y份，
由题意8x+5y+3（10﹣x﹣y）＝54，
∴5x+2y＝24，
∴x＝2，y＝7（舍弃不合题意）或x＝4，y＝2（舍弃不合题意），
或7x+6y+3（10﹣x﹣y）＝54，
∴4x+3y＝24，
∴x＝3，y＝4，
4×6＝24
故答案为：24
【点睛】
本题考查列代数式，二元一次方程的整数解等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
11．m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则m?=__________．
【答案】4或16或64．
【分析】
利用加减消元法求得x、y的解，由x、y均为整数，根据整除的意义得到m-3的值，可解得m的值，舍去不合题意的值，问题得解．
【详解】
解：解方程组得
∵方程组有整数解，
∴m-3=±5或m-3=±1，
解得m=±2或m=4或m=8，
又∵m为正整数，
∴m=2或m=4，或m=8，
∴m2=4或m2=16或m2=64．
故答案为：4或16或64．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，整除的意义，正确解出关于x、y的二元一次方程组并理解整除的意义是解题的关键．
12．已知关于，的二元一次方程，无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______．
【答案】
【分析】
将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】
将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，
因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，
所以，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想．
13．一片草原上的一片青草，到处长的一样密、一样快．20头牛在96天可以吃完，30头牛在60天可以吃完，则70头牛吃完这片青草需__________天．
【答案】24
【分析】
设草地原有青草为a，草一天长b，一只羊一天吃x，根据“20头牛在96天可以吃完，30头牛在60天可以吃完”可得到两个关于a、b、x的方程，解可得a、b与x的关系．再设70头牛吃可以吃y天，列出方程，把关于a、b的代数式代入即可得解．
【详解】
解：设草地原有青草为a，草一天长b，一只羊一天吃x，根据题意得：
解得：b=，a=，
当有70头牛吃时，设可以吃y天，则
a+yb=，把b=，a=代入得：y=24（天）．
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，把握牛吃青草的同时草也在生长是解答此题的关键．
14．解放碑某商场地下停车场有5个出入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为80%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，7小时车库恰好停满：如果开放3个进口和2个出口，4小时车库恰好停满．2019年清明节期间，由于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨7点开始经过_______小时车库恰好停满．
【答案】
【分析】
先设1个进口1小时开进辆车，1个出口1小时开出辆车，车位总数是
根据已知条件如果开放2个进口和3个出口，7小时车库恰好停满，可列出方程
根据已知条件如果开放3个进口和2个出口，4小时车库恰好停满，可列出方程
方程组可求得、关于的关系式
题中所求空置率变为60%，只能开放2个进口和1个出口时，几个小时停满，将、关于的关系式代入即可求解.
【详解】
设1个进口1小时开进辆车，1个出口1小时开出辆车，车位总数是
解得：
（小时）
故答案为：
【点睛】
本题解题关键是可以设出1个进口1小时开进辆车，1个出口1小时开出辆车，车位总数是，根据已知条件便可列出方程组，得出、关于的关系式，求解的问题同列方程组思路相同.
三、解答题（本大题共4小题）
15．对于不为0的一位数和一个两位数，将数放置于两位数之前，或者将数放置于两位数的十位数字与个位数字之间就可以得到两个新的三位数，将较大三位数减去较小三位数的差与15的商记为．例如：当，时，可以得到168，618．较大三位数减去较小三位数的差为，而，所以．
（1）计算：．
（2）若是一位数，是两位数，的十位数字为（，为自然数），个位数字为8，当时，求出所有可能的，的值．
【答案】(1)
=6；(2)a=3，b=78或a=7，b=78.
【分析】
(1)
=(217-127)÷15=6；
(2)分1≤a＜5，a=5，5＜a≤9三种情形讨论计算.
【详解】
(1)
当，时，可以得到217，127．较大三位数减去较小三位数的差为，而，
∴．
(2)当，时，可以得a50，5a0．三位数分别为100a+50,500+10a，
当1≤a＜5时，（500+10a）-（100a+50）=450-90a，而，
∴=，
∴=；
当a=5时，（500+10a）-（100a+50）=0，而，
∴=0，
∴=0；
当5＜a≤9时，（100a+50）-（500+10a）=90a-450，而，
∴=，
∴=a-5；
当，时，可以得900+10x+8，100x+98．
∵，
∴（900+10x+8）-（100x+98）=810-90x，而，
∴=，，
∴=；
当1≤a＜5时，5-a+27-3x=8,
∴a+3x=24,
∴当a=1时，x=（舍去），当a=2时，x=（舍去），
当a=3时，x=7，当a=4时，x=（舍去），
∴a=3，b=78；
当a=5时，则27-3x=8,
∴x=（舍去），
当5＜a≤9时，则a-5+27-3x=8,
∴3x-a=14,
∴当a=6时，x=（舍去），当a=7时，x=7，
当a=8时，x=（舍去），当a=9时，x=（舍去），
∴a=7，b=78；
综上所述，a=3，b=78或a=7，b=78.
【点睛】
本题考查了新定义问题和二元一次方程的整数解，准确理解新定义的意义，灵活运用分类思想和枚举法是解题的关键.
16．已知一个三位自然数，若满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个数为“银翔数”，并把其百位数字与个位数字乘积记为．例如693，，∴693是“银翔数”，
规定：（均为非零常数，为三位自然数）
已知；
（1）求的值及；
（2）已知两个十位数字相同的“银翔数”，，，且为整数，且加上各个数位上数字之和被16除余7，若，求的最小值．
【答案】（1），；；（2）8
【分析】
（1）应用与的定义表示出，，得到关于p和q的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据m与各个数位上数字之和能被16除余7，且，得到为正整数，即可得到c的值，再根据得到x和b的二元一次方程组，即可求解．
【详解】
解：（1）∵，，
∴①，
∵，，
∴②，
联立①，②，解得，；
∵，，
∴；
（2）由题知，m与各个数位上数字之和能被16除余7，且，
∴
，结果为整数，
∵，
∴或32，
当时，c不是整数，故舍去，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴或或或，
∴或或或，
，，
，，
∴的最小值为8．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组、新定义，理解题意是解题的关键．
17．[阅读材料]
善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程变形：，
即，
把方程代入得：，
所以，
将代入得，
所以原方程组的解为．
[解决问题]
（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组，
（2）已知x，y满足方程组，求的值．
【答案】（1）原方程组的解为；（2）
【分析】
（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案；
（2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案．
【详解】
解：
将方程变形得:
把方程代入得:，
所以
将代入得，
所以原方程组的解为；
，
把方程变形，得到，
然后把代入，得，
∴，
∴；
【点睛】
本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数．
18．先阅读材料再回答问题.
对三个数x，y，z，规定；表示x,y,z这三个数中最小的数，如，
请用以上材料解决下列问题：
（1）若,求x的取值范围；
（2）①若，求x的值；
②猜想：若，那么a，b，c大小关系如何？请直接写出结论；
③问：是否存在非负整数a，b，c使等式成立？若存在，请求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）0≤x≤1；（2）①x=1；②a=b=c；③存在
使等式成立
.
【解析】
【分析】
(1)根据题意可得关于x的不等式组，解不等式组即可求得答案；
(2)①先求出，继而根据题意可得，由此可得关于x的不等式组，求解即可得；
②M{a，b，c}=，如果min{a，b，c}=c，则a≥c，b≥c，即=c，由此可推导得出a=b=c，其他情况同理可证，故a=b=c；
③由②的结果可得关于a、b、c的方程组，由此进行求解即可得.
【详解】
(1)由题意得，
解得0≤x≤1；
(2)①
所以
则有
即
所以x=1
②∵M{a，b，c}=，
如果min{a，b，c}=c，则a≥c，b≥c，
则有=c，
即a+b-2c=0，
∴(a-c)+(b-c)=0，
又a-c≥0，b-c≥0，
∴a-c=0且b-c=0，
∴a=b=c，
其他情况同理可证，故a=b=c；
③存在，理由如下：
由题意得：，
由(Ⅰ)得
a+3b=6，即，
因为a，b，c是非负整数
，所以a=0，3，6
，b=2，1，0，
即，代入(Ⅱ)得c=3，
或，代入(Ⅱ)得c=，不符合题意，舍去，
或
，代入(Ⅱ)得c=，不符合题意，舍去，
综上所述：
存在使等式成立.
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的应用，方程组的应用，读懂题意，正确进行分析得出相应的不等式组或方程组是解题的关键.
试卷第1页，总3页
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2020-2021学年浙江七年级数学下第二章《二元一次方程组》竞赛题2
一，单项选择题（本大题共8小题）
1．定义新运算：对于任意实数a，b都有a※b＝am－bn，等式右边是通常的减法和乘法运算．规定，若3※2＝5，1※（－2）＝－1，则（－3）※1的值为（
）
A．－2
B．－4
C．－7
D．－11
2．已知关于、的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变，其中正确的是（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
3．已知方程组的解是，则方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知方程组（xyz≠0），则x：y：z等于（
）
A．2：1：3
B．3：2：1
C．1：2：3
D．3：1：2
5．设，，…，是从1，0，-1这三个数取值的一列数，若++…+=69，，则，，…，中为0的个数是（
）
A．173
B．888
C．957
D．69
6．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少钱( )
A．128元
B．130元
C．150
元
D．160元
7．方程组的解的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（ ）
A．
B．；
C．；
D．
二、填空题（本大题共6小题）
9．已知a，b，c为3个自然数，满足，其中，则的最大值是__________．
10．网红重庆迎来了无数中外游客，重庆小火锅自助餐备受青睐．北京的小张、小王、小李来到重庆后，到某单人小火锅就餐，该店有n种配菜可以选择，每种配菜都有大盘菜、中盘菜、小盘菜这三种菜，价格分别为a元、b元、3元，，a、b都为正整数，每个人都选择了n种配菜，而且对每一种配菜只选择一个盘，三个人在分量上选择都各不相同，结账时，小张、小王都花费了53元，但他们在大盘菜的花费上各不相同，而小李共花费了54元，那么小李在中盘菜上花费了_________元．
11．m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则m?=__________．
12．已知关于，的二元一次方程，无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______．
13．一片草原上的一片青草，到处长的一样密、一样快．20头牛在96天可以吃完，30头牛在60天可以吃完，则70头牛吃完这片青草需__________天．
14．解放碑某商场地下停车场有5个出入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为80%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，7小时车库恰好停满：如果开放3个进口和2个出口，4小时车库恰好停满．2019年清明节期间，由于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨7点开始经过_______小时车库恰好停满．
三、解答题（本大题共4小题）
15．对于不为0的一位数和一个两位数，将数放置于两位数之前，或者将数放置于两位数的十位数字与个位数字之间就可以得到两个新的三位数，将较大三位数减去较小三位数的差与15的商记为．例如：当，时，可以得到168，618．较大三位数减去较小三位数的差为，而，所以．
（1）计算：．
（2）若是一位数，是两位数，的十位数字为（，为自然数），个位数字为8，当时，求出所有可能的，的值．
16．已知一个三位自然数，若满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个数为“银翔数”，并把其百位数字与个位数字乘积记为．例如693，，∴693是“银翔数”，
规定：（均为非零常数，为三位自然数）
已知；
（1）求的值及；
（2）已知两个十位数字相同的“银翔数”，，，且为整数，且加上各个数位上数字之和被16除余7，若，求的最小值．
17．[阅读材料]
善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程变形：，
即，
把方程代入得：，
所以，
将代入得，
所以原方程组的解为．
[解决问题]
（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组，
（2）已知x，y满足方程组，求的值．
18．先阅读材料再回答问题.
对三个数x，y，z，规定；表示x,y,z这三个数中最小的数，如，
请用以上材料解决下列问题：
（1）若,求x的取值范围；
（2）①若，求x的值；
②猜想：若，那么a，b，c大小关系如何？请直接写出结论；
③问：是否存在非负整数a，b，c使等式成立？若存在，请求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，总3页
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