第5章 分式单元测试卷（含解析）

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七年级数学下册
分式
单元测试卷
（满分100分）
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
代数式，，，中分式有（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
下列分式运算，结果正确的是(
)???
A.
·＝
B.
÷9xy＝
C.
()2＝
D.
()3＝
已知的值为4，若分式中的、均扩大2倍，则的值为?（???
）
A.
2
B.
4
C.
8
D.
16
某边防哨卡运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果．若设该哨卡共有x名战士，则所列方程为（
）
A.
B.
C.
D.
若关于x的方程有增根，则k的值为
A.
3
B.
1
C.
0
D.
若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是(????)
A.
B.
C.
且
D.
且
若=+,则=（?
?
）
A.
3
B.
-3
C.
D.
-
已知：a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝1÷（1﹣a1），a3＝1÷（1﹣a2），…，an＝1÷（1﹣an﹣1），则a2011等于（
）
A.
x
B.
x+1
C.
-
D.
-
已知、为实数且满足，，设，，则下列两个结论（
）
①时，，时，；时，．②若，则．
A.
①②都对
B.
①对②错
C.
①错②对
D.
①②都错
某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带．方案一如图1所示，绿化带面积为S甲；方案二如图2所示，绿化带面积为S乙．设（a＞b＞0），下列选项中正确的是（???
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
给出下列5个分式：①，②，③；④；⑤．其中的最简分式有___________（填序号）．
已知?－?=
5，则分式的值为_________
.
若关于的分式方程无解，则的值为__________．
若，且x+=6,则x-的值??????????.
对于实数a，b定义一种新运算“?”：a?b=，例如，1?3==-．则方程x?2=-1的解是______．
无论x取何值，分式总有意义，常数k的取值范围是____________．
小李家离某书店6千米，他从家中出发步行到该书店，返回时由于步行速度比去时每小时慢了1千米，结果返回时多用了半小时．如果设小李去书店时的速度为每小时x千米，那么列出的方程是______．
已知方程，计算(1+
a)(
1+
a2)(
1+
a4)(
1+a8)=??
?
?
?
??。
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
解分式方程:
(1)
=
1+
;
(2)
+
=
.
四、解答题（本大题共6小题，共40.0分）
（5分）先化简，再代入求值：，其中x=.
（5分）已知===,且2b-d+5f0,求的值.
（6分）观察下列等式：；；；．
（1）猜想并写出第n个等式(n为正整数)；
（2）证明你写出的等式成立的理由．
（6分）某镇拟修一条连通贫困山区村的公路，现有甲、乙两个工程队.若甲、乙合作，36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，这样所需550万元.
（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？
（8分）某地产公司为了吸引年轻人购房，特推出“主房+多变入户花园”的两种户型，即将图1中边长为a米的正方形主房进行改造．
户型一：如图2，将主房两侧均加长b米，阴影部分作为入户花园；
户型二：如图3，将主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．
解答下列问题：
（1）设两种户型的主房面积差为M，入户花园面积差为N，试比较M和N的大小；
（2）若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型的单价较低，并说明理由．
（10分）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
已知分式，b，c为整数，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．，是分式。
2.【答案】A
【解析】解：A.原式=，故本选项正确；
B.原式=，故本选项错误；
C.原式=，故本选项错误；
D.原式=，故本选项错误．
3.【答案】C
【解析】解：分式中的x、y均扩大2倍得：
==2×4=8
4.【答案】B
【解析】解：设该哨卡共有x名战士，
依题意有，，
即
5.【答案】A
【解析】解：方程两边都乘（x-1），?
得3=x-1+k，?
∵原方程有增根，?
∴最简公分母x-1=0，?解得x=1，?
当x=1时，k=3．?
6.【答案】D
【解析】解：去分母得：m+1=2x-2，解得：x=，
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴≥0且≠1，解得：m≥-3且m≠-1
7.【答案】C
【解析】+=+=,
解得==.
8.【答案】B
【解析】解：∵a1=x+1（x≠0且x≠-1），
a2=1÷（1-a1）=，
a3=1÷（1-a2）=，
a4=1÷（1-a3）=
…，
∴a3n=，a3n+1=x+1，a3n+2=-，
∵2011=670×3+1，
∴a2011=x+1．
9.【答案】C
【解析】解：∵，，
∴M-N=-（），
=，
=，
=，
①当ab=1时，M-N=0，
∴M=N，
当ab＞1时，2ab＞2，
∴2ab-2＞0，
当a＜0时，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，
∴M-N＞0或M-N＜0，
∴M＞N或M＜N；
当ab＜1时，a和b可能同号，也可能异号，
∴（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，而2ab-2＜0，
∴M＞N或M＜N；
∴①错
②M?N=（）?（）
=++，
∵a+b=0，
∴原式=
=
=
∵a≠-1，b≠-1，
∴（a+1）2（b+1）2＞0，
∵a+b=0，
∴ab≤0，M?N≤0．
∴②对．
①根据分式的加法法则计算，然后分情况讨论即可得结论；
②根据方式的混合运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用．
10.【答案】B
【解析】解：图甲绿化带的面积为：S甲=2ab-b2；
图乙绿化带的面积为：S乙=2ab；
∵
∴.
∴
11.【答案】①②⑤
【解析】解：①②⑤是最简分式，
③，不是最简分式，
④，不是最简分式.
12.【答案】1
【解析】解：由，得到x-y=-5xy，
则
=
=
=1
13.【答案】0.5或1.5
【解析】解：=2a，
去分母得：x-2a=2a（x-3），
整理得：（1-2a）x=-4a，
当1-2a=0时，方程无解，故a=0.5；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1.5，
则a的值为0.5或1.5．
直接解分式方程，再分类讨论当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．
此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
14.【答案】-4
15.【答案】x=5
【解析】解：根据题中的新定义，化简得：=-1，
去分母得：1=2-x+4，解得：x=5，
经检验，x=5是分式方程的解，
故答案为：x=5．
此题考查了解分式方程以及实数的运算，解分式方程时，一定要检验．弄清题中的新定义是解本题的关键．
16.【答案】k＞4
【解析】解：当x2-4x+k≠0时，分式总有意义，
即，
，
∴K-4＞0,
解得，K＞4.
17.【答案】-=
【解析】解：设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据题意得：-=
此题考查由实际问题抽象出分式方程，根据已知返回时多用了半小时得出等式方程求出是解题关键．
18.【答案】16
【解析】本题考查了解分式方程，题目有难度，关键是利用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b），将分式分步通分．利用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b），可将分式分步通分，每一步只通分左边两项，化简求得，然后代入所求的代数式进行求值即可．
解：由，得：
=
=
=
=
=
=0,
∴，
∴（1-a）（1+a）（1+a2）（1+a4）（1+a8）=1-a16，
∴（1+a）（1+a2）（1+a4）（1+a8）=（1-a16）.
19.【答案】解：?
(1)方程两边同乘x(x+1),得=x(x+1)+x+1.
化简,得2x+1=0,解得x=-.
检验:当x=-时,x(x+1)=-0.
x=-是原方程的解
(2)方程两边同乘(x+1)(x-1),得3x-3+5x+5=10.
解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0.
原分式方程无解.
20.【答案】解：原式=?-
=-
=-，
把x=代入得：原式=-=-．
【解析】原式利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
21.【答案】解:===，
a=b，c=d，e=f，
===.
22.【答案】解：(1)第n个等式为+=.
(2)理由:左边=+===.
右边===,
所以左边=右边,
即+=.
【解析】（1）通过观察得出规律后即可写出第n个等式；
（2）先对分式的左边通分，再相加,，再对等式右边分母化简因式分解，便证出左边=右边，即可证出猜想的正确性.
23.【答案】解：（1）设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成此项工程需要y天，
依题意得：，解得：，
经检验，所得的解就是原分式方程组的解，且符合题意．
答：甲队单独完成此项工程需要180天，乙队单独完成此项工程需要45天．
（2）设甲队单独完成此项工程需要m万元，乙队单独完成此项工程需要n万元，
依题意得：，解得：．
答：甲队单独完成此项工程需要1050万元，乙队单独完成此项工程需要487.5万元．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
24.【答案】解：（1）∵M=a2-a（a-b）=a2-a2+ab=ab，
???????N=（a+b）2-a2-b（a-b）=a2+2ab+b2-a2-ab+b2=ab+2b2，
∴M-N=ab-（ab+2b2）=-2b2，
∵9b＞0，∴-2b2＜0，
∴M-N＜0，∴M＜N；
（2）户型一的单价为万元，
户型二的单价为万元，
-
=
=
=，
∵0＜9b＜a，
∴a-9b＞0，a-b＞0，
∴＞0，
∴户型二的单价较低．
【解析】本题考查的是整式的加减和分式的加减.
（1）分别计算两种户型的主房面积，相减可得M，再计算两种户型的入户花园的面积，相减可得N，判断M-N与0的关系，可以判断M和N的大小；
（2）根据总价÷总面积=单价，可得户型一和户型二的单价，计算两种单价差可作判断．
25.【答案】（1）C不是D的“雅中式”，理由如下，
=
=．
即：C不是D的“雅中式”．
（2）．
∵P是Q的雅中式．
又∵P关于Q的雅中值为2．
∴E-2x2-6x=2（9-x2）．
∴E=6x+18．
∴P===．
∵P的值也为整数，且分式有意义．
故3-x=±1，或3-x=±2，或者3-x=±3，或3-x=±6，
∴x的值为：-3，0，1，2，4，5，6，9．
∵x≠±3．
∴x的值为：0，1，2，4，5，6，9．
符合条件的x的值之和为：0+1+2+4+5+6+9=27．
（3）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1．
=1．
整理得：（-b-c+a+4）x+bc-5a=0．
由上式子恒成立，则：．
消去a得：bc-5b-5c+20=0．
∴b（c-5）-5（c-5）=5．
∴（b-5）（c-5）=5．
∵a、a、c的整数．
∴b-5、c-5也是整数．
当b-5=1、c-5=5时，b=5，c=10，此时a=12．
∴a-b+c=16．
当b-5=5、c-5=1时，b=10，c=6，此时a=12．
∴a-b+c=8．
当b-5=-1、c-5=-5时，b=4，c=0，此时a=0．
∴a-b+c=-4．
当b-5=-5、c-5=-1时，b=0，c=4，此时a=0．
∴a-b+c=4．
综上：a-b+c的值为：16或8或-4或4．
【解析】（1）根据定义即判断．
（2）根据定义，计算出E的代数式，然后分析P，即可找到所有的x的值，即可求值．
（3）根据题意建立等式后，然后化简，再进行分类讨论即可找到a、b、c的值，即可求解了．
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精品试卷·第
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