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《4.3用乘法公式分解因式（1）》教案
课题
4.3用乘法公式分解因式（1）
单元
四
学科
数学
年级
七年级下册
学习目标
1.掌握平方差公式分解因式；2．会综合运用提公因式与平方差公式解题．
重点
掌握平方差公式分解因式；
难点
会综合运用提公因式与平方差公式解题．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
1、导入新课一、创设情景，引出课题
在日常生活中如上网等都需要密码.有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译.例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码,
当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗?本节课一起来研究
破解密钥a2-b2=？请用语言描述下公式的结构特点.（１）公式左边：是一个将要被分解因式的多项式★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。(2)公式右边:（是分解因式的结果）★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。平方差公式：两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.你能用图形解释吗？
思考自议运用平方差公式，首先判断是不是符合平方差公式特点；
掌握若多项式各项有公因式，先提取公因式，在用平方差公式因式分解.
合作探究
二.提炼概念运用a2-b2=(a+
b)(a-
b)有哪些特点？公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项.???“a2-b2”的形式与平方差公式中a对应的项与平方差公式中b对应的项9a2-1-t2+0.01s2(a+b)2-(a-b)2三.典例精讲例1：把下列各式分解因式：（1）16a2-1
(2)-m2n2+4p2
(3)
x2
-
y2
(4)(x+z)2-(y+z)2(1)16a2-1=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1)原式=（2p)2-(mn)2=
(2p+mn)(2p-mn)原式
=(
x)2
–(
y)2=(
x+
y)(
x-
y)（4）原式
=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-
(y+z)]
=(x+z+y+z)(x+z-
y-z)
=(x+y+2z)(x-y)例2
分解因式.
4x3y-9xy3能分解因式吗?用什么方法?4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2)提取公因式后,多项式还能继续分解因式吗?4x3y-9xy3=xy
(4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y)[注意]:
1.一般地,因式分解时有公因式先提公因式
2.因式分解时要分解彻底。知识解密在日常生活中如上网等都需要密码.有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译.例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码,
当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗?
x4–y4=(x2+y2)(x2–y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y
)把x=9,y=9代入可得出密码.
(1)公式中的字母a，b可以表示任何数或单项式和多项式；(2)若给出的多项式不具备明显平方差关系，需要转化成a2－b2的形式．
(1)分解因式的步骤是首先提取公因式，然后考虑用公式；(2)分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．
当堂检测
四.巩固训练1.下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由.不能
（2）能
（3）不能
(4)能
（5）能
（6）不能
2.因式分解：(1)m3－4m＝_________________；(2)x3－xy2＝_______________．【解析】
(1)m3－4m＝m(m2－4)＝m(m＋2)(m－2)．
(2)x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．4.已知224－1可以被60到70之间的某两个数整除，求这两个数．解：(224－1)＝(212＋1)(212－1)＝(212＋1)(26＋1)(26－1)＝(212＋1)×65×63，所以这两个数是65和63.5.小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可)解：4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y)把x=10,y=10代入
可得出一种密码为103010.
课堂小结
分解因式的步骤是首先提取公因式，然后考虑用公式；(2)分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．注意：(1)公式中的字母a，b可以表示任何数或单项式和多项式；(2)若给出的多项式不具备明显平方差关系，需要转化成a2－b2的形式．
（1）4x2+y2
(2)
4x2-(-y)2
(3)
-4x2-y2
(4)
-4x2+y2
(5)
a2-4
(6)
a2+3
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浙教版
七年级下
4.3用乘法公式分解因式（1）
新知导入
情境引入
在日常生活中如上网等都需要密码.
有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译.
例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码,
当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗?
本节课一起来研究
破解密钥a2-b2=？
新知导入
合作&学习
请用语言描述下公式的结构特点.
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
▲
▲
▲
（１）公式左边：是一个将要被分解因式的多项式
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2)公式右边:（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
平方差公式：
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差.
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
a
b
a
b
a-b
你能用图形解释吗？
提炼概念
新知讲解
运用a2-b2=(a+
b)(a-
b)有哪些特点？
公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项.
“a2-b2”的形式
与平方差公式中a对应的项
与平方差公式中b对应的项
9a2-1
-t2+0.01s2
(a+b)2-(a-b)2
典例精讲
例1：把下列各式分解因式：
（1）16a2-1
(2)-m2n2+4p2
(3)
x2
-
y2
(4)(x+z)2-(y+z)2
例：
(1)16a2-1
=(4a)2-12
=(4a+1)(4a-1)
a2-b2=(a
+
b)(a
-
b)
（2）原式=（2p)2-(mn)2=
(2p+mn)(2p-mn)
（3）原式
=(
x)2
–(
y)2=(
x+
y)(
x-
y)
（4）原式
=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-
(y+z)]
=(x+z+y+z)(x+z-
y-z)
=(x+y+2z)(x-y)
例2
分解因式.
4x3y-9xy3
4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2)
(2)提取公因式后,多项式还能继续分解因式吗?
4x3y-9xy3=xy
(4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y)
[注意]:
1.一般地,因式分解时有公因式先提公因式
2.因式分解时要分解彻底。
(1)能分解因式吗?用什么方法?
在日常生活中如上网等都需要密码.
有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译.
例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码,
当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗?
x4–y4=(x2+y2)(x2–y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y
)
把x=9,y=9代入可得出密码.
课堂练习
1.下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由。
（1）4x2+y2
(2)
4x2-(-y)2
(3)
-4x2-y2
(4)
-4x2+y2
(5)
a2-4
(6)
a2+3
（1）不能
（2）能
（3）不能
(4)能
（5）能
（6）不能
2.因式分解：
(1)m3－4m＝_________________；
(2)x3－xy2＝_______________．
【解析】
(1)m3－4m＝m(m2－4)＝m(m＋2)(m－2)．
(2)x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．
4.已知224－1可以被60到70之间的某两个数整除，求这两个数．
解：(224－1)
＝(212＋1)(212－1)
＝(212＋1)(26＋1)(26－1)
＝(212＋1)×65×63，
所以这两个数是65和63.
5.小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可)
解：4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y)
把x=10,y=10代入
可得出一种密码为103010
课堂总结
注意点：若要分解多项式，先看有无公因式，其次查对各公式，彻底分解多项式。
一个知识点：平方差公式分解因式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
一种数学思想：类比思想。
说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
作业布置
教材课后作业题1-6题
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4.3用乘法公式分解因式（1）学案
课题
4.3用乘法公式分解因式（1）
单元
第四单元
学科
数学
年级
七年级下册
学习目标
1.掌握平方差公式分解因式；2．会综合运用提公因式与平方差公式解题．
重点
掌握平方差公式分解因式；
难点
会综合运用提公因式与平方差公式解题．
教学过程
导入新课
【思考】复习导入在日常生活中如上网等都需要密码.有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译.例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码,
当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗?本节课一起来研究
破解密钥a2-b2=？请用语言描述下公式的结构特点.（１）公式左边：是一个将要被分解因式的多项式★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。(2)公式右边:（是分解因式的结果）★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。平方差公式：两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.你能用图形解释吗？
新知讲解
提炼概念运用a2-b2=(a+
b)(a-
b)有哪些特点？公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项.???“a2-b2”的形式与平方差公式中a对应的项与平方差公式中b对应的项9a2-1-t2+0.01s2(a+b)2-(a-b)2典例讲解例1：把下列各式分解因式：（1）16a2-1
(2)-m2n2+4p2
(3)
x2
-
y2
(4)(x+z)2-(y+z)2(1)16a2-1=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1)原式=（2p)2-(mn)2=
(2p+mn)(2p-mn)原式
=(
x)2
–(
y)2=(
x+
y)(
x-
y)（4）原式
=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-
(y+z)]
=(x+z+y+z)(x+z-
y-z)
=(x+y+2z)(x-y)例2
分解因式.
4x3y-9xy3能分解因式吗?用什么方法?4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2)提取公因式后,多项式还能继续分解因式吗?4x3y-9xy3=xy
(4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y)[注意]:
1.一般地,因式分解时有公因式先提公因式
2.因式分解时要分解彻底。知识解密在日常生活中如上网等都需要密码.有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译.例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码,
当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗?
x4–y4=(x2+y2)(x2–y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y
)把x=9,y=9代入可得出密码.
课堂练习
巩固训练1.下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由.不能
（2）能
（3）不能
(4)能
（5）能
（6）不能
2.因式分解：(1)m3－4m＝_________________；(2)x3－xy2＝_______________．【解析】
(1)m3－4m＝m(m2－4)＝m(m＋2)(m－2)．
(2)x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．4.已知224－1可以被60到70之间的某两个数整除，求这两个数．解：(224－1)＝(212＋1)(212－1)＝(212＋1)(26＋1)(26－1)＝(212＋1)×65×63，所以这两个数是65和63.5.小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可)解：4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y)把x=10,y=10代入
可得出一种密码为103010.
课堂小结
分解因式的步骤是首先提取公因式，然后考虑用公式；(2)分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．注意：(1)公式中的字母a，b可以表示任何数或单项式和多项式；(2)若给出的多项式不具备明显平方差关系，需要转化成a2－b2的形式．
（1）4x2+y2
(2)
4x2-(-y)2
(3)
-4x2-y2
(4)
-4x2+y2
(5)
a2-4
(6)
a2+3
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2
页
（共
2
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