4.3 用乘法公式分解因式 同步练习（含解析）

初中数学浙教版七年级下册4.3 用乘法公式分解因式 同步练习
一、单选题
1.若x2+mx+9＝（x﹣3）2 ， 则m的值为（?? ）
A.?6?????????????????????????????????????????B.?﹣6?????????????????????????????????????????C.?±6?????????????????????????????????????????D.?3
2.多项式y2－my＋144成为完全平方式，则m的值为(? ??)
A.?± 12??????????????????????????????????????B.?24??????????????????????????????????????C.?±24??????????????????????????????????????D.?12
3.将多项式 x3-xy2 分解因式，结果正确的是（?? ）
A.?x(x2-y2)????????????????????????B.?x(x-y)2????????????????????????C.?x(x+y)2????????????????????????D.?x(x+y)(x-y)
4.下列多项式中，是完全平方式的为（?? ）
A.?x2-x+14?????????????????????B.?x2+12x+14?????????????????????C.?x2+14x-14?????????????????????D.?x2-14x+14
5.将多项式 4x2+1 加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，下列添加单项式错误的是（?? ）
A.?2x???????????????????????????????????????B.?4x???????????????????????????????????????C.?-4x???????????????????????????????????????D.?4x4
6.下列分解因式正确的是（?? ）
A.?x2+2xy-y2=(x-y)2
B.?3ax2-6ax=3(ax2-2ax)
C.?m3-m =m(m-1)(m+1)
D.?a2-4=(a-2)2
7.小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2 ， 则中间一项的系数是（?? ）
A.?12????????????????????????????????????B.?﹣12????????????????????????????????????C.?12或﹣12????????????????????????????????????D.?36
8.下列各式中：① -x2-y2=-(x+y)(x-y) ，② -x2+y2=(-x+y)(x+y) ， ③ x2- 2x-4=(x-2)2 ，④ x2+x+14=(x+12)2 中，分解因式正确的个数有（? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
9.已知 x2-mx+9 是某个整式的平方的展开式，则m 的值为（?? ?）
A.?3??????????????????????????????????????????B.?±3??????????????????????????????????????????C.?6??????????????????????????????????????????D.?±6
10.下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ?）
A.?x2-xy?????????????????????????????B.?x2+xy?????????????????????????????C.? 4x2+y2?????????????????????????????D.?4x2-y2
二、填空题
11.分解因式：x3﹣25x＝________.
12.若 a+b=3 ， ab=2 ，则 (a-b)2= ________.
13.在括号中填上适当的数，使等式成立： x2-2x+1=(x- ________）2 .
14.将多项式x2+4加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是________(写出一个即可)
15.在实数范围内分解因式： x2+4x+1________
三、解答题
16.因式分解：
（1）4x2-8xy+2x
（2）3x(a-b)-6y(b-a)
（3）2a3-8a
（4）(x2+4)2-16x2
17.因式分解
（1）2ab-4b ；
（2）3xy3-6x2y2+3x3y ；
（3）m2(7-m)+9(m-7) ．
18.请你说明：m（m+1）（m+2）（m+3）+1是一个完全平方式．
19.下面是小华同学分解因式 9a2(x-y)+4b2(y-x) 的过程，请认真阅读，并回答下列问题．
解：原式 =9a2(x-y)+4b2(x-y) ①
=(x-y)(9a2+4b2) ②
=(x-y)(3a+2b)2 ③
任务一：以上解答过程从第________步开始出现错误．
任务二：请你写出正确的解答过程．
20.已知多项式(a2+ka+25)–b2 ， 在给定k的值的条件下可以因式分解即：前半部分可以写成完全平方公式
（1）写出常数k可能给定的值；
（2）针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程.
21.已知a，b，c是 △ABC 的三边，且满足 a2-b2+ac-bc=0 ，试判断 △ABC 的形状，并说明理由．
22.已知二次三项式x2+px+q的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，而它的一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．
23.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接运用完全平方公式分解因式时，可应用下面方法分解因式，先将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x2+8x+7
=x2+8x+16-16+7
=（x+4）2-9
=（x+4+3）（x+4-3）
=（x+7）（x+1）
根据以上材料，完成相应的任务：
（1）利用“多项式的配方法”将x2+2x-3化成a（x+m）2+n的形式为________；
（2）请你利用上述方法因式分解：
①x2+6x+8；
②x2-6x-7．
24.将两个大小不一的等腰直角三角形按如图①，②的方式摆放，设两个三角形的直角边长分别为 x ， y(x>y>0) ，图②中阴影部分的面积为 S .
（1）用含 x ， y 的代数式表示图②中阴影部分的面积；
（2）将（1）中的代数式因式分解；
（3）若 AB=a ， CD=b ，用含 a ， b 的式子表示图②中阴影部分的面积.
答案解析部分
一、单选题
1. B
考点：完全平方式
解： x2+mx+9=(x﹣3)2=x2-6x+9 ，
可得m=-6.
故答案为：B.
分析：根据完全平方公式将等式的右边展开进行比较 ，可求得m的值.
2. C
考点：完全平方式
解：∵多项式y2－my＋144成为完全平方式，
∴ y2－my＋144=（y±12）2
∴-m=±12×2
解之：m=±24.
故答案为：C.
分析：利用完全平方公式a2±2ab+b2 ， 可得到y2－my＋144=（y±12）2 ， 由此可得到m的值.
3. D
考点：提公因式法与公式法的综合运用
解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），
故答案为：D.
分析：先提取公因式x，再根据平方差公式进行二次分解.
4. A
考点：完全平方式
解：A. x2-x+14 = (x-12)2 ，故符合题意
B. x2+12x+14 = (x+14)2+316 ，故不符合题意
C. x2+14x-14 = (x+116)2-65256 ，故不符合题意
D. x2-14x+14 = (x-116)2+63256 ，故不符合题意
故答案为：A
分析：利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．
5. A
考点：完全平方式
解：A.4x2+2x+1，不是完全平方式，故此选项符合题意；
B.4x2+4x+1=（2x+1）2 ， 是完全平方式，故此选项不符合题意；
C.4x2-4x+1=（2x-1）2 ， 是完全平方式，故此选项不符合题意；
D.4x4+4x2+1=（2x2+1）2 ， 是完全平方式，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
分析：根据完全平方公式分别分析判断，完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2, 分两种情况解答，即配一个平方项或±2ab项即可.
6. C
考点：提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法，提公因式法与公式法的综合运用
解：A. x2+2xy-y2 不能分解因式，故该选项错误，
B. 3ax2-6ax=3ax(x-2) ，故该选项错误，
C. m3-m =m(m-1)(m+1) ，故该选项正确，
D. a2-4=(a-2)(a+2) ，故该选项错误，
故答案为：C.
分析：A、不能分解因式，据此判断即可；
B、提取公因式3ax即可分解因式，据此判断即可；
C、提取公因式m，再利用平方差公式分解因式，据此判断即可；
D、利用平方差公式分解因式，据此判断即可.
7. C
考点：完全平方式
解：由（2a±3b）2=4a2±12ab+9b2 ，
∴染黑的部分为±12.
故答案为：C.
分析：根据题意该式就是一个完全平方式，所谓完全平方式，就是一个三项式中，有两项能写成一个整式的完全平方，且符号完全相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍，符号可加可减，根据特点即可得出答案.
8. B
考点：提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法
解：① -x2-y2=-(x2+y2) ，无法分解因式，故此选项不符合题意；
② -x2+y2=(-x+y)(x+y) ，符合题意；
③ x2-2x-4=(x-1)2-5=(x-1+5)(x-1-5) ，故此选项不符合题意；
④ x2+x+14=(x+12)2 ，故此选项符合题意；
所以，正确的答案有2个，
故答案为：B．
分析：利用提公因式法，因式分解法，进行计算求解即可。
9. D
考点：完全平方式
解：由已知可得，
x2-mx+9=x2-mx+32=(x±3)2=x2±6x+9 ，
因此m的值为±6，
故答案为：D．
分析：根据完全平方式的含义，计算得到答案即可。
10. D
考点：因式分解﹣运用公式法
解：A、x2-xy=x(x-y)，用的是提公因式法，不是平方差公式法，故A错误；
B、x2+xy=x(x+y)，用的是提公因式法，不是平方差公式法，故B错误；
C、4x2+y2无法分解因式，故C错误；
D、4x2-y2=(2x+y)(2x-y)，用的是平方差公式法，故D正确.
故选：D.
分析：将四个选项分别变形，符合a2-b2=（a+b）（a-b）形式的即可用平方差公式进行因式分解.
二、填空题
11. x（x+5）（x﹣5）
考点：提公因式法与公式法的综合运用
解：x3﹣25x
＝ x(x2-25)
＝ x(x+5)(x-5)
故答案为x（x+5）（x﹣5）.
分析：先提取公因式x，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解.
12. 1
考点：代数式求值，完全平方式
解： ?(a-b)2
=a2-2ab+b2?
=(a+b)2-4ab
=9-4×2
=1，
故答案为：1.
分析：将a+b=3两边平方，利用完全平方公式化简，将ab的值代入求出a2+b2的值，所求式子利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值．
13. 1
考点：因式分解﹣运用公式法
解： x2-2x+1=(x-1)2 ，
故答案为：1.
分析：利用完全平方公式可得答案.
14. 4x或 14x4
考点：完全平方式
解：∵（x+2）2=x2+4x+4，
∴ 多项式x2+4加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是4x.
故答案为：4x.
分析：根据完全平方式的结构特点进行解答即可.
15. (x+2+3)(x+2-3)
考点：因式分解﹣运用公式法
解： x2+4x+1
= x2+4x+22-22+1
= (x+2)2-3
= (x+2+3)(x+2-3)
故答案为： (x+2+3)(x+2-3)
分析：根据题意，利用完全平方公式分解因式得到答案即可。
三、解答题
16. （1）解：原式 =2x(2x-4y+1) ；
（2）解：原式 =3x(a-b)+6y(a-b)
=3(a-b)(x+2y) ；
（3）解：原式 =2a(a2-4)
=2a(a+2)(a-2) ；
（4）解：原式 =(x2+4+4x)(x2+4-4x)
=(x+2)2(x-2)2 .
考点：提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法，提公因式法与公式法的综合运用
分析：（1）提取公因式2x即可；（2）先将原式变形为 3x(a-b)+6y(a-b) ，然后再提取公因式 3(a-b) 即可；（3）先提取公因式2a ， 然后再利用平方差公式分解因式即可；（4）先根据平方差公式分解因式，然后再利用完全平方公式分解即可.
17. （1）解：原式= 2b(a-2)
（2）解：原式= 3xy(y2-2xy+x2)
=3xy(x-y)2
（3）解：原式=（7-m）（m2-9）
=（7-m）（m+3）（m-3）．
考点：提公因式法因式分解，提公因式法与公式法的综合运用
分析：（1）利用提公因式法进行分解即可；
（2）先提取公因式3xy，再利用完全平方公式进行分解分解即可；
（3）先提取公因式(7-m)，再利用平方差公式进行分解分解即可；
18. 解：原式=[m（m+3）][（m+1）（m+2）]+1
=（m2+3m）（m2+3m+2）+1
=（m2+3m）2+2（m2+3m）+1
=[（m2+3m）+1]2
考点：完全平方式
分析：根据乘法交换律、结合律，可得多项式乘多项式，根据多项式的乘法，可得完全平方公式．
19. ①解：正确过程如下： 9a2(x-y)+4b2(y-x) =9a2(x-y)-4b2(x-y) =(x-y)(9a2-4b2) =(x-y)(3a+2b)(3a-2b) ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用
分析：根据提公因式法和平方差公式进行因式分解．
20. （1）解：∵ a2+ka+25 是完全平方式，
∴ ka=±2×5?a ，
∴ k=±10 ；
（2）解：当k=10时，
原式= (a2+10a+25)-b2
= (a+5)2-b2
= (a+5+b)(a+5-b) .
考点：因式分解﹣运用公式法，完全平方式
分析：（1）根据 a2+ka+25 是完全平方式，求出k的值即可；（2）代入一个k的值，根据公式法分解因式即可.
21. 解： a2-b2+ac-bc=(a+b)(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+b+c)=0
∵ a ， b ， c 是 △ABC 的三边，都大于0
∴ a=b
∴△ABC是等腰三角形.
考点：因式分解﹣运用公式法
分析：首先将已知等式进行因式分解，然后由三角形三边都大于0，解其方程得到 a=b ，即可判定.
22. 解：（x-1）（x-9）=x2-10x+9，
由于二次三项式x2+px+q的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，
∴q=9，
（x-2）（x-4）=x2-6x+8，
由于二次三项式x2+px+q的一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，
∴p=-6．
∴原二次三项式是x2-6x+9．
∴x2-6x+9=（x-3）2 ．
考点：提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法
分析：先计算出（x-1）（x-9）与（x-2）（x-4），根据二次三项式x2+px+q的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，确定二次三项式，再因式分解．
23. （1）(x+1)2-4
（2）解：① x2+6x+8
= x2+6x+9-9+8
= (x+3)2-1
= (x+3+1)(x+3-1)
= (x+4)(x+2)
② x2-6x-7
= x2-6x+9-9-7
= (x-3)2-16
= (x-3+4)(x-3-4)
= (x+1)(x-7)
考点：因式分解﹣运用公式法
解：（1） x2+2x-3 = x2+2x+1-4 = (x+1)2-4 ；
分析：利用平方差公式进行计算求解即可。
24. （1）解：如图，

由题意， FD=x,FC=y
∴S=12DF2-12CF2=12x2-12y2
即图②中阴影部分的面积为 12x2-12y2 ；
?（2）12x2-12y2=12(x+y)(x-y) ；
（3）由图可知， x+y=a ， x-y=b ，
∴图②中阴影部分的面积为 12(x+y)(x-y)=12ab .
考点：列式表示数量关系，因式分解﹣运用公式法
分析：（1） 图②中阴影部分的面积 =大等腰直角三角形的面积-小等腰直角三角形的面积，据此计算即可；
（2）先提取12 ， 再利用平方差公式分解即可；
（3） 由图可知x+y=a?，x-y=b?，代入（2）的结论即得结果.