第四章 因式分解强化提升训练（含解析）

初中数学浙教版七年级下册第四章 因式分解 强化提升训练
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（???? ）
A.?a(a+1)=a2+a?????????????????????????????????????????????????B.?a2+3a-1=a(a+3)-1
C.?x2-4y2=(x+2y)(x-2y)????????????????????????????????D.?(a-b)3=-(b-a)3
2. 下列各式中，去括号或添括号正确的是（ ）
A.?a2-(2a-b+c)=a2-2a-b+c?????????????????????B.?a-3x+2y-1=a+(-3x+2y-1)
C.?3x-[5x-(2x-1)]=3x-5x-2x+1???????????????D.?-2x-y-a+1=-(2x-y)+(a-1)
3. 如果 m+n=1 ，那么代数式 (2m+nm2-mn+1m)?(m2-n2) 的值为（???? ）
A.?-3??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?3
4. 已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为(?? )
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?12
5. 一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（?? ）
A.?x2-2xy+y2=(x-y)2?????????????????????????????????????B.?x2y-xy2=xy(x-y)
C.?x2-y2=(x+y)(x-y)??????????????????????????????????????D.?x3-x=x(x2-1)
6. 若x2＋（m－3）x＋16是完全平方式，则m的值是（??? ）
A.?－5??????????????????????????????????B.?11??????????????????????????????????C.?－5或11??????????????????????????????????D.?－11或5
7. 多项式3x2y﹣6y在实数范围内分解因式正确的是（?? ）
A.?3y(x+2)(x-2)???????????B.?3y（x2﹣2）???????????C.?y（3x2﹣6）???????????D.?-3y(x+2)(x-2)
8. 下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（?? ）
A.?6x2+x-15???????????????????B.?3y2+7y+3???????????????????C.?x2-2x-4???????????????????D.?2x2-4xy+5y2
9. 已知 4x2+1 加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方,给出下面五个单项式① 4x ,② -2x ,③ -4x2 ,④ 4x4 ,⑤-1其中,正确的个数共有(??? )
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
10. 已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（??????? ）
A.?-3??????????????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????????????C.?-1??????????????????????????????????????????D.?1
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。）
11. 已知a、b满足a+b＝5，ab2+a2b＝10，则ab的值是________．
12. 一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为14，面积为8，则m2n+mn2的值为________．
13. 多项式 (x-m)(x-n) 的展开结果中的 x 的一次项系数为3，常数项为2，则 m2n+mn2 的值为________ .
14. 若（17x-11）（7x-3）-（7x-3）（9x-2）=（ax+b）（8x-c），其中a，b，c是整数，则a+b+c的值等于________．
15. 如果 (x+3)(x+a)-2 可以因式分解为 (x+m)(x+n) （其中 m ， n 均为整数），则 a 的值是________．
16. 多项式 4a2+9 加上一个单项式后，可化为一个整式的平方，则这个单项式是________.（写一个即可）
三、计算题（本大题共8小题，共66分。）
17. ( 本小题8分 ) 综合题。
（1）﹣12x12y3和8x10y6的公因式是________
（2）﹣xy2（x+y）3和x（x+y）2的公因式是________
（3）﹣6xyz+3xy2﹣9x2y的公因式是________
（4）多项式18xn+1﹣24xn的公因式是________．
18. ( 本小题6分 ) 因式分解．
（1）x4-1
（2）6x3y-24xy3
（3）(m2+n2)2-4m2n2
19. ( 本小题6分 ) 因式分解 (a2+6a)2+18(a2+6a)+81
20. ( 本小题6分 ) 数257－512能被120整除吗?请说明理由.
21. ( 本小题8分 ) 观察下列各式：(1)－a＋b＝－(a－b)；(2)2－3x＝－(3x－2)；(3)5x＋30＝5(x＋6)；(4)－x－6＝－(x＋6)．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同．利用你探索出来的规律，解答下面的题目：
已知a2－b2＝5，1－b＝－2，求1＋a2＋b－b2的值．
22. ( 本小题12分 ) 阅读下列材料:
分解因式： 4x-16x3
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小云的解题过程从________步出现错误的，错误的原因是：________.
小朵的解题过程从________步出现错误的，错误的原因是________.
小天的解题过程从________步出现错误的，错误的原因是：________.
（2）若都错误，请你写出正确的解题过程.
23. (本小题 10分 ) 已知：a-b=m，b-c=n．
?（1）m=3，n=4，求代数式（a-c)2 ， a2+b2+c2-ab-bc-ca的值。
（2）若m<0，n<0，判断代数 1a-b+1b-c+1c-a 的值与0的大小关系并说明理由．
24. ( 本小题10分 ) 下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，
则原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)
＝y2＋8y＋16(第二步)
＝(y＋4)2(第三步)
＝(x2－4x＋4)2(第四步)．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的(??? )
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果________(填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行分解．
答案解析部分
一、单选题
1. C
考点：因式分解的定义
解：A、为单项式乘以多项式运算，不合题意；
B、没有化为积的形式，本选项不合题意；
C、将和的形式化为积的形式，本选项符合题意；
D、此运算不是因式分解，本选项不合题意，
故答案为：C．
分析：根据因式分解的含义，结果为多个式子积的形式，分别进行判断即可得到答案。
2. B
考点：去括号法则及应用，添括号法则及应用
解：A. a2?(2a?b+c)=a2?2a+b?c，故不符合题意；
B. a?3x+2y?1=a+(?3x+2y?1)，故符合题意；
C. 3x?[5x?(2x?1)]=3x?5x+2x?1，故不符合题意；
D. ?2x?y?a+1=?(2x+y)+(?a+1)，故不符合题意；
只有B符合运算方法，符合题意．
故答案为：B.
分析：根据去括号法则（括号前是“+”号，去括号时，把括号和它前面的“+”去掉，括号内的各项都不变，括号前是“-”号，去括号时，把括号和它前面的“-”去掉，括号内的各项都变号）去括号，即可得出答案．
3. D
考点：提公因式法因式分解
解：原式= (2m+nm2-mn+1m)?(m2-n2)
=[2m+nm(m-n)+m-nm(m-n)]?(m+n)(m-n)
=3mm(m-n)?(m+n)(m-n)=3(m+n)
∵m+n=1
∴原式=3，
故答案为：D.
分析：将代数式进行因式分解化简，将得到的结果把m+n的值代入求出答案。
4. C
考点：完全平方公式及运用，公因式
解：∵x＝3y+5，
∴x-3y=5，
∵x2﹣7xy+9y2＝24，
∴(x-3y)2-xy=24，
∴xy=1，
∴x2y﹣3xy2= xy(x-3y)=5，
故答案为：C.
分析：由x＝3y+5可得x-3y=5，由x2﹣7xy+9y2＝24可得(x-3y)2-xy=24，把x-3y=5代入可求出xy=1，把x2y﹣3xy2转化成xy(x-3y)的形式，把x-3y=5，xy=1代入即可得答案.
5. D
考点：因式分解﹣运用公式法，提公因式法与公式法的综合运用
解：因为x2-2xy+y2=（x-y）2 ， 所以选项A分解符合题意；
因为x2y-xy2=xy（x-y），所以选项B分解符合题意；
因为x2-y2=（x-y）（x+y），所以选项C分解符合题意；
因为x3-x=x（x2-1）=x（x+1）（x-1），所以选项D分解不彻底.
故答案为：D.
分析：利用提公因式、公式法分别进行因式分解，注意：因式分解一定要分解彻底，才正确，据此逐一分析即可.
6. C
考点：完全平方式
解：因为，x2＋（m－3）x＋16是完全平方式，
所以，m-3=±2×4,
所以，m=－5或11,
故答案为：C
分析：根据：a?+2ab+b?=(a+b)?，a?-2ab+b?=(a-b)?可以推出m结果.
7. A
考点：提公因式法与公式法的综合运用
解：3x2y﹣6y
＝3y（x2﹣2）
＝3y（x+ 2 ）（x﹣ 2 ）
故答案为：A.
分析：利用提公因式法、平方差公式进行因式分解即可.
8. D
考点：提公因式法与公式法的综合运用
解：A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
分析：因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。
9. D
考点：完全平方式
解：∵4x2+1+4x=（2x+1）2 ， 4x2+1-4x2=12 ， 4x2+1+4x4=（2x2+1）2 ， 4x2+1-1=4x2=（2x）2 ， 而和-2x相加不能得出一个式子的平方，
∴正确的个数是4，
故答案为：D．
分析：根据完全平方公式的特点逐个进行判断，即可得出答案．
10. D
考点：提公因式法因式分解
分析：首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
解：∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
二、填空题
11. 2
考点：代数式求值，提公因式法因式分解
解：∵ab2+a2b＝10，
∴ab（b+a）＝10，
∵a+b＝5，
∴ab＝2，
故答案为：2．
分析：首先把ab2+a2b＝10左边分解因式，再代入a+b＝5进而可得答案．
12. 56
考点：提公因式法因式分解，用字母表示数
解：由题意可知：m+n＝7，mn＝8，
原式＝mn（m+n）＝8×7＝56，
故答案为56
分析：根据题意可知m+n＝7，mn＝8，然后根据因式分解法将多项式进行分解后即可求出答案．
13. －6
考点：多项式乘多项式，提公因式法因式分解
解：（x-m）（x-n）
=x2-（m+n）x+mn，
由题意得，m+n=-3，mn=2，
则m2n+mn2=mn（m+n）=-6，
故答案为-6．
分析：根据多项式与多项式相乘的法则把原式变形，根据题意求出m+n和mn，把所求的代数式因式分解、代入计算即可．
14. 13
考点：提公因式法因式分解
解：（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）=（7x﹣3）[（17x﹣11）﹣（9x﹣2）]
=（7x﹣3）（8x﹣9）
∵（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）=（ax+b）（8x﹣c），可因式分解成（7x﹣3）（8x﹣9），∴a=7，b=﹣3，c=9，∴a+b+c=7﹣3+9=13．
故答案为13．
分析：根据题意，对式子因式分解，即可得到a+b+c的值。
15. 2或4
考点：多项式乘多项式，因式分解的定义
解：∵ (x+3)(x+a)-2 可以因式分解为 (x+m)(x+n) ，
∴ (x+3)(x+a)-2=(x+m)(x+n) ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ a+3=m+n?，3a-2=mn ，
∴a=m+n-3，
∴ mn=3m+3n-11 ，
整理得： (m-3)(3-n)=2 ，
∵其中 m ， n 均为整数，
∴ m-3=±1 或 ±2 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ a 的值是 2 或 4 ，
故答案为 ：2 或 4
分析：将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
16. -4a2或-9或12a或-12a
考点：完全平方式
解：完全平方公式是指： (a±b)2=a2±2ab+b2 .
4a2+9-9=4a2=(2a)2 ；
4a2+9-4a2=9=32 ；
4a2+9+12a=(2a+3)2 ；
4a2+9-12a=(2a-3)2 .
故答案为：-4a2或-9或12a或-12a.
分析：一个式子能写成一个整式的完全平方，这个式子可以是多项式，也可以是单项式，从而分两种情况考虑，当这个式子是多项式的时候，应该是一个三项式，该三项式中有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项可以写成两完全平方项底数乘积的2倍，符号可加可减，从而即可解决问题。
三、计算题
17. （1）4x10y3
（2）x（x+y）2
（3）3xy
（4）6xn
考点：公因式
解：（1））﹣12x12y3和8x10y6的公因式是4x10y3；（2）﹣xy2（x+y）3和x（x+y）2的公因式是x（x+y）2；（3）﹣6xyz+3xy2﹣9x2y的公因式是3xy；（4）多项式18xn+1﹣24xn的公因式是6xn；故答案为：4x10y3；x（x+y）2；3xy；6xn；
分析：根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
18. （1）解： x4-1
=(x2+1)(x2-1)
=(x2+1)(x+1)(x-1)
（2）解： 6x3y-24xy3
=6xy(x2-4y2)
=6xy(x+2y)(x-2y)
（3）解： (m2+n2)2-4m2n2
=(m2+n2+2mn)(m2+n2-2mn)
=(m+n)2(m-n)2
考点：因式分解﹣运用公式法，提公因式法与公式法的综合运用
分析：（1）利用平方差公式进行因式分解即可得出答案；（2）首先提取公因式 6xy ，然后利用平方差公式进行因式分解得出答案；（3）首先利用平方差公式，然后再利用完全平方公式进行因式分解．
19. 解： (a2+6a)2+18(a2+6a)+81
=(a2+6a+9)2
=(a+3)4
考点：因式分解﹣运用公式法
分析：利用完全平方公式分解即可.
20. 解：257－512＝514－512＝512（52－1）＝511×5×24＝511×120，
所以257－512是120 的整除倍，即257－512能被120 整除.
考点：提公因式法因式分解
分析：先提取公因式512 ， 可得512（52－1），整理为511×5×24＝511×120即可.
21. 解：规律：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．∵1－b＝－2， ∴b＝3，又∵a2－b2＝5，∴1＋a2＋b－b2 ， ＝(a2－b2)＋b＋1，＝5＋3＋1，＝9.
考点：添括号法则及应用
分析：观察各式得出的规律为：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．由1－b＝－2求得b＝3，再将原式加括号，代入数值计算即可.
22. （1）①；提取负号后，负号丢失，没弄清是方程还是多项式；②；平方差公式用错，；③；解因式不完整还可以继续分解
（2）解：若都错误，请你写出正确的解题过程.
原式 =4x(1-4x2)
=4x(1-2x)(1+2x)
考点：提公因式法与公式法的综合运用
分析：（1）小云提取负号后，负号丢失，由此可知从第①步出现不符合题意；小朵第②步平方差公式用错；小天第③步因式分解不彻底；（2）先提公因式4x，再利用平方差公式分解即可.
23. （1）解： 由题意得a-b=3, b-c=4,则a-b+b-c=a-c=3+4=7,则(a-c)2=72=49,a2+b2+c2-ab-bc-ca=12(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)=12a-b2+a-c2+b-c2=1232+72+42=37.
（2）解： 由上题知a-c=m+n,
则
=1m+1n-1m+n
=(m+n)2-mnmn(m+n)
=m2+mn+n2mn(m+n)
=(m+12n)2+34n2mn(m+n)
∵分子大于0，
又∵m<0,n<0,
则mn>0, m+n<0,
∴原式小于0.
考点：完全平方式
分析：（1）由m+n求得a-c的值，从而求得 （a-c)2 的值，把 a2+b2+c2-ab-bc-ca 通过变形化成三个完全平方式之和，从而求得其值；
（2）分别把a-b、b-c和c-a用m、n和m+n表示，通分，将分子变成一个完全平方式和平方式相加，再分别讨论各项正负，即可确定原式的正负性，即和0的关系.
24. （1）C
（2）不彻底；（x-2）4
（3）解： 设x2－2x =y,
则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=（x2-2x+1）2=(x-1)4。
考点：因式分解﹣运用公式法
解：（1）第二步到第三步的过程是：
y2＋8y＋16＝(y＋4)2 ， 符合两数和的完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2.
故答案为：C。
(2) (x2－4x＋4)2=[（x-2）2]?2=(x-2)4.
故答案为：不彻底；（x-2）4;
分析：（1）由三项多项式因式分解成两数的和完全平方式；
（2）因式分解不彻底，其中 x2－4x＋4 可以继续分解因式；
（3）设x2－2x =y,将原式转化为关于y的多项式，先因式分解，再将设x2－2x=y替代进去。