第五章 分式 强化提升训练（含解析）

初中数学浙教版七年级下册第五章 分式 强化提升训练
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1. 已知三个数 a,b,c 满足 aba+b=15 ， bcb+c=16 ， cac+a=17 ，则 abcab+bc+ca 的值是（?? ）
A.?19???????????????????????????????????????B.?16???????????????????????????????????????C.?215???????????????????????????????????????D.?120
2. 关于分式 x+a3x-2 ，当x=﹣a时，（?? ）
A.?分式的值为零??????B.?当a ≠23 时，分式的值为零??????C.?分式无意义??????D.?当a= 23 时，分式无意义
3. 下列分式中不是最简分式的是（? ??）
A.?a2+9a+3???????????????????B.?x2-y2+2xyy-x???????????????????C.?4-x2x2+x-2???????????????????D.?ab+3a3ab+3b3
4. 已知 5x+1(x-1)(x-2)=Ax-1+11x-2 ，则A的取值是（ ??）
A.?-3??????????????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????????????C.?-6??????????????????????????????????????????D.?6
5. 已知：a，b，c三个数满足 aba+b=13,bcb+c=14,cac+a=15 ，则 abcab+bc+ca 的值为（?? ）
A.?16????????????????????????????????????????B.?112????????????????????????????????????????C.?215????????????????????????????????????????D.?120
6. 已知公式 1R=1R1+1R2 （ R1≠R2 ），则表示 R1 的公式是（??? ）
A.?R1=R2-RRR2?????????????B.?R1=RR2R-R2?????????????C.?R1=R(R1+R2)R2?????????????D.?R1=RR2R2-R
7. 结论：
①若a + b + c = 0 ，且abc ≠ 0 ，则方程a + bx + c = 0 的解是 x = 1
②若a (x -1) = b(x -1) 有唯一的解，则a ≠b；
③若b = 2a ，则关于 x 的方程ax + b = 0(a ≠ 0)的解为 x = -12 ；
④若a + b + c = 1，且a ≠0 ，则 x = 1一定是方程ax + b + c = 1的解．其中结论正确个数有（??? ）．
A.?4个???????????????????????????????????????B.?3个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?1个
8. 若 x 是整数，则使分式 8x+22x-1 的值为整数的 x 值有（?? ）个.
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
9. 关于 x 的分式方程 x+mx-2+2m2-x=3 的解为正实数，则实数 m 的取值范围是 ( ??? )
A.?m<-6 且 m≠2???????????B.?m>6 且 m≠2???????????C.?m<6 且 m≠-2???????????D.?m<6 且 m≠2
10. 学生参加植树造林，甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，求甲、乙两班每天各植树多少棵。下面列式错误的是（???? ）
A.?设甲班每天植树x棵，则 80x=70x-5????????????????????B.?设乙班每天植树x棵，则 80x+5=70x
C.?设甲班在x天植树80棵，则 80x-70x=5????????????D.?设乙班在x天植树70棵，则 70x=80x+5
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。）
11. 如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=13．E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD上的定点．现分别以BE，BF为边作长方形BEQF，以DG为边作正方形DGIH．若长方形BEQF与正方形DGIH的重合部分恰好是一个正方形，且BE=DG，Q，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1 ， S2 ， S3 ． 若 S2S1=37 ，则S3=________?．

12. 若 abc≠0 ，则 |ab|ab+|bc|bc+|ac|ac =________ .
13. 如果 1(2a-1)(2a+1)=m2a-1+n2a+1 对于自然数 a≠12 成立，则 m= ________， n= ________．
14. 当k＝________时，方程 2x+1+3x-1=kx2-1 会产生增根．
15. 某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区.甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是________米.
16. 已知实数 a、b、c 满足 abc=-1,a+b+c=4,aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c-1=49 ，则 a2+b2+c2= ________．
三、综合题（本大题共8小题，共66分。）
17. ( 本小题6分 ) ???
（1）计算： a2-3ab+2b2a2-2ab+b2+a2-4b2a2-ab
（2）(2x-4x+2-x+2)÷x-2x2+4x+4
18. ( 本小题6分 ) 解分式方程
（1）1x-2=1-x2-x-3
（2）12-x=1x-2-6-x3x2-12
19. ( 本小题6分 ) 阅读材料：
关于x的方程： x+1x=c+1c 的解是 x1=c ， x2=1c ；
x-1x=c-1c （即 x+-1x=c+-1c ）的解是 x1=c x2=-1c ；
x+2x=c+2c 的解是 x1=c ， x2=2c ；
x+3x=c+3c 的解是 x1=c ， x2=3c ；……
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程 x+mx=c+mc(m≠0) 与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证。
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程： x+2x-1=a+2a-1 。
20. (本小题 8分 ) 某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区 S 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工.
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同.若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米.
（2）若甲工程队每天可以改造 a 米道路，乙工程队每天可以改造 b 米道路，（其中 a≠b ）.现在有两种施工改造方案：
方案一：前 12S 米的道路由甲工程队改造，后 12S 米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造.
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由.
21. ( 本小题8分 ) 张康和李健两名运动爱好者周末相约到丹江环库绿道进行跑步锻炼.
（1）周日早上 6 点，张康和李健同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为 6 千米和 1.6 千米的绿道环库路入口汇合，结果同时到达，且张康每分钟比李健每分钟多行 220 米，求张康和李健的速度分别是多少米 / 分？
（2）两人到达绿道后约定先跑 6 千米再休息，李健的跑步速度是张康跑步速度的 a 倍，两人在同起点，同时出发，结果李健先到目的地 b 分钟.
①当 a=1.2 ， b=6 时，求李健跑了多少分钟？
②求张康的跑步速度多少米 / 分？（直接用含 a ， b 的式子表示）
22. ( 10分 ) 姐妹两人在50米的跑道上进行短路比赛，两人从出发点同时起跑，姐姐到达终点时，妹妹离终点还差3米，已知姐妹两人的平均速度分别为a米/秒、b米/秒．
（1）如果两人重新开始比赛，姐姐从起点向后退3米，姐妹同时起跑，两人能否同时到达终点?若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．
（2）如果两人想同时到达终点，应如何安排两人的起跑位置?请你设计两种方案．
23. ( 本小题10分 ) 周日琪琪要骑车从家去书店买书，一出家门，遇到了邻居亮亮，亮亮说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，琪琪回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”.（顺风速度 = 无风时骑车速度 + 风速，逆风速度 = 无风时骑车速度 - 风速）
（1）如果家到书店的路程是 12km ，无风时琪琪骑自行车的速度是 8km/h ，他逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的 53 倍，求风速是多少？
（2）如果设从家到书店的路程为 s 千米，无风时骑车速度为 v 千米/时，风速为 a 千米/时 (v>a) ，求出有风往返一趟的时间，无风往返一趟的时间，请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对.
24. (本小题 12分 ) 阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： 32 =1+ 12 。在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 x+1x-1 ， x2x-2 ，…这样的分式是假分式；如 2x-1x2+x 与 53x2+2 …这样的分式是真分式。类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和(差)的形式。
例如：将分式 x2+2x-5x+3 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
方法1： x2+2x-5x+3 = (x2+3x)-x-5x+3 = x(x+3)-(x+3)-2x+3 =x-1- 2x+3
方法2：由分母为x+3，可设x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b(a，b为待确定的系数)
∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x?+(a+3)x+(3a+b)
∴x?+2x-5=x?+(a+3)x+(3a+b)
对于任意x，上述等式均成立，
∴ {a+3=23a+b=-5 ，解得 {a=-1b=-2
∴x?+2x-5=(x+3)(x-1)-2
∴ x2+2x-5x+3 = (x+3)(x-1)-2x+3 = (x+3)(x-1)x+3-2x+3 =x-1- 2x+3
这样，分式 x2+2x-5x+3 就被化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式。
【材料2】对于式子2+ 31+x2 ，由x2≥0知1+x?的最小值为1，所以 31+x2 的最大值为3，
所以2+ 31+x2 的最大值为5。
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式 2x+2 是________分式(填“真”或“假”)。
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式：
① 2x+3x =________+________。
② x2-3x+5x-3 =________+________。
（3）把分式 x2+2x-13x-3 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数。
（4）当x的值变化时，求分式 2x2-4x+8x2-2x+2 的最大值。
答案解析部分
一、单选题
1. A
考点：分式的值
解：∵ aba+b=15 ， bcb+c=16 ， cac+a=17 ，
∴ a+bab=5 ， b+cbc=6 ， c+aca=7 ，
∴ 1a+1b=5 ， 1b+1c=6 ， 1a+1c=7 ，
∴2（ 1a+1b+1c ）＝18，
∴ 1a+1b+1c ＝9，
∴ abcab+bc+ca=19 .
故答案为：A.
分析：先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
2. B
考点：分式的值为零的条件
解：A、当x=﹣a= 23 时，分式 x+a3x-2 无意义，故本选项不符合题意；
B、当x+a=0且x≠ 23 时，即当a ≠23 时，分式的值为零，故本选项符合题意；
C、当x=﹣a≠ 23 时，分式 x+a3x-2 有意义，故本选项不符合题意；
D、当a= 23 时，分式 x+a3x-2 有意义，故本选项不符合题意；
故答案为：B
分析：分式的值为0时，分子为0同时分母不为0，这两个条件必须同时满足.
3. C
考点：最简分式
解：A. a2+9a+3 分子分母没有公因式，不能约分，所以它是最简分式，故A选项不符合题意；
B. x2-y2+2xyy-x 是最简分式，故B选项不符合题意；
C. 4-x2x2+x-2 = （2-x)(x+2)(x+2)(x-1) = 2-xx-1 ,故C选项符合题意;
D. ab+3a3ab+3b3 是最简分式, 故D选项不符合题意.
故应选C.
分析：根据最简分式的定义逐一判断即可.
4. C
考点：分式的通分，分式的加减法
解： 5x+1(x-1)(x-2)=Ax-1+11x-2 ，
5x+1(x-1)(x-2)=A(x-2)+11(x-1)(x-1)(x-2) ，
得到5x+1=A(x-2)+11(x-1)=(A+11)x-2A-11，
∴A+11=5，-2A-11=1，
∴A=-6.
故答案为：C.
分析：已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则变形，利用多项式相等的条件即可求出a的值.
5. A
考点：利用分式运算化简求值
解：由已知可得， abcac+bc=13 ， abcab+ac=14 ， abcbc+ab=15 ，
则ac+bc＝3abc①，ab+ac＝4abc②，bc+ab＝5abc③，
①+②+③得，2（ab+bc+ca）＝12abc，
即 abcab+bc+ca ＝ 212=16 .
故答案为：A.
分析：由已知可得， abcac+bc=13 ， abcab+ac=14 ， abcbc+ab=15 ，则ac+bc＝3abc，ab+ac＝4abc，bc+ab＝5abc，把三式相加，可得2（ab+bc+ca）＝12abc，即可求解.
6. D
考点：解分式方程
解： ：∵ 1R=1R1+1R2 ，∴1R=R2R1·R2+R1R1·R2=R1+R2R1·R2,∴RR1+R2=R1·R2,∴RR1+RR2=R1R2,∴RR2=R1R2-RR1?∴ R1R2-R=RR2,∵ R1≠R2 ，∴ R1=RR2R2-R;
故答案为 ：D。
分析：将方程的右边利用异分母分式的加法法则通分计算，然后根据两内项之积等于两外项之积去分母，再移项合并同类项，再根据等式的性质，方程的两边都除以(R2-R)即可得出答案。
7. B
考点：分式方程的解及检验
解：①当x=1时，代入方程a+bx+c=0即可得到a+b+c=0，成立，故符合题意；
②a（x-1）=b（x-1），去括号得：ax-a=bx-b，即（a-b）x=a-b，则x=1，故符合题意；
③方程ax+b=0，移项得：ax=-b，则x=- ba ，因为b=2a，所以- ba =2，则x=-2，故不符合题意；
④把x=1代入方程ax+b+c，得到a+b+c=1，则x=1一定是方程ax+b+c=1的解，故符合题意．
综上可得，符合题意共有3个．
故答案为：B．
分析：根据方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，即可判断．
8. C
考点：分式的值
解： 8x+22x-1=4(2x-1)+62x-1=4+62x-1
由题意可知， 2x-1 是6的整数约数，
∴ 2x-1=1,2,3,6,-1,-2,-3,-6
解得： x=1,32,2,72,0,-12,-1,-52 ，
其中x的值为整数有： x=0,1,-1,2 共4个.
故答案为：C.
分析：先将假分式 8x+22x-1 分离可得出 4+62x-1 ，根据题意只需 2x-1 是6的整数约数即可.
9. D
考点：分式方程的解及检验
解： x+mx-2+2m2-x=3
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x= -m+62
∵关于x的分式方程 x+mx-2+2m2-x=3 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 -m+62 ≠2， -m+62 ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
分析：先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
10. D
考点：分式方程的实际应用
解：设甲班每天植树x棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，可得方程： 80x=70x-5 ，故A不符合题意；
设乙班每天植树x棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等，可得方程： 80x+5=70x ，故B不符合题意；
设甲班在x天植树80棵，根据甲班每天比乙班多植5棵树，可得方程： 80x-70x=5 ，故C不符合题意；
设乙班在x天植树70棵，根据甲班每天比乙班多植5棵树，可得方程： 80x=70x+5 ，故D符合题意，
故答案为：D.
分析：分别设甲班每天植树x棵、乙班每天植树x棵、甲班在x天植树80棵、乙班在x天植树70棵，根据甲班植80棵树与乙班植70棵树所用的天数相等以及甲班每天比乙班多植5棵树，列出方程即可判断，
二、填空题
11. 1214
考点：列式表示数量关系，分式的约分
解：设DG=a, 则HD=a, GC=DC-DG=10-a,
AE=AB-BE=10-a,?AH=AD-HD=13-a,?
则S1=AH×AE=(13-a)(10-a),
S2=GC×GC=(10-a)(10-a),
∵S2S1=37?，
(10-a)(10-a)(10-a)(13-a)=37(a≠10),
∴10-a13-a=37,
∴70-7a=39-3a,
∴4a=31,
∴a=314,
∴GC=10-a=10-314=94,
∴重合部分的正方形边长是10-2×94=112,
∴S3=(112)2=1214
故答案为：1214.
分析：设DG为a, 把HD、AE、CG和AE用含a的代数式表示出来，列出S1和S2的表达式，?根据?S2S1=37 ， 求出a值，则GC可求，S3的边长可求，则面积也可求。
12. 3，-1
考点：分式的混合运算，绝对值的非负性
解： abc≠0 故分类
当 abc>0 时，三个为正，或者一正两负
故 |ab|ab+|bc|bc+|ac|ac =3,或者-1
当 abc<0 时，三个为负，或者一负两正
|ab|ab+|bc|bc+|ac|ac =3或者-1
综上，答案为3或者-1
分析：分情况讨论， abc>0 abc<0 两种情况
13. 12；-12
考点：分式的加减法
解： 1(2a+1)(2a-1)=12[(2a+1)-(2a-1)](2a+1)(2a-1)=12×12a-1-12×12a+1 ，
由题意可知： m2a-1+n2a+1=12×12a-1-12×12a+1
∴ m=12 ， n=-12 ，
故答案为： 12 , -12 ．
分析：根据分式的加减运算，即可通分计算.
14. 6或-4
考点：分式方程的增根
解：分式方程去分母得：2（x-1）+3（x+1）＝k，
由分式方程有增根，得到x＝1或x＝-1，
把x＝1代入整式方程得：k＝6；
把x＝-1代入整式方程得：k＝-4，
综上，k的值为6或-4时，方程 2x+1+3x-1=kx2-1 会产生增根，
故答案为：6或-4．
分析：利用去分母将分式方程化为整式方程，由分式方程有增根，可得增根为x＝1或x＝-1，然后将x值分别代入整式方程求出k值即可.
15. 1500
考点：分式方程的实际应用
解：设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），
由题意可得， 9+6000-(8a-2a)2a=6000a
解得，a＝500，
设乙的速度为b（m/min），由甲乙相遇知，
(9-3000a)b+2a·1=(9-1)a
∴b＝1000，
∴甲乙相遇时乙距公司的路程为：（9﹣ 3000500 ）×1000＝3000，
甲到达小区的时间为： 6000500 ＝12（min），
∴甲到小区时，乙距公司的路程为：3000﹣1000× 12 ×（12﹣9）＝1500（m），
故答案为：1500.
分析：设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），根据“ 刚好在事先预计的时间到达该小区 ”结合图象列出方程，可分别求出甲乙的速度和到达公司的时间，故可得甲进小区时，乙距公司的路程.
16. 332
考点：代数式求值，分式的加减法
解：∵ abc=-1,a+b+c=4 ，
∴a2-3a-1
=a2-3a-abc=a(bc+a-3)
=a(bc+4-b-c-3)
=a(bc-b-c+1)
=a(b-1)(c-1)，
同理：b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，
∵ aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c-1=49 ，
∴ 1(b-1)(c-1)+1(a-1)(c-1)+1(a-1)(b-1)=49 ，
∴ a-1+b-1+c-1(a-1)(b-1)(c-1)=49 ，
∵a+b+c=4，
∴ 1(a-1)(b-1)(c-1)=49 ，
∴abc-ab-ac-bc+a+b+c= 94 ，
∵a+b+c=4，abc=-1，
∴ab+ac+bc= -14 ，
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴16= a2+b2+c2+2×（ -14 ），
解得：a2+b2+c2= 332 ，
故答案为： 332
分析：把abc=-1，a+b+c=4代入a2-3a-1可得a2-3a-1=a(b-1)(c-1)，同理可得b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，代入 aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c-1=49 可得 1(a-1)(b-1)(c-1) = 49 ，展开即可得ac+ab+bc= -14 ，利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，代入a+b+c=4，ac+ab+bc= -14 即可得答案．
三、综合题
17. （1）解： a2-3ab+2b2a2-2ab+b2+a2-4b2a2-ab
=(a-b)(a-2b)(a-b)2+(a-2b)(a+2b)a(a-b)
=(a-2b)(a-b)+(a-2b)(a+2b)a(a-b)
=2(a-2b)(a+b)a(a-b)
（2）解： (2x-4x+2-x+2)÷x-2x2+4x+4
=[2(x-2)x+2-(x-2)(x+2)x+2]÷x-2(x+2)2
=-x(x-2)x+2÷x-2(x+2)2
=-x(x+2)
考点：分式的加减法，分式的混合运算
分析：（1）先将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，然后通分计算异分母分式的加法即可；
（2）先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，约分化为最简形式即可.
18. （1）解：去分母得：1＝x﹣1﹣3x+6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解；
（2）解：去分母得：﹣3（x+2）＝3（x+2）﹣6+x，
去括号得：﹣3x﹣6＝3x+6﹣6+x，
移项合并得：7x＝﹣6，
解得：x＝﹣ 67 ，
经检验x＝﹣ 67 是分式方程的解．
考点：解分式方程
分析：（1）两边同时乘以x-2化为整式方程，解得x=2后检验即可；（2）先去分母化为一元一次方程，解方程得到x=- 67 ，再检验即可.
19. （1）猜想该方程的解是x1=c,x2=mc;
验证：当x1=c时，方程的左边= c+mc ， 方程的右边= c+mc ， 左边等于右边
， ∴x1=c是该方程的解；
当x2=mc时，方程的左边= mc+mmc=mc+c ， 方程的右边= c+mc ， 左边等于右边，
∴x2=mc是该方程的解；
（2）将方程 x+2x-1=a+2a-1 变形为 x-1+2x-1=a-1+2a-1 ，
∴x-1=a-1或x-1=2a-1 ，
解得x1=a,x2=a+1a-1
考点：分式方程的解及检验
分析：（1）认真阅读题干提供的解题方法，抓住题目中的隐含条件，利用规律即可解决问题；
（2）首先将方程变形为x-1+2x-1=a-1+2a-1 ， 然后利用（1）中的规律即可解决问题。
20. （1）解：设乙工程队每天道路的长度为 x 米，则甲工程队每天道路的长度为 (x+30) 米，
根据题意，得： 360x+30=300x ，
解得： x=150 ，
检验，当 x=150 时， x(x+30)≠0 ，
∴原分式方程的解为： x=150 ，
x+30=180 ，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米
（2）解：设方案一所用时间为： t1=12sa+12sb=(a+b)s2ab ，
方案二所用时间为 t2 ，则 12t2a+12t2b=s ， t2=2sa+b ，
∴ a+b2abS-2a+bS=(a-b)22ab(a+b)S ，
∵ a≠b ， a>0，b>0 ，
∴ (a-b)2>0 ，
∴ a+b2abS-2a+bS>0 ，即： t1>t2 ，
∴方案二所用的时间少.
考点：分式方程的实际应用
分析：（1）设乙工程队每天道路的长度为 x 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论.
21. （1）解：设李康的速度为 x 米 / 分，则张健的速度为 (x+220) 米 / 分，
根据题意得： 1600x=6000x+220
解得： x=80 ，
经检验， x=80 是原方程的根，且符合题意，
∴x+220=300 .
答：李康的速度为 80 米 / 分，张健的速度为 300 米 / 分
（2）解：① ∵a=1.2 ， b=6 ，
∴6÷(1.2-1)=30 （分钟）.
故李健跑了 30 分钟；
②李健跑了的时间： ba-1 分钟，
张康跑了的时间： ba-1+b=aba-1 分钟，
张康的跑步速度为： 6000÷aba-1=6000(a-1)ab 米 / 分.
考点：分式方程的实际应用
分析：（1）设李康的速度为 x 米 / 分，则张健的速度为 (x+220) 米 / 分，根据两人所用的时间相等列出方程求解即可得出答案；（2）①李健跑的时间= b÷(a-1) ，将 a=1.2 ， b=6 代入计算即可得解；②先用含有a,b的代数式表示出张康的跑步时间，再用路程除以时间即可得到他的速度.
22. （1）解：∵姐姐到达终点是，妹妹距终点还有3米
∴姐姐跑50米和妹妹跑47米的时间相同，设这个时间为： 1k
即： 50a=47b=1k
∴a=50k，b=47k
则再次比赛，姐姐的时间为： 50+350k = 5350k 秒
妹妹的时间为： 5047k 秒
∵ 5350k=24912350k ， 5047k=25002350k
∴ 5350k ＜ 5047k ，即姐姐用时短，姐姐先到达终点
（2）解：情况一：姐姐退后x米，两人同时到达终点
则： 50+x50k = 5047k ，解得：x= 15047
情况二：妹妹向前y米，两人同时到达终点
则： 5050k = 50-y47k ，解得：y=3
综上得：姐姐退后 15047 米或妹妹前进3米，两人同时到达终点
考点：分式方程的实际应用
分析：（1）先求出姐姐和妹妹的速度关系，然后求出再次比赛时两人用的时间，从而得出结论；（2）2种方案，姐姐退后或者妹妹向前，要想同时到达终点，则比赛用时相等，根据这个关系列写等量关系式并求解．
23. （1）解：设当天的风速为 xkm/h ．根据题意，得
128-x=53×128+x .
解这个方程，得 x=2
经检验， x=2 是所列方程的解．
答：当天的风速为 2km/h ．
（2）解：有风往返一趟的时间为 (sv-a+sv+a) 小时，
无风往返一趟的时间为 2sv 小时．
∵sv-a+sv+a-2sv=2sa2v(v-a)(v+a) ，
又 ∵v>a ，
∴2sa2v(v-a)(v+a)>0 ，即 sv-a+sv+a>2sv ．
∴ 有风往返一趟的时间 > 无风往返一趟的时间，即亮亮说得对。
考点：分式方程的实际应用
分析：（1）设当天的风速为x?km/h，根据逆风去教育局所用时间是顺风回学校所用时间的 53 倍列出方程并解答；
（2）分别求得有风和无风两种情况下所需要的时间，然后比较大小即可．
24. （1）真
（2）2；3x；x；5x-3
（3）解： x2-2x-13x-3 = (x2-3x)+5x-13x-3 ?= x(x-3)+5(x-3)+2x-3 =x+5+ 2x-3
若原分式的值为整数，则x-3=±1或x-3=±2
①若x-3=1，则x=4；
②若x-3=-1，则x=2；
③若x-3=2，则x=5；
④若x-3=-2，则x=1。
∴当x=4或2或5或1时，原分式的值为整数．
（4）解： 2x2-4x+8x2-2x+2 = 2(x2-2x+2)+4x2-2x+2 =2+ 4x2-2x+2 =2+ 4(x-1)2+1
∵(x-1)?≥0，
∴(x-1)?+1有最小值1
∴ 4(x-1)2+1 有最大值4，
∴2+ 4(x-1)2+1 有最大值6，
∴当x的值变化时，原分式的最大值是6
考点：分式的值，分式的混合运算
解：（1）原式=x+2-xx+2=1-xx+2
∴2x+2是真分式.
故答案为：真.
分析：（1）将原式转化为x+2-xx+2 ， 再转化，可作出判断。
（2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案。
（3）根据分母为（x-3），空降原方式转化为x+5+ 2x-3 ， 再根据原分式的值为整数，可得到x-3=±1或x-3=±2，分别求出x的值即可。
（4）先将分式转化为2+ 4(x-1)2+1 ， 根据分母可知分母的最小值为1，由此可得到4(x-1)2+1的最大值为4，由此可得到原分式的最大值为6.