7.4 分式方程（1）
陈春艳
【教学目标】
一、知识与技能
了解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程，了解分式方程增根产生的原因，掌握验根的方法。
二、过程与方法
经历探索分式的概念和分式方程解法的过程，发展抽象思维能力。
三、情感、态度与价值观
通过区别可化为一元一次方程的分式方程或一元一次方程，体会数学知识的严密性；通过检验分式方程的根，培养反思精神。
四、渗透转化思想。
【教学重点】
解可化为一元一次方程的分式方程。
【教学难点】
方程根的检验及产生增根的原因
【教学过程】
一、创设情景，引入新课（出示节前图片）
某地电话公司调低了长途电话的话费标准，每分费用降低了25％，因此按原收费标准6元话费的通话时间，在新收费标准下可多通话5分时间，问前后两种收费标准每分收费各是多少？
（1）本题中的主要等量关系是什么？
（2）如果设原来的收费标准是x元/分，可列怎样的方程？
（3）该方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？
与学生讨论后得到题中的等量关系，并列出方程：
－ =5 ，再举例：如 ， 等，让学生观察这些方程与以前学过的方程有什么不同之处？待学生说出后，师生共同归纳得出分式方程的概念：
板书：像这样只含分式或整式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
〖设计说明：通过创设情景，让学生了解分式方程来源于实际，学习解分式方程是为了解决生活中的实际问题，体会到解分式方程的重要性〗
二、理解应用，体验成功。
练一练：你能否根据分式方程的概念举一些分式方程的例子呢？
（学生举例）如：
－=1 , = , x＋=2等。
做一做：下列方程中，哪些是分式方程，哪些不是分式方程？为什么？
（1）2x＋=10 （2）x－ =2
（3） －3=0 （4） ＋ =0
〖设计说明：通过让学生自己举例及判断哪些方程是分式方程，及时巩固所学知识。〗
既然我们已经清楚了什么样的方程是分式方程，那么分式方程你会解吗？让我们来看这样一题：
例1：
解方程（1）=
例2：
解方程(2) =－2
分析：这样的方程你以前解过吗？（没有）
你以前解过什么方程？（整式方程）
那你能不能把这些方程转化为你会解的方程即整式方程呢？（能）
怎么转化呢？（给学生足够的时间讨论，然后得出利用去分母把分式方程转化为整式方程）
解：（略）
解后小结：（1）数学思想：转化思想，把分式方程转化为整式方程
（2）方法：去分母，方程两边同乘以最简公分母，突出最简
（3）验根：分式方程根的检验是必不可少的步骤，因为方程两边同乘以整式和可能使求的x的值不是原方程的根
（4）增根：使分母为零的根叫增根，增根应该舍去。
（5）漏乘：去分母时当某一项是整式时应把它看成是分母是1，不要漏乘。
〖设计说明：老师通过例题教学，引导学生学会问题解决的策略，通过与学生一起进行解后小结，培养学生的归纳能力，为学生以后的学习提供方法。〗
请根据以上方法和注意点独立完成课内练习：
课内练习：解下列方程
（1）= （2） =
（3）＋1= （注意不要漏乘）
（此题板演后应及时纠正学生的错误，强调注意点）
〖设计说明：通过学生解决课内练习及时巩固对本课所学内容的掌握。〗
三、合作讨论，延伸提高
当m为何值时，去分母解方程＋＝0会产生增根。
分析：增根是怎么产生的？当x取什么值时会产生增根？（x=2）若去分母后已知x的值，m的值能求出来吗？
〖设计说明：针对本题引导学生观察，反思，理解产生增根的内涵，并组织同学之间相互讨论，交流，培养良好的与人合作的精神。〗
四、理顺思路，归纳小结
让学生归纳小结本节课的知识点和重难点：
1．分式方程的定义。
2．解分式方程的思路及步骤
3．转化思想
〖设计说明：以培养学生归纳小结能力为目的，为学生提供更大的发展空间，体现了新课标理念下每位学生都要学会如何学习。〗
五、布置作业，课外巩固
作业：（1）作业本 （2）书上目标评定对应练习 （3）自主探索学习
设计思路
分式方程是分式和方程的结合，本课时通过创设生活中的情境写出分式方程并利用建构主义学生观，让学生寻找解分式方程的方法，即把分式方程转化为整式方程来解决，体现了转化的数学思想，并且通过适当的课内练习及时巩固知识，做到解决问题后及时总结方法，学会如何学习。
板书设计7.4 分式方程（二）
陈春艳
【教学目标】
一、知识与技能
使学生学会运用分式方程的思想和方法，解决有关实际问题；利用解分式方程把公式变形。
二、过程与方法
经历“实际问题—分式方程模型—求解—解解释的合理性”的过程，发展学生分析问题和解决问题的能力。
三、情感、态度与价值观
通过列分式方程解决实际问题，体会分式方程是解决实际问题的重要模型，发展应用意识。
【教学重点】
列分式方程解决实际问题
【教学难点】
会由实际问题列出分式方程及例4的教学
【教学过程】
一、创设情景，引入新课
物体运动时，经过时间t，速度从原来的v变为v，人们把a=叫做物体在时间 t内运动的平均加速度。请求出下列各题的结果。
⑴过山车在下滑的过程中，经过3秒，速度从原来的4米/秒增大到22米/秒，求过山车这段时间内的平均加速度。
请比较下列各速度的大小：
①若飞机起飞阶段的平均加速度为8米/秒2，求起飞4秒时飞机的速度；
②一只鹰从15米/秒的速度开始加速，在4秒内平均加速度为米/秒2，求加速4秒时这只鹰的飞行速度；
③汽车广告中，一辆汽车从静止开始，经9秒速度达到90千米/时，求该汽车启动后经4秒的速度。
分析：
（1）已知平均加速度的公式，很明显把已知量代入即可。
（2）为了比较加速后的速度的大小，必须把它们各自的大小计算出来，给学生足够的时间讨论得到两种方法：解分式方程或公式变形。
由此可知，运用分式方程的思想和方法，可以帮助解决有关的实际问题。
所以今天我们就来学习运用分式方程解决实际问题和利用解分式方程把公式变形。
〖设计说明：本题是课本中课后的探究题，把本题作为引题是为了让学生体会到分式方程可以解决实际问题，引出课题。〗
二、解释应用，体验成功
例3：工厂生产一种电子配件，每只的成本为2元，毛利率为25%，后来该工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加3.5%，问这种配件每只的成本降低了多少元？（精确到0.01元）
本题等量关系是什么？（毛利率＝）
售出价是多少？ （ 2×（1＋25%）=2.5（元））
成本是多少？ （原来成本是2元，设这种配件每只降低了x元，则降价后的成本是（2－x）元）
根据等量关系，你能列出方程吗？
解：（略）
解后小结：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题在方法，步骤上基本相同，但解分式方程时必须验根。
〖设计说明：通过本例题的教学主要是为了让学生明白运用方程的思想和方法，可以帮助我们解决有关的实际问题。解题的同时逐步让学生体会到列方程中的数学建模思想，通过设未知数，列方程，解方程等步骤求得问题的解。〗
根据以上的思想和方法，同学们能不能独立地解决实际问题呢？
课内练习：甲、乙两人每时共能做35个电器零件，当甲做了90个零件时，乙做了120个，问甲、乙每时各做多少个电器零件？
〖设计说明：本题的设计让学生及时巩固了列分式方程解应用题的基本步骤
及思想方法。〗
下面我们就利用公式变形解决一个问题：
例4，照相机成像应用了一个重要原理，即=+(V≠f)
其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示明胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整U、V来使成像清晰，问在f、v已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u？
分析：本题就是利用解分式方程把已知公式变形。
把f、v看成已知数，u看成未知数，解关于u的分式方程。
解：（略）
解后小结：公式变形是分式运算和解方程的知识的综合，公式变形的基本思想，在数学和其他学科知识的学习中，以及生产实践中有重要的地位及广泛的应用。
〖设计说明：由于公式变形集知识性和技巧性于一体，所以教师在讲解中要讲清每一步变形的依据。〗
课内练习：下面的公式变形对吗？如果不对，应怎样改正？
将公式x＝（1+ax≠0）变形成已知x，a，求b
解：由x＝，得x＝－
∴x＋＝
即b＝a+
〖设计说明：本题的设计使学生对于公式变形有了更深层次的理解和掌握。〗
四、合作交流，拓展延伸
年新生婴儿数减去年死亡人数的差与年平均人口数的比叫做年人口的自然增长率，如果用p表示年新生婴儿数，q表示死亡人数，s表示年平均人口数，k表示年人口自然增长率，则年人口自然增长率k=.
⑴把公式变形成已知k，p，q，求s的公式。
⑵把公式变形成已知k，s，p，求q的公式。
〖设计说明：由于本课时容量比较大，此题可以在课外完成。〗
五、归纳小结，布置作业
1．运用分式方程的思想和方法，解决有关实际问题
2．利用解分式方程把已知公式变形。
3．注意公式变形时括号中条件限制的用处。
作业：（1）作业本 （2）自主学习
六、设计思路
本课时通过实际问题体现到分式方程解决问题的重要性，并通过数学活动总结到分式方程应用题的一般步骤，分式是分式方程和解方程知识的结合，在数学和其他学科知识学习中有重要的地位和作用，所以要讲清每一步的依据，有时候讲授法不愧是一种好方法。
板书设计
