5.2 单项式的乘法
胡永平
【教学目标】
1、知识与技能：掌握单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘的法则，并理解其中的算理，进而会进行单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘的运算。
2、过程与方法：经历单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘的法则的探究过程，体会乘法交换律、结合律和分配律的作用和转化的思想。
3、情感、态度与价值观：在探索过程中，利用运算律将问题转化，进而得到所要的结果，使学生获得成就感，培养学习数学的兴趣。
【教学重点、难点】
重点：单项式与单项式和单项式与多项式相乘的运算法则及其应用。
难点：如何灵活进行单项式的乘法运算。
【教学过程】
一、回顾与思考
简单回顾新学的有关幂的运算性质，鼓励学生参与回顾。
二、创设情景，引出课题。
展示：天安门广场
展示：一位旅行者用步长测量天安门广场的面积：他从南到北，记下所走的步数为1100步；再从东走到西，记下所走的步数为625步，然后根据自己的步长来估算广场的面积。
（1）如果用字母a表示该旅行者的步长，你能用含a的代数式表示广场的面积吗？
（1100a）×（625a）
（2）假设这位旅行者的步长为0。8m，那么广场的面积大约是多少m2？
（1100×0。8）×（625×0。8）＝440000m2
（3）通过解决上述问题，你认为两个单项式相乘应怎样运算？运算依据是什么？
教师引导，学生参与，从具体实行（1100×0。8）×（625×0。8）＝1100×625×0。82开始运用乘法交换律、乘法结合律、同底数幂的运算性质能得出：
（1100a）×（625a）＝（1100×625）×（a×a）＝（1100×625）a2
二、诱向深入，构建模型
类似的3x2y·2x3y2，（abc）·（a2c）怎么办呢？
学生小组交流，合作学习，老师进行引导总结：
（1）系数与系数相乘
（2）同底数幂与同底数幂相乘
（3）其余字母及其指数不变作为积的因式
师：以上各题正是单项式与单项式相乘，总结得到的三点正是单项式与单项式相乘法则。
三、展示应用，评价自我。
1、做一做。（学生到黑板前演示，之后师生共同评定）
（1）3b3·5/6b2 （2）（-6ay3）（-a2）
（3）（-3x）3（5x2y） （4）（2×104）（6×103）·107
注意点：（1）任何一个因式都不可丢掉
（2）结果仍是单项式 （3）要注意运算顺序
2、练一练
课本P121 1、2
四、合作学习，再觅新知
一幅电脑画的尺寸如图5-3（详见课本P170）
（1）请用两种不同的方法表示画面的面积；
方法一：a（a-2m）
方法二：ab-am-am＝ab-2am
（2）这两种不同方法表示的面积应当相等，你所用运算律解释它们相等吗？
（体会分配律及其转化）
（3）通过上面讨论，你能总结出单项式与多项式相乘的运算规律吗？
学生小组讨论，合作学习，逐步从a（b-2m）＝ab-2am中提炼出单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。（注意：项是包括符号的）
五、应用新知，体验成功。
1、试一试（教师与学生共同完成）
（1）2a2b（1/2ab-3ab2）
（2）（1/3x-3/4xy）（-12y）
2、练一练
课本P122课内练习3。
六、归纳小结，充实结构。
1、单项式与单项式相乘法则
2、单项式与多项式相乘法则
3、法则是由哪些运算律转化而来的？
七、知识留恋，课后韵味。
布置作业：1、课后作业题
2、课本P123设计题
板书设计同底数幂的乘法（1）
黄云莲
【教学目标】
1、进一步了解正整数指数幂的意义，了解同底数幂相乘是出于解决实际问题的需要。
2、理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算；
3、会应用同底数幂的乘法法则解决简单的实际问题。
4、在探究“性质”的过程中，培养学习观察，概括与抽象的能力。
【教学重点】
1. 同底数幂的乘法法则及其灵活应用
【教学难点】
1. 理解同底数幂的乘法法则是由乘法的概念加以具体到抽象的概括抽象过程。理解法则的推导过程需要一定的推理能力
【教学过程】
（一）、创设情景，引出课题
情景：学生观察节前语，教师提出问题：太阳系外的第100颗行星与地球之间的距离约多少km？
师生共同列式为：102×3×105×3×107＝9×102×105×107＝9×（102×105×107）
那：102×105×107等于多少呢？进而引出本节课题。
复习乘方的概念
读出下表各式，说明底数和指数，并用乘法式子来表示
(-2)2 (2a)4 (a+1)2 5
（二）、合作学习，建立模型
1、要求各学习小组合作探究
103×102＝
a3×a4＝
2、展示合作学习的成果，加深对幂的意义的理解，总结得到：
103×102＝（10×10×10）×（10×10）＝10×10×10×10×10＝105＝103+2
……
3、形成法则
启发学生探求规律，设疑归纳am·an＝ 进而形成法则am·an＝am+n（m，n都是正整数）即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
4、引导学生剖析法则
（1）等号左边是什么运算？
（2）等号两边的底数有什么关系？
（3）等号两边的指数有什么关系？
（4）公式中的底数a可以表示什么？
（5）当三个以上同底数幂相乘时，上述法则成立吗？
（三）、应用新知，体验成功
1、试一试求：①78×73
②（-2）8×（-2）7
③x3·x5
④（a-b）2·（a-b）
⑤102×105×107
2、做一做：①3×33
②105×105
③（-3）2×（-3）3
④am·an·at
⑤a·a3
⑥a＋a＋a
3、下面计算否正确？如果不对，应怎样改正？
①a3·a3＝a6 ②a3+a3＝２a3
③b.b6=b7 ④ (-7)8.73=711
⑤(-5)7.(-5)4= -511
4、分析讲解课本例2。
我国自行研制的“神威”计算机的峰值运算速度达到每秒3840亿次。如果按这个速度工作一整天，那么它 能运算多少次（结果保留3个有较数字
（四）、变式训练，激发情智
1、化简（s-t）2·（t-s）·
（五）、课内练习，反馈评价
评见教材的课内练习，要求学生说明每一步计算的理由。
（六）、归纳小结，充实结构
由学生讲今天这堂课学到了什么东西。
同底数幂相乘的运算法则，能用式子表示，也能用语言叙述。
明确了几个须注意的地方：
（1）在计算时不能直接写出结果
（2）不能把同底数幂相乘的运算法则和其它法则混淆。
（3）进一步了解从特殊到一般和从一般到特殊的重要思想。
布置作业：课本后附的作业题。
板书设计同底数幂的乘法（3）
黄云莲
【教学目标】
1、经历探索积的乘方的法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力。
2、了解积的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。
【教学重点】
1. 理解法则的探索过程和掌握并正确运用积的乘方法则
【教学难点】
1. 运算中有积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘等多种法则，运算时正确运用运算法则是本节的难点。
【教学过程】
（一）、回顾与思考
用逐步展示的形式回顾复习
n个a
1、幂的意义：a·a·……a=an
2、同底数幂相乘的运算法则：
am·an＝am＋n（m，n都是正整数）
3、幂的乘方运算法则
（am）n＝amn（m，n都是正整数）
（二）、合作交流，探索新知
1、合作学习
（1）根据乘方的意义（幂的意义）和同底数幂的乘法法则
（4×6）3表示什么？
（4×6）3＝（4×6）·（4×6）·（4×6）
＝（4×4×4）·（6×6×6）
＝43×63
（2）那（4×6）5，（ab）3又等于什么？
（3）探索：由特殊的（ab）3＝a3b3出发，你能想到一般的公式吗？
猜想：（ab）n＝anbn
2、论证猜想
n个ab
（ab）n＝ab·ab……·ab （幂的意义）
n个a n个b
＝（a·a…·a）·（b·b…·b）（乘法交换律、结合律）
＝anbn （幂的意义）
3、分析法则
（1）积的乘方法则：
（ab）n ＝ an·bn（n为正整数）
积的乘方 乘方的积
上式显示：
积的乘方＝积中每个因式分别乘方后的积
（2）你能认出法则中“因式”这两个字的意义吗？
（3）（a＋b）n＝an·bn吗？
（a＋b）n＝an＋bn吗？
4、公式的拓展
（abc）n＝ （n为正整数），为什么？
说明时有两种思路：一种思路是利用乘法结合律，把三个因式的乘方转化为两个因式积的乘方，再用积的乘方法则。另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法：用乘方的意义，乘法交换律与结合律。
(三)、应用新知，体验成功
1、阅读体验，解析例题
（1）例4：计算下列各式
1）（2b）5 2）（3x3）6
3）（-3x3y2）3
解：1）（2b）5＝25b5＝32b5
2）（3x3）6 ＝36（x3）6＝36x18＝729x18
3）（-3x3y2）3＝-（x3）3（y2）3＝-x9y6
（2）例5： 木星是太阳系九大行星中最大的一颗，木星可以近似地看成球体。已知木星的半径大约是7×104km，木星的体积大约是多少km3（п取3.14）。
解：V＝4/3пr3
＝4/3п（7×104）3
＝4/3п×73×1012
≈4/3×3.14×343×1012
≈1436×1012≈1.44×1015（km3）
答：（略）
分析时注意强调运算顺序。
2、练习巩固
（1）下列计算对吗？如果不对，请改正。
①（3a2）3＝27a5 × 27a6
②（-a2b）4＝-a8b4 × a8b4
③（ab4）4＝ab8 × a4b16
④（-3pq）2＝-6p2q2 × 9p2q2
⑤（23）4＝23 × 212
注意⑤（23）4＝212
4
23＝281
（2）计算：
①（ab）6 ②（a2y）5
③（x2y3）4 ④（-a2）3＋3a2·a4
（3）填空：
①a6y3＝（ ）3 ②81x4y10＝（－ ）2
(四)、探索延伸
展示：不用计算器，发挥你的聪明才智，相信你能很快求出下列各式的结果。
（1）22×3×52
（2）24×32×53
（3）2·59×48
通过分析使学生明确（ab）n＝anbn公式有时可以逆用。
(五)、归纳小结
1、提问：今天的课你有何收获，与同伴交流一下。
2、小结：
幂的意义
同底数幂的乘法法则 积的乘方运算法则（ab）n ＝anbn
3、小结：有时反向运用法则也会起到简化运算的作用。
布置作业：课本后附作业题
板书设计5.5 整式的化简
沈磊剑
【教学目标】
知识和技能
1、使学生学会合理运用平方差公式和完全平方公式来进行整式化简，提高综合运算能力。
2、应用整式乘法、平方差公式、完全平方公式来解决一些实际应用问题中的整式化简，体会用数学。
3、通过探究活动、探索学习，进一步熟悉乘法公式的运用，并了解数学运算技巧。
二、过程和方法
让学生主动参与到学习的探索过程中来,逐步形成独立思考,主动探索的习惯,培养学生的解题能力,提高运算的速度和准确性.
三、情感、态度和价值观
体会数学学习与生活的密切关系,了解数学的应用价值和数学化简的简约美,体验数学的转化思想.
【教学重点】
综合运用平方差公式和完全平方公式进行整式的化简。
【教学难点】
运用乘法公式解决实际问题和利用公式进行探究活动。
【教学过程】
一、合作学习，导入课题。
1、合作学习
如图，点M是AB的
中点，点P在MB上分别
以AP，PB为边，作正方形
APCD和正方形PBEF，设
AB=4a，MP=b，正方形APCD与正方形PBEF的面积之差为S。
（1）用a，b的代数表示S。
（2）当a=4、b=1/2时，S的值是多少？
当a=S，b=1/4时呢？
2、指导学习
（1）S=（2a+b）2-（2a-b）2
当S的式子出来后提问：
上述问题(2)你是怎样计算？怎样计算比较简捷？
通过讨论交流，明确应先用乘法公式化简，再代入计算比较简便，同时在化简过程中明确化简应遵循：先乘方、再除方，最后算加减的顺序，能运用乘法公式的则运用公式。
三、应用所知，体验成功
1、做一做：
化简
①（2x－1）（2x＋1）－（4x＋3）（x－6）
②（2a＋3b）2－4a（a＋3b＋1）
③（a－3b）（a－3b＋2）－a（a＋6b＋2）
2、练一练：
（1）化简：
①（x＋6）2＋（3＋x）（3－x）
②3x（x2＋3x＋8）＋（－3x－4）（3x＋4）
③（a＋b＋3）（a＋b－3）
（2）当x=－1/3时，求代数式：
（3x＋5）2－（3x－5）（3x＋5）的值。
三、探究活动，品味知识
1、题目：
观察下列各式
52=25
152=225
252=625
352=1225
你能口算末位数是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由。
2、指导：（学生也可能将所有个位数是5的两位数平方后，直接得到规律，对于这种穷举方法，也应给予鼓励）
（1）、通过计算，探索规律
152=25可写成100×1×（1＋1）＋25
252=225可写成100×2×（2＋1）＋25
352=625可写成100×3×（3＋1）＋25
452=1225可写成100×4×（4＋1）＋25
……
752=5625可写成
852=7225可写成
（2）从第（1）题的结果、归纳、猜想得
（10n＋5）2=
（3）根据上面的归纳、猜想，试计算：
19952=
四、实际问题，应用数学
1、题目：甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%。
（1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？
（2）如果a=150，x=2，那么5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？
2、分析
（1）
3月份 4月份 5月份
甲超市销售额 a a(1＋x%) a(1＋x%) x(1＋x%)= a(1＋x%)2
乙超市销售额 a a(1－x%) a(1－x%) x(1－x%)= a(1－x%)2
差额为：
a(1＋x%)2－a(1－x%)2
2x x2 2x x2 ax
=a(1＋——＋——)－a(1＋——＋——)= ——(万元)
100 10000 100 10000 25
ax 150×2
（2）当a=150，x=2时，—— = ———= 12（万元）
25 25
五、探索延伸，拓展提高
已知a＋b=3 ab=1/2 求：
（1）a2＋b2 （2）a4＋b4
（3）a2＋ab＋b2
（4）b/a＋a/b
六、归纳小结，充实结构
今天学到了什么？有何体会？试讲出来与大家交流。
七、知识留恋，课后韵味
布置作业：课本后附作业题
板书设计5.4 乘 法 公 式 (1)
胡永平
【教学目标】
1、知识与技能：掌握平方差公式，会运用平方差公式进行多项式的乘法运算，会运用平方差公式进行简便计算。
2、过程与方法：通过亲自动手、观察并发现平方差公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。
3、情感、态度与价值观：在教师的组织指导下，让学生在获得数学知识的同时受到科学发现的熏陶，享受发现公式的乐趣，从而使他们的学习兴趣得到提高，思维能力得到发展，同时学习与合作交流能力也得到提高。
【教学重点、难点】
重点：平方差公式的推导及应用。
难点：构造几何图形来解释平方差公式。
【教学过程】
一、创设情景，导入课题
1、要求学生完成下列练习：
①（m＋n）（p＋q）
②（a＋b）（x－y）
③（2x＋3y）（a－b）
④（a＋2）（a－2）
⑤（3－x）（3＋x）
⑥（2m＋n）（2m－n）
2、问题：在完成上述练习过程中，你发现了什么特点？（引导学生发现结果为平方差型的题目，并将此类题目重新组合到一起，供学生观察）在探索中引入课题。
二、交流探索，归结公式
1、探索
引导学生对引例中的④⑤⑥进行研究，对探索发现的特点进行整理归纳。
并回答问题：④⑤⑥小题等式左边有哪些特点？
回答问题：④⑤⑥小题等式右边有哪些特点？
2、归结
引导学生仔细而具体地观察题目特征，进而分析产生这些特点的原因，然后由特殊到一般寻找出规律，并用语言进行概括，得到：
（a＋b）（a－b）＝a2－b2
即两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
3、几何解释平方差公式
做一做：
展示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
（1）请计算图的阴影部分的面积（让学生用正方形的面积公式计算）。
（2）小明将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长与宽是多少？你能表示出它的面积吗？
图1
图2
让学生先思考小明的这种拼法对吗？（2）中的阴影部分的面积是（1）中的阴影部分的面积吗？并说明理由
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
先请同学们阅读，然后独立完成，由学生板书：
（1）a2－b2；
（2）长为（a＋b），宽为（a－b），它的面积是：
（a＋b）（a－b）。
（3）①②式相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。
即a2－b2＝（a＋b）（a－b）。
三、例题分析，巩固公式。
1、例1 利用平方差公式计算：
（1）（3x＋5y）（3x－5y）；
（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）
（3）（-m＋n）（-m－n）
让学生仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点（老师可以引导学生：两个多项式的第一项相同，而第二项互为相反数）符合运用平方差公式的条件（教师引导学生把每个多项式的每一项看作是a，第二项看作是b）。
解：(1)(3x＋5y)(3x－5y)＝(3x)2－(5y)2＝9x2－25y2
↓ ↓ ↓ ↓
（a＋b）（a－b）＝ a2 － b2
（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）
＝（a＋0.5b）（a－0.5b）＝a2－0.25b2
↓ ↓ ↓ ↓
（a＋b） （a－b）＝ a2 － b2
（3）（-m＋n）（-m－n）＝（-m）2－n2＝m2－n2
↓ ↓ ↓ ↓
（a＋b）（a－b） ＝ a2 － b2
2、例2 用平方差公式计算
（1）103×93 （2）59.8×60.2
解：（1）103×93＝（100＋3）（100－3）
＝1002－32＝10000－9＝9991
（2）59.8×60.2＝（60－0.2）（60＋0.2）
＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.96
可引导学生思考（103×93）比100×100小
59.8×60.2比60×60小
你发现了什么？
3、课内练习
课本P128练习题
四、探究延伸，发展能力
1、探究：怎样计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)+1？
你能找到比较简便的方法吗？
类似地，怎样计算(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)+1？
你能进一步的猜想吗？
2、备选练方差公式计算
（1）（-0.25x－y）（-0.25x＋y）
（2）（-2x＋3y）（-2x－3y）
（3）（2x－5）（2x＋5）－（2x＋1）（2x－1）
五、归纳小结，充实结构
1、今天学到了什么？
让学生口头表述平方差公式的内容，并用字母写出它的表达式。
2、你认为平方差公式的用处是什么？
3、怎样使用平方差公式？
六、知识留恋，课后韵味
布置作业：课后作业题
板书设计5.6同底数幂的除法(2)
沈磊剑
【教学目标】
一、知识和技能
1、通过探索整式和幂的运算，体会零指数和负整数指数规定的意义及其合理性。
2、通过探究、猜想、归纳、总结，掌握较小数的科学记数法表示方法
3、学会应用a0=1（a≠0） a－p=1/ap（a≠0，p是正整数）来进行计算。
二、过程和方法
1、通过零指数和负整数指数规定的意义及其合理性学习，训练学生的综合解题能力和计算能力
2、通过总结除法的运算法则，培养学生的抽象概括能力.
3、渗透数学公式的简洁美、和谐美．
三、情感、态度和价值观
通过同底数幂的除法，培养发展有条理的思考及表达能力，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和归纳等数学思想的认识， 渗透数学公式的简洁美与和谐美。
【教学重点】
零指数和负整数指数的意义，以及较小数的科学记数法表示。
【教学难点】
理解和应用负整数指数幂的性质。
【教学过程】
一、回顾与思考
1、复习同底数幂相除法则：同底数相除，底数不变，指数相减。即am÷an==am－n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n））
2、设疑，上次课研究的是m＞n，而当m≤n怎么办呢？
二、合作学习，构建新知
1、合作学习
（1）填空：①53÷53=
33 1 1
②33÷35= —— = —— = ——
35 （ ） 3（ ）
1
③a2÷a5= ——
a（ ）
（2）讨论下列问题：
①同底数幂相除法则：am÷an中，m，n必须满足什么条件？
②要使53÷53=53－3也能成立，你认为应当规定50等于多少？更一般地a0（a≠0）呢
③要使33÷35=33－5和a2÷a5=a2－5也成立，应法规定3－2和a－3分别等于什么呢？
2、小结：
通过自我尝试，小组讨论，老师指导下，不难得出新的规定：任何不等于零的数的零次幂都等于1
即a0=1 （a≠0）
任何不等于零的数的－p（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数。
1
即a－p= —— （a≠0，p为正整数）
ap
于是指数从正整数推广到了整数，正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用。
三、运用新知，体验成功
1、做一做：
（1）例1用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值。
①10－3 ②（－0.5）－3 ③（－3）－4
1 1
解：①10－3 = —— = ——
103 1000
1 1
②（－0.5）－3 = ————= － ——— =－8
（－0.5）3 0.125
1 1
③（－3）－4= ——— = ——
（－3）4 81
（2）例2、计算
①950×（－5）－1
②3.6×10－3
③a4÷（－10）0
④（－3）5÷36
1 1
解：①950×（－5）－1=1×（——）=－ —
－5 5
1
②3.6×10－3=3.6× —— = 3.6×0.001=0.0036
103
③a4÷（－10）0=a3÷1=a3
1
④（－3）5÷36=－35÷36=－3－1=－ —
3
2、练一练：
（1）下列计算对吗？为什么？错的请改正。
①（－3）0=－1
②（－2）－1=2
③ 2－2=－4
④a3÷a3=0
⑤ am·a－m=1 （a≠0）
（2）课本P140课内练习1、2。
四、探究延伸，建立模型
1、做一做：
将0.000 05输入计算器，再将它乘以0.000 007，观察你的计算器的显示，它表示什么数？与你的同伴交流计算器是怎样表示绝对值较小的数。
显示为 3.5 －10
这是什么意思呢？
这其实是一种用科学记数法来表示很小的数，那么该如何表示呢？
2、探究活动：
填空：100=
10－1=
10－2=
10－3=
10－4=
你发现用10的整数指数幂表示0.000 ……01这样
n个0
较小的数有什么规律吗？请你把总结的规律写下来。
规律可能有这么几种总结：
（1）规律是小数中从小数点左边一个零算起，至1前的零的个数，就是10的负整数指数幂的指数的绝对值。即0.000 ……01=10－n
n个0
（2）小数点移动法：小数点从左到右移动n位后得到的新数×10－n = 原数。
3、练一练：
（1）把下列各数表示成a×10n （1≤a＜10，n为整数）的形式：
①12000
②0.0021
③0.0000501
（2）用小数表示下列各数：
①1.6×10－3
②－3.2×10－5
（3）课本P141，课内练习3。
五、归纳小结，充实结构
1、今天学了些什么？
① a0=1（a≠0）
2、知识点 ② a－p=1/ap （a≠0，p是正整数）③ 用科学记数法表示较小的数
六、知识留恋，课后韵味
布置作业：课本后附作业题。
板书设计5.1 同底数幂的乘法（2）
黄云莲
【教学目标】
1、经历探索幂的乘方的法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力。
2、了解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。
【教学重点】
1. 法则的探索过程和法则的灵活应用
【教学难点】
1. 幂的乘方与同底数幂相乘的混合运算
【教学过程】
(一）、回顾与思考
1、学习（1）幂的意义a·a·……a=an
n个a相乘
（2）同底数幂的相乘法则am·an=am+n（m，n都是正整数）
(二)、创设情景，导入课题
1、先让学生直观体会两个球体的体积的大小的悬殊比例，然后让他们猜想足球的体积大约是乒乓球体积的多少倍？同学讨论、交流。最后，告诉他们足球的半径是乒乓球半径的几倍，让他们算足球的体积是乒乓球体积的多少倍？而导入新课。
2、，从计算的结果我们看出：球体的体积与半径的大小有着紧密的联系，如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的体积n3倍。
地球、木星、太阳可以近似地看成球体，木星、太阳的半径分别约为地球的10倍和102倍，它们的体积约是地球的多少倍？
学生独立思考后回答：木星的体积是地球的体积的103倍，而太阳的体积则是地球的体积的（102）3。你知道（102）3到底是多少倍吗？猜想一下，并说明你的理由。
半径扩大的倍数与体积扩大的倍数哪个变化更大？这节课我们共同研究“幂的乘方”。
(三)、合作学习，建立模型
1、做一做
计算下列各式，并说明理由
（1）（102）3 （2）（34）2
（3）（a3）5 （4）（am）n
由学生合作完成，探索幂的乘方的法则的归纳过程，经小组讨论，交流各自的想法，看看别人是怎么运算出结果的，和自己的想法有何区别，最后指名让小组代表说自己的想法和运算过程及运算结果。
师生共同归纳为：
（1）（102）3＝102×102×102（根据幂的意义）
＝102＋2＋2（根据同底幂相乘法则）
＝102×3
（2）（34）2＝34×34＝34＋4＝34×2=38
（3）（a3）5＝a3·a3·a3·a3·a3＝a3＋3＋3＋3＋3
＝a3×5＝a15
n个
（4）（am）n＝am·am·am……am（幂的意义）
n个
＝a m＋m＋…＋m（同底数幂相乘的法则）
＝amn（乘法的意义）
2、总结法则
（am）n＝amn（m，n都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、想一想（小组讨论）
（am）n＝与（an）m相等吗？为什么？
(四)、应用新知，体验成功
例3：计算下列各式，采用幂的形式表示
（1）（107）3 （2）（a4）8 （3）3
（4）-（x2）m （5）（x3）4·（x2）5
（6）2（a2）6-（a3）4
解：（1）（107）3＝107×3＝1021
（2）（a4）8＝a4×8＝a32
（3）3＝（-x）6×3＝（-x）18＝x18
（4）-（x2）m＝-x2m
（5）（x3）4·（x2）5＝x3×4·x2×5＝x12·x10
＝x12＋10＝x22
（6）2（a2）6-（a3）4＝2a2×6-a3×4＝2a12-a12＝a12
想一想：下面的计算对吗？错的请改正:
做一做：计算下列各式，结果用幂的形式表示：
抢答题（详见课件）
(五)、探索挑战，激发情智
1、探究活动
教材P116探究活动，探究魔方
2、智能挑战
（1） 、（2）
(六)、归纳小结，充实结构
1、今天收获1，2，3……
2、结构
幂
的
意
义
布置作业：课本后附作业题
板书设计
幂的乘方运算法则
（am）n＝amn（m，n都是正整数）
底数不变，指数相乘
同底数幂相乘法则：
am·an＝am＋n（m，n都是正整数）
底数不变，指数相加5.4 乘法公式 (2)
胡永平
【教学目标】
1、知识与目标：掌握完全平方公式，会运用完全平方公式进行多项式的乘法运算。
2、过程与方法：通过合作学习探索得到完全平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力.通过体念、观察并发现完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。
3、情感、态度与价值观：在学习、交流、合作的过程中，获取新知识，并会灵活运用新知识解决一些简单的问题，进而感受数学的实用性。
【教学重点、难点】
重点：理解完全平方公式，运用公式进行计算。
难点：从广泛意义上理解公式中的字母，判明要计算的代数式是哪两个数的和（差）的平方。
【教学过程】
一、回顾与思考
复习平方差公式及如何运用。
二、合作学习，探求新知
1、合作学习：
布置各小组开展节前小组学习，然后结合各小组合作学习情况开始共同探究。
2、代数探究
运用多项式与多项式相乘的法则计算
（1）（a＋b）2 （2）（2＋x）2
（3）（2a＋x）2
观察上述3题的计算结果，你发现有什么规律？
3、几何探究
如图
你能用多种形式表示上图的面积吗？
形式一：（a＋b）2
形式二：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2
形式一和形式二表示的是同一个图形的积，所以
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
4、形成公式，巩固练习
综上所述，我们有以下两数和的完全平方公式：
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
即两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。
模仿练习：（a＋1）2＝
（3＋x）2＝
（2a＋3b）2＝
5、换元拓展
提问；（a－b）2等于什么？是否可以写成2
你能继续做下去吗？
通过讨论，尝试得到（a－b）2＝a2－2ab＋b2
即两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。
模仿练习：（y－7）2＝
（7－y ）2＝
三、探求规律，巩固练习
1、探求规律
在模仿运用公式的基础上，结合两个公式的特征，可用一句顺口溜来强化记忆：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放.”
公式变形为：（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
填表
式子 首项 尾项 结果的中间项 结 果(完全平方式)
符号 系数
(x+2y)2
(2a-5)2
(-2s+t)2
(-3x-4y)2
2、运用规律
组织学生展开讨论，由上面的表格不难得出：首尾平方总得正，中间符合看首尾项的积，同号得正，异号得负，中间的两倍记牢，进而总结步骤为：
（一）确定首尾，分别平方；
（二）确定中间项的系数和符号，得出结论。
3、巩固练习
（1）（2a＋3）2 （2）（b－3）2
（3）（-2x－3y）2 （4）（3－1/3t）2
（5）（0.5m－0.2n）2
（6）（1－3x）（3x-1）
四、运用法则，解决问题
例：花农老万有4块正方形菜花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m.现老万将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少㎡？
解：（略）。
五、发散练习，勇于创新
（1）下列计算是否正确？如何改正？
①（a＋b）2＝a2＋b2
②（a－b）2＝a2－b2
③（a＋2b）2＝a2＋2ab＋b2
（2）填空
①a2＋b2＋ ＝（a＋b）2
②a2＋b2－ ＝（a－b）2
③x2＋4y2＋ ＝（x＋2y）2
④x2＋4y2－ ＝（x－2y）2
（3）运用完全平方公式计算，
992= 1002= .
（4）请你编1～3个完全平方式，并说出首尾项.
六、归纳小结，充实结构
1、今天你学到了什么？
2、完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2
3、口诀
七、知识留恋，课后韵味
布置作业：课本后附作业题.。
板书设计5.3 多项式的乘法
胡永平
【教学目标】
1、知识与技能：掌握多项式与多项式相乘的法则；会运用单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则。
2、过程与方法：培养学生用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想。学会用多项式乘法法则进行计算。
3、情感、态度与价值观：在法则的探究过程中，灵活运用多种法则与运算律，提高学生的应用能力。
【教学重点、难点】
重点：多项式与多项式相乘的运算法则及其运用。
难点：灵活运用多种法则与运算律。
【教学过程】
一、回顾与思考
教师引导学生复习单项式×多项式运算法则
整式的乘法实际上就是
单项式×单项式
单项式×多项式
和今天学多项式×多项式
二、创设情景，导入课题
展示：节前语和图片。
展示：课本中三图
图5-4
图5-5
图5-5
图5-6
一间厨房的平面布局如图5-4，试用几种方法表示厨房的总面积。（师生共同探索，鼓励学生用不同的表示方法完成，然后总结）
由图5-5得总面积为（a+n）（b+m）
由图5-6得总面积为a（b+m）+n（b+m）
或ab+am+nb+nm
此时提出问题《多项多的乘法》。
三、探索法则与应用
（a+n）（b+m）＝a（b+m）+n（b+m）
＝ab+am+nb+nm
根据分配律，我们也能得到下面等式：
（a+n）（b+m）＝ab+am+nb+nm
1、在学生发言的基础上，教师总结多项式×多项式的乘法法则并板书法则。
让学生体会法则的理论依据：
乘法对加法的分配律
多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
2、例题讲题
例1 计算（1）（x+y）（a+2b）
（2）（3x-1）（x+3）强调法则的作用。
例2 先化简，再求值：
（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）其中a＝2/17
解：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）
＝6a2+2a-9a-3-6a2+24a
＝17a-3
当a＝2/17时，原式＝17×2/17-3＝-1
3、课内练习
见课本P126
四、拓展延伸，探索挑战
1、拓展演练
（1）（a+b）（a-b）
（2）（a+b）2
（3）（a+b）（a2-ab+b2）
（4）（a+b+c）（c+d+e）
2、探索
课本P126 第6题
五、归纳小结，充实结构
指导学生总结本节课的知识点、学习过程等的自我评价。主要针对以下两个方面：
1、多项式×多项式
2、整式的乘法
六、知识留恋、课后韵味
布置作业：课后作业题。
板书设计5.7 整式的除法
沈磊剑
【教学目标】
一、知识和技能
1、使学生掌握单项式除以单项式的法则，并熟练进行计算；
2、使学生理解多项式除以单项式的基本方法；
3、通过“单项式除以单项式”方法的探索,让学生体会研究新问题“多项式除以单项式”策略．
二、过程和方法
1、通过实际问题的探求，让学生体会“单项式除以单项式”的基本方法；
2、结合实例，让学生在实际训练中，把“单项式除以单项式”的方法内化为自己的一种自觉行为．
三、情感、态度和价值观
通过练习，培养学生认真、严谨、一丝不苟的学习态度，在解题中培养学生胜不骄、败不馁的良好心理素质．
【教学重点】
会利用单项式除以单项式法则和多项式除以单项式法则，进行简单的整式除法运算。
【教学难点】
全面、准确地理解二个法则。
【教学过程】
一、回顾与思考
复习整式乘法中单项式乘以单项式、多项式乘以多项式和同底数幂相除法则。
二、合作学习，探求新知
1、合作学习
月球是距离地球最近的天体，它与地球的距离约为3.8×108米，如果宇宙飞船以1.12×104米/秒的速度飞行，到达月球大约需要多少时间？
2、探求新知
解决上述问题时，你是怎样计算的？
由此你能找到计算（3a8）÷（2a4）的方法吗？
计算（6a3b4）÷（3a2b）呢？
3、议一议：
一般地，两个单项式相除，可以转化为系数与系数相除以及同底数幂的相除，例如：
14·a3·a2·x
（14a3b2x）÷（4ab2）= ——————
4·a·b2
7 7
= — a3－1·b2－2·x= — a2x
2 2
议一议：如何进行单项式除以单项式的运算？
法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
三、应用新知，体验成功
1、试一试：
4
计算：（1）－a7x4y3÷（－— ax4y2）
3
（2）2a2b·（－3b2）÷（4ab3）
（3）（2a＋b）4÷（2a＋b）2
2、辨一辨：
（1）（12a3b3c）÷（6ab2）=2ab
（2）（p5q4）÷（2p3q）=2p2q3
3、练一练：
计算与填空
①（10ab3）÷（5b2）=
②3a2÷（6a6）·（－2a4）=
③（ ）·3ab2=－9ab5
④（－12a3bc）÷（ ）=4a2b
四、探究延伸，再会新知
1、做一做
先填空，再用适当的方法验证计算的正确性。
（1）（625＋125＋50）÷25
=（ ）÷（ ）＋（ ）÷（ ）＋（ ）÷（ ）
=
（2）（4a＋6）÷2=（ ）÷（ ）＋（ ）÷（ ）
=
（3）（2a－a）÷（－2a）
=（ ）÷（－2a）＋（ ）÷（－2a）
=
2、议一议
从上述第（2）、（3）题的计算中，你能归纳出多项式除以单项式的运算方法吗？
法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
即：（a＋b＋c）÷m=a÷m＋b÷m＋c÷m（m≠0）
3、试一试
计算
（1）（14a3－7a2）÷（7a）
（2）（15x3y5－10x4y4－20x3y2）÷（－5x3y2）
4、练一练
（1）辨别正误：
①（am＋bm＋cm2）÷m=a＋b＋c
②（2x－4y＋3）÷2=x－2y＋3
（2）计算式填空
①（15x2y－10xy2）÷（5xy）
②（4c3d2－6c2d3）÷（－3c2d）
③ ÷（－a）=－3a＋2b
④（ ）·（－2y）=4x2y－6xy2
五、归纳小结、充实结构
1、单项式相除 （1）系数相除
（2）同底数幂相除
（3）只在被除式里的幂不变
2、多项式除以多项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
六、知识留恋、课后韵味
课外作业：课本后附作业题
板书设计5.6 同底数幂的除法（1）
沈磊剑
【教学目标】
一、知识和技能
1、通过探索同底数幂的除法的运算性质，进一步体会幂的意义，发展推理能力。
2、理解同底数幂除法运算法则，掌握应用运算法则进行计算。
二、过程和方法
通过探索同底数幂的除法的运算性质，进一步体会幂的意义，理解同底数幂除法运算法则，掌握应用运算法则进行计算。让学生感受。到实际生活中，存在的同底数幂的除法.
三、情感、态度和价值观
通过同底数幂的除法，培养发展有条理的思考及表达能力，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和归纳等数学思想的认识， 渗透数学公式的简洁美与和谐美。
【教学重点】
同底数幂的法则的推导过程和法则本身的理解。
【教学难点】
灵活应用同底数幂相除法则来解决问题。
【教学过程】
一、创设情景，引出课题
1、问题情景：课本节前图为经染色的洋葱细胞，细胞每分裂一次，1个细胞变成2个细胞。洋葱根尖细胞分裂的一个周期大约是12时，210个洋葱根类细胞经过分裂后，变成220个细胞大约需要多少时间？
2、分析导出本题的实际需要求220÷210=？
二、合作探究，建立模型
1、铺垫
填空：
( )×( )×( )×( )×( )×( )
（1）25÷23=——————————————=2 ( )
( )×( )×( )
=2( )－( )
( )×( )×( )
（1）a3÷a2=——————— =a ( )=a( )－( ) （a≠0）
( )×( )
2、上升：am÷an== （a≠0）
3、小结：
am÷an==am－n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n））
即同底数幂相除，底数不变，指数相减。
分析法则中的要素：（1）同底（2）除法转化为减法——底数不变，指数相减（3）除式不能为零。
三、应用新知，体验成功
1、试一试
例1：计算
（1）a9÷a3 （2）212÷27
（3）（－x）4÷（－x）
（4）（－3）11÷（－3）8
（5）10m÷10n （m＞n）
（6）（－3）m÷（－3）n （m＞n）
（师生共同研讨解决，始终抓住法则中的二个要素：判定同底，指数相减，并注意过程和运算结果的规范表示。）
2、想一想：
指数相等的同底数幂（不为0）的幂相除，商是多少？你能举个例子说明吗？
3、练一练：
（1）下列计算对吗？为什么？错的请改正。
①a6÷a2=a3 ②S2÷S=S3
③（－C）4÷（－C）2=－C2
④（－x）9÷（－x）9=－1
（2）课本P137课内练习1、2。
四、探究延伸，激发情智。
1、试一试：
例2计算
（1）a5÷a4·a2
（2）（－x）7÷x2
（3）（ab）5÷（ab）2
（4）b2m＋2÷b2
（5）（a＋b）6÷（a＋b）4
2、练一练：
（1）课本P137课内练习3、4（节前问题）
（2）金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最亮的一颗星。金星离地球的距离为4.2×107千米时，从金星射出的光到达地球需要多少时间？
五、归纳小结，充实结构
1、今天学到了什么？
2、同底数幂相除法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即am÷an==am－n（a≠0，m，n都是正整数，
且m＞n））
六、知识留恋，课后韵味
课外作业：课本后附作业题
备选提高练习题：
（1）已知ax=2 ay=3 则a2x－y=
（2）x4n＋1÷x 2n－1·x2n＋1=
（3）已知ax=2 ay=3 则ax－y=
（4）已知am=4 an=5 求a3m－2n的值。
（5）若10a=20 10b=1/5，试求9a÷32b的值。
（6）已知2x－5y－4=0，求4x÷32y的值。
板书设计
