第六章 因式分解
目录
TOC \o "1-3" \h \z 6.1 因式分解 2
HYPERLINK \l "_Toc101594365" 6.2 提取公因式法 4
6.3 乘法公式分解因式（1） 5
HYPERLINK \l "_Toc101594367" 6.3 乘法公式分解因式（2） 6
6.4 因式分解的简单应用 8
6.1 因式分解
〖教学目标〗
◆1、了解因式分解的概念和意义．
◆2、了解因式分解与整式乘法的关系——互逆变形．
◆3、体验矛盾的对立统一规律．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：本节教学的重点是因式分解的概念．
◆教学难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题，是本节教学的难点．
〖教学准备〗多媒体，分好学习小组．
〖教学过程〗
一、创设情境，导入新课
师：谁能以最快速度求：当a=101，b=99时，a2－b2的值
析：教师不要马上作答．可能会有学生利用计算器计算，教师引导，若不使用计算器你能解决吗 等学了本节内容后再来解决它．
师：在小学里，我们学过2×3×5=30，这是什么运算
生1：整数乘法．
师：那30=2×3×557．是什么运算
生2：因数分解．
师：因数分解有什么作用 你在平时学习中遇到过吗 请举例说明(合作学习)．
生3：分数的约分与通分．
师：，(x－y)＝x2－xy是什么运算 等式左右两边有何特点
生4：整式的乘法．左边是整式的积，右边是多项式．
析：学生可能会答成分配律，左右两边都是代数式．教师要作引导．
师：那x2－xy＝x(x－y)是否成立 这个等式的两边有何特点 又是什么运算
生5：成立．左边是多项式，右边是整式的积．
师：这就是我们今天要探讨的因式分解．
二、合作交流，探求新知
1．形成概念．
师：像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，有时，也把这一过程叫分解因式．请你仔细默读概念，并留意概念中的注意点．下面请看练习(多媒体出示)：
教师在点评上述10题的过程中，请学生留意因式分解概念中的注意点，与本人原来的想法是否一致．
生6：①左边是多项式，右边是整式；②右边是整式的乘积的形式．
2．理解因式分解与整式乘法的关系．
师：注意第(9)，(10)两题是两种正确的变形，但不是因式分解．观察下列等式，并回答
问题(多媒体出示)
师：1．填空(整式乘法，因式分解)
2．这两种运算是什么关系 (互逆)
图示表示：
师：你能利用因式分解与整式乘法的关系，做下面的例题蚂(多媒体出示)
析：①让学生体验怎样利用已学知识解决新知识；
②让学生体验因式分解与整式乘法的互逆性．
练一练：课本课内练习第1题(请三个学生在黑板演练，老师巡视)．
3．尝试简单的因式分解．
析：①强调格式；
②再次体验因式分解与整式乘法的互逆性．
4．解决问题．
师：现在你能利用所学的知识解决上课初的那道题吗(合作完成)
生7：1012－992=-(101＋99)(101－99)
=200×2
=400．
师：那872＋87×13又该怎么算呢
析：①这两题在例2的基础上完成可能更容易些；
②让学生体验因式分解对解决某些问题带来的便利．
三、小结回顾，反思提高
师：本堂课你有什么收获
合作交流得：(1)因式分解的概念；(2)因式分解的注意点；(3)因式分解的作用．
四、布置作业
课本作业题．
6.2 提取公因式法
〖教学目标〗
◆1、会用提取公因式法分解因式．
◆2、理解添括号法则．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：用提取公因式法分解因式．
◆教学难点：例2分解因式，需要添括号，还要运用换之的思想，是本节教学的难点．
〖教学过程〗
一、新课引入
计算（1）25×17+25×83 （2）15.67×91+15.67×9
由学生小结：（1）应用分配律，使计算简便
（2）分配律的一般式a（b+c）= ab+ac
在此应用的是 ab+ac= a（b+c） （*）
从因式分解的角度观察式（*） （1）可以看作是因式分解
（2）做法是把每一项中都含有的相同的因式，提取出来（3）举例把2ab+4abc分解因式
二、揭示课题，新课教学
公因式的概念和用提取公因式法分解因式
提取公因式法分解因式的步骤
确定提取的公因式
例：3axy+6x3yz
归纳：公因式是各项系数的最大公因数（当系数是整数的）与各项都含有的相同字母
的最低次幂的积
用提取公因式法分解因式：3axy+6x3yz=3xy（a+2xz）
归纳：a、提取公因式后，多项式余下的各项不再含有公因式
b、提取的实质是将多项式中的每一项分别除以公因式3xy
（3）练习 分解因式：5abc +15abc
例题教学
例1 把下列各式分解因式：
（1）2 x3+6 x （2）3pq3+15p3q （3）－4x+8ax+2x
（4）－3ab+6abx－9aby
小结：提取公因式法的一般步骤和要求
4. 再议公因式（1）公因式还可以包括各项中都含有的多项式如
2(a+b) －(a+b)中a+b 则引导学生进行提取，观察结果是否符合因式分解的要求。
（2）由（1）引入例2 把2(a－b) －a+b分解因式
观察例题，猜想含有公因式a－b或a+b进行探索、分解因式
（3）由（2）把－a+b加上括号变形成－(a－b)而不改变 －a+b的值，这种方法称为添括号。
复习回忆，去括号法则，随之探索添括号法则
练习 ①添括号 －x－2x+1=－（ ）
1－2x=+( )
－x－2=－( )
②因式分解 2（a+b） －(a－b)
三、练习P154 1.2.3.4.
四、小结：（1）提公因式法分解因式的步骤和分解要求
（2）公因式的确定
（3）添括号法则
五、作业布置
6.3 乘法公式分解因式（1）
〖教学目标〗
◆1、会用平方差公式分解因式。
◆2、了解因式分解的思考步骤。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：用平方差公式分解因式是本节教学的重点。
◆教学难点：例1第（4）题和本节的“合作学习”的因式分解和化简过程较为复杂，是本节教学的难点。
〖教学过程〗
题引入：
节头图：把一张如图甲形状的纸剪拼成图乙形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，你认为应该怎么剪？你能给出数学解释吗？
通过今天的学习，我们将解决这个问题。（板书课题）
新课
1、上一章我们已学过平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2，今天我们将换一个角度来认识这个公式的应用。由此可得：（板书）a2－b2＝(a+b)(a－b)
这就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
我们运用这个公式可以把平方差形式的多项式进行分解因式。
2、做一做：（学生口答完成）
下列各式能用平方差公式a2－b2＝(a+b)(a－b)分解因式吗？a，b分别表示什么？把它们分解因式。
（1）x2―1; (2)m2―9; (3)x2―4y2
由此可见，运用平方差公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数的平方差。
公式中的字母可以是一个数、一个字母、也可以是一个式，所以在运用平方差公式分解因式前，首先能够找出字母所表示的数或式，尤其当项的系数是分数或小数时，给我们在判别上带来一定的困难，为此我们先来完成下面填空练习：
3、填空：
x2＝( )2 x2－0.01y2＝( )2－( )2
4(x-y)2－9(x+y)2＝[ ]2－[ ]2 －252+0.25x2=( )2－( )2
4、例题讲解：
例1 把下列各式分解因式：
（1）16a2－1 （2）－m2n2+4l2 (3) x2－y4 (4) (x+z)2－(y+z)2
例题小结：
能用平方差公式分解因式的一般步骤：①表示成哪个数的平方差的形式；②运用平方差公式分解因式。借助这个方法，我们也可以较轻松地解决节头图所提出的问题了：甲图形状的纸面积为（a2－b2），根据a2－b2＝(a+b)(a－b)可知乙图可看作长为(a+b)，宽为(a－b)的长方形，从而得到问题的解决。
当然在分解因式的过程中，有的时候需要对某些多项式能否运用平方差公式分解作出判断。
例2 判别下列各多项式能否用平方差公式分解因式，为什么？
―4x2―y2, 4x2+(―y)2, (―4x)2―y2
5、提出问题：对于多项式4x3y－9xy3能否直接用平方差公式分解因式？
合作学习：怎样把多项式4x3y－9xy3分解因式？
可按下述步骤思考：
能否提取公因式？
提取公因式后，多项式还能继续分解因式吗？
让学生通过分析、尝试、交流等形式归纳形成解决问题的策略、方法和步骤。
三、课内练习：书本157页练习（有针对性地选择学生板演，并由学生完成评价）
四、课堂小结：
1、今天学习了把乘法公式中的平方差公式逆向使用，得到的平方差公式进行的因式分解。数学公式的互逆运用目的都是为了数学问题的解决。
2、运用平方差公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数平方差的形式。当要分解的多项式是两个多项式的平方差时，分解成的两个因式一般要进行去括号等化简，如有同类项，要进行合并。
3、在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式。
五、作业：书本157页
必做题：1、2、3、4
选做题：5、6
6.3 乘法公式分解因式（2）
〖教学目标〗
◆1、会用完全平方公式分解因式。
◆2、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：用完全平方公式分解因式是本节教学的重点．
◆教学难点：例3分解和化简过程比较复杂，是本节教学的难点。
〖教学过程〗
引入：
通过前两节课的学习，我们已掌握了运用“提取公因式法分解因式”和“运用平方差公式分解因式”，尤其是“平方差公式分解因式”是借助于多项式乘法公式中的平方差公式的逆向使用来实现多项式的因式分解。在多项式乘法中我们还学习了两个完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2 , (a－b)2=a2－2ab+b2,
今天我们将借助于这两个完全平方公式的逆向使用来进行分解因式。(板书课题)
新课：
1、板书： a2+2ab+b2＝(a+b)2 a2－2ab+b2＝(a－b)2
这就是说，两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方。
运用完全平方公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数的和（或者差）的完全平方（仿书本“例如”举例说明）
2、完全平方式： a2+2ab+b2， a2－2ab+b2。
对一个多项式能否直接用完全平方公式，首先应判断其是否完全平方式。
判断下列各式是否完全平方式：
（1）4x3－4x+1 （2）4x2－2x+1 （3）4x2－4x+1 （4）x2－x+
(5) +1－x
具体判别时可按如下的程序操作：
（1）先看能否把其中的某两个数的平方和的形式。
（2）如果能把其中的某两项写成两个数的平方和的形式，那么就要乍剩下的一项能否写成加上或减去同样两数乘积的两倍的形式。例如：4x3－4x+1中的任何两项都不能写成两个整式的平方和的形式，因此不能用完全平方公式来分解因式。
4x2－2x+1中的4x2+1虽然可以看成2x与1的平方和，但是剩下的一项－2x并不是－2x与1乘积的两倍。因此也不能用完全平方公式来分解因式。
4x2－4x+1中的4x2+1可以看成2x与1的平方和，并且剩下的一项－4x恰好是－2x与1乘积的两倍，所以可以用完全平方公式来分解因式，分解的结果应是2x与1的差的平方。
+1－x，虽然外观与a2－2ab+b2不一致，但它是完全平方式。
学习练习：书本159页“做一做”
（通过这样正、反两方面的对照，使学生正确判别能否用完全平方公式分解因式，以及分解的结果是什么样的两数和（或差）的平方。）
3、例2 把下列各式分解因式：
（1）4a2+12ab+9b2; (2) ―x2+4xy―4y2 (3) 3ax2+6axy+3ay2
范例讲解应注意以下几点：
（1）当两个平方项前面的符号为负时，应先提取“－”号，如―x2+4xy―4y2=―(x2―4xy+4y2)
（2）第（3）由学生思考后，强调“多项式中有公因式的先提取公因式”
例3、分解因式：(2x+y)2－(2x+y)+9
本例分析要突出换元的思想，也就是把(2x+y)看作一个整体，教学中应当使学生理解换元的含义，体验换元的作用。
三、练习：书本160页“课内练习1、2”
四、小结：
1、通过这两节课的学习，我们熟悉了运用平方差公式分解因式和运用完全平方公式分解因式。一般地，利用公式a2－b2＝(a+b)(a－b)，或a2±2ab+b2＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法。公式中的a,b可以是一个数，也可以是一个整式。
2、运用公式法分解因式的关键是判断能用哪个公式，然后针对公式进行分解。
3、对综合运用多种方法分解因式时，应先考虑有公因式的先提取公因式，后运用公式法分解因式。
4、分解后的各因式，如果可以去括号、合并同类项等化简，则要化简。
5、本节例3所涉及的换元思想，在以后的数学学习中还会比较广泛的应用，需要进一步的熟练。
五、作业：书本160－161
必做题：1、2、3、4、5、6
选做题：7
6.4 因式分解的简单应用
【教材分析】
(一)教学内容分析：因式分解是进行代数运算的常用工具之一，灵活、合理地应用因式分解可以帮助我们解决很多数学问题。本节应用只涉及两个方面：多项式相除和解简单的方程。例题和练习的运算量不太大，教学中可适当补充，不要对一元二次方程进行定义。
(二)学情分析：教材前面已经讲过单项式相除和多项式除以单项式，本节在此基础上，通过因式分解，并运用换元的思想，把多项式相除转化为单项式相除。在学习用因式分解解简单的方程前，首先要理解由：A·B=0 能推出什么结果。通过例题的讲解学习后，应帮助学生总结出基本步骤。
【教学目标】
1、会用因式分解进行简单的多项式除法
2、会用因式分解解简单的方程
【教学重点、难点】
因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用是本节的重点，应用因式分解解方程涉及较多的推理过程，是本节教学的难点。
【教学过程】
复习因式分解的一般方法
1、可以用幻灯或小黑板出示一些作业中容易出错的因式分解题，问学生可能会错在哪里？
2、请学生互相讨论因式分解有几种方法，再选一个学生归纳
3、说明：因式分解是进行代数运算的常用工具之一，灵活、合理地应用因式分解可以帮助我们解决很多数学问题。
问：那么我们学了因式分解有什么用呢？
推出课题：因式分解的简单应用
例1计算：
（1） （2ab2-8a2b）÷(4a-b) (2) (4 x 2-9) ÷(3-2 x)
解: (1)（2ab2-8a2b）÷(4a-b)
=-2ab(4a-b) ÷(4a-b) （什么方法？）
=-2ab （理由？）
(2) (4 x 2-9) ÷(3-2 x)
=(2 x +3)(2 x -3) ÷[-(2 x -3)] （什么方法？）
=-(2 x +3) （理由？）
=-2 x –3 （理由？）
注意：运用多项式的因式分解和换元的思想，有时我们可以把两个多项式相除，转化为单项式的除法。
问：你知道什么样的两数相乘，积为零吗？
合作学习
1 若A·B=0,下面两个结论对吗？
A和B同时都为零，A=0，且B=0；
A和B中至少有一个为零，即A=0，或B=0。
2 你能用上面的结论解方程(2x+3)(2x-3)=0吗？
四、例2解下列方程：
（1）2x2+x=0 (2) (2x-1)2=(x+2)2
解: (1) 将原方程左边分解因式，
得x(2x+1)=0 则x=0或2x+1=0
∴原方程的根是x1=0,x2=-1/2
注意: 只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，如X1, X2等。
移项，得(2x-1)2-(x+2)2=0
将左边分解因式，得(3x+1)(x-3)=0
则 3x+1=0 或x-3=0
∴原方程的根是x1=-1/3, x2=3
五、课内练习 （请学生板演）
计算：（1） （a2-4）÷(a+2)
(2) (x2+2xy+y2) ÷(x+y)
(3) [(a-b)2+2(b-a)] ÷(a-b) （请学生指出同学的错误）
2 解下列方程：(1) x2-2x=0 (2)4x2=(x-1)2 （老师补充总结）
六、小结
请学生讨论这节课学到了哪些应用？再请一个人回答。
第一个应用时，用到了什么数学思想？注意哪些东西？
若A B C=0可以推出什么呢？
你能说出用因式分解解简单的方程的步骤吗？
七、作业P1631.1认识三角形（第1课时）（教参）
1.1认识三角形（第2课时）
1.2三角形的角平分线和中线
1.3三角形的高
1.4全等三角形
1.5三角形全等的条件（第1课时）
1.5三角形全等的条件（第2课时）
1.5三角形全等的条件（第3课时）
1.6作三角形
1.1 认识三角形（第1课时）（教参）
【教学目标】
1．进一步认识三角形的概念．
2．会用符号、字母表示三角形．
3．理解三角形任何两边之和大于第三边的性质．
【教学重点、难点】
1．本节教学的重点是三角形任何两边的和大于第三边的性质．
2．判断三条线段能否组成三角形，过程较复杂，是本节教学的难点．
【教学过程】
一、三角形的概念及表示
1．生活图片引入，抽象出三角形，概括“三角形”的概念(可由学生完成，教师加以完善)
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
2．三角形的表示．
(1)如右图，图中有几个三角形 ——可引导学生作有条理的分类；
(2)怎么表示 ——学生会想到顶点处标上大写字母，引出三角形的符号表示，可与“∠”的用法对比；
(3)你能写出每个三角形的三条边和三个内角吗
(4)三角形三边的其他表示：如右图．
3．做课本课内练习第1题加以巩固．
二、探索三角形的三边关系
小组合作：
取三个图钉，固定在——硬纸板的三点(记为A，B，C)上，用一根细绳绕A、B，C一周，组成△ABC，如图．
1．目测哪一条边最长
2．比较最长的一条边与另两条边的长度之和，哪一个更长
3．改变图钉A的位置(仍组成△ABC)，结论有没有改变 由
此你发现了什么
结论：—个三角形较短的两边之和大于最长的一边；三角形任何两边的和大于第二边
上述结论比较直观，教师可让学生用学过的知识解释——两点之间线段最短．那么三角形任何两边的差与第三边有什么关系 让学生通过上述实验得到：
三角形任何两边的差小于第三边．
三、三角形三边关系的应用
1．例1 判断下列各组线段中，哪些能组成三角形，
哪些不能组成三角形，并说明理由．
(1)a=2.5cm，b=3cm，c=5cm；
(2)e=6.3cm, f=6.3cm，g=12.6cm；
(3)m=4cm，n=6cm，p=lcm．
教师可让学生自己选择方法(以上三个结论均可用)，从中挑选较为简洁的方法：要判断三条线段能否组成三角形，只要把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较．如果最长的一条线段小于另外两条线段的和，那么这三条线段能组成三角形；如果最长的一条线段大于或等于另外两条线段的和，那么就不能组成三角形．
引申：你想找一根多长的小棒与长为4cm，6cm两根小棒首尾相接组成三角形
分析：学生根据已掌握的知识可找出小棒的长为3cm，4cm，7em等等，引导学生概括：
两边之差＜第三边＜两边之和．
2．例2 小明说：“我的步子(两脚着地时两脚的间距)大，一步有3米多”．你认为小明的话可信吗
分析：此题是对三角形三边关系的简单应用，可让学生自己画简图解决．
3．做课本课内练习第2，3加以巩固．
四、小游戏
两位同学分别站在A，B两地，请第三位同学站到他们两人的距离和最小的地方，你认为站在哪里合适
分析：此游戏让学生自然而然地运用“两点之间线段最短”与“三角形任何两边之和大于第三边”的性质．
五、课外探究
若三角形的周长为17，且三边长都是正整数，那么满足条件的三角形有多少个 你可以先
固定一边的长，用列表法探求．
六、布置作业
1．课本作业题．
2．用三角形设计一幅美丽的图案．
1.1 认识三角形(第2课时)
【教学目标】
1、通过实践活动，理解三角形三个内角的和等于180o
2、理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
3、合适用三角形的内角和外角的性质简单的几何问题
4、了解三角形的分类
【教学重点、难点】
1．本节教学的重点是三角形三个内角和等于180o的性质是本节重点。
2．例3是立体图形，涉及的角之间的关系不易辨认，是本节难点。
【教学过程】
合作学习：
①请每个学生利用手中的三角形（已备），把三角形的三个角撕（或剪）下来，然后把这三个角拼起来，然后观察这三个角拼成了一个什么角？
②请学生归纳这一结论，教师板书：三角形的三个内角的和等于180O
2、三角形内角和性质的应用
① 口答：△ABC中，∠A=45O，∠B=60O，求∠C
②△ABC中，∠A=57O18，，∠B=46O49，。求∠C
③△ABC中，∠A=∠B，∠C=110O，求∠A，∠B
④△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，求这个三角形的三个内角。
3、由上题得出图中三角形的形状
① ② 得出的三角形的三个角都是锐角，这样的三角形称之为锐角三角形
③ 得出的三角形有一个角是钝角，这样的三角形称之为钝角三角形
④得出的三角形有一个角是直角，这样的三角形称之为直角的三角形
若一个三角形为Rt△，那么它的其余两个锐角互余。
4、三角形的外角：① 定义：三角形的一边和另一边相邻边组成的角，叫做三角形的外角。由图得：∠BCE+∠ACB=180O 而∠A+∠B+∠ACB=180O ∴∠BCE=∠A+∠B
从而得到定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
② 外角也并不一定绝对，要会看一个角之是内角还是外角。
5、练习：1）△ABC中，∠ACD=120O ∠A=50O ，求∠B、∠ACD
2）如书本例题
3），已知，在△ABC中，
∠C=Rt∠,D是BC上一点，
已知∠1=∠2，∠B=25O，求∠BAD数。
6：小结：
①三角形的内角和性质
②认识三角形的外角的概念，并能准确寻找外角和内角
③三角形的外角的性质
1.2 三角形的角平分线和中线
【教学目标】
知识目标：1、使学生知道三角形的角平分线和中线的定义，并能熟练地画出这两种线段
2、能应用三角形的角平分线和中线的性质解决简单的数学问题
能力目标：培养学生形成观察辨别、全面分析、归纳概括等数学方法，培养学生的思维方法和良好的思维品质。
情感目标：通过提问、讨论等多种教学活动，树立自信、自强、自主感，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。
【教学重点、难点】
教学重点、难点：三角形的角平分线、中线的定义及画图是本节课的重点，利用三角形的角平分线和中线的性质解决有关的计算问题是本节难点。
【教学过程】
一、创设情景，引入新课
、让每个学生拿一张三角形纸片，把其中一个内角对折一次，使角的两边重合，得到一条折痕。（问学生折痕是什么形状？）
、请每位学生用量角器量一量被折痕分割的二个角的大小，得到什么结论？（得到折痕平分这个内角）
引出概念：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（让学生理解三角形的角平分线的形状是线段）
合作交流，探讨结论
请同学回答下面的问题
在一个三角形中有几条角平分线？请每位同学在不同类型的三角形中画一画，与同伴交流你发现了什么？
在此过程中，教师可以用几何画板制作的动画演示，在锐角三角形、钝角三角形、直角三角形中三条角平分线的特点。（三条线都在三角形的内部，三条线相交于一点）
任意画一个 ABC，用刻度尺画BC的中点D，连结A D
引出概念：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。（让学的中线的形状也是线段生理解三角形）
请同学回答问题：在一个三角形中有几条中线？请每位同学在不同类型的三角形中画一画，与同伴交流你发现了什么？
在此过程中，教师可以用几何画板制作的动画演示，在锐角三角形、钝角三角形、直角三角形中三条中线的特点。（三条线都在三角形的内部，三条线相交于一点）
三角形的角平分线、中线用几何语言表达方式：如图 在 ABC中，∠BAD=∠CAD,AD是 ABC的角平分线；在 ABC中，D是BC的中点（或B D= DC），AD是 ABC中BC边上的中线。
三、应用概念，解决问题
范例1 如图AE是 ABC的角平分线，已知∠B=450 ∠C=600
求下列角的大小 ∠BAE ; ∠AEB
首先让学生仔细观察图形，分析已知条件，教师作好引导
巩固练习
请学生课内练习1、2教师分析总结
拓展与应用
让学生在熟悉概念的基础上，做更灵活的计算与应用
1、在 ABC中，角平分线B D与C E交于点F，已知∠A=550 求 ∠EFD的度数
2、在 ABC中，A D是BC边上的中线，已知AB=7 AC=5，求 AB D和 AC D的周长的差
学生总结
让学生回顾本节课的主要内容
作业布置
课后请同学做好书本中的作业1——4。
1.3 三角形的高
【教学目标】
1、知识目标：
（1）了解三角形高的概念
（2）会画三角形各条边上的高
（3）会利用三角形的高的概念，解决有关角度、面积计算等问题
2、能力目标：
培养学生动手操作、观察、分析、归纳概括的能力
3、情感目标：
通过实践、操作、探索，激发学生的数学学习兴趣，培养学生的科学探究精神及积极与他人合作交流的意识
【教学重点、难点】
1、本节教学的重点是三角形的高的概念和画法
2、认识直角三角形、钝角三角形各条边上的高以及例1是本节教学的难点
【教学过程】
创设情境，引入新知
问题：一个三角形，在什么位置剪一刀，能把这个三角形分成面积大小相同的两个小三角形。
教学安排活动如下：
1、每个学生在硬纸板上任剪一个三角形
2、学生分组合作，共同探究，形成结论：(这一刀是中线)
3、教师用多媒体演示，并提问为什么中线将原三角形分成的两个小三角形面积相等，从而引出课题——三角形的高
动手操作，理解新知
1、师生共同归纳总结出三角形高的定义 ：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
让学生指出高的定义中的关键词： 对边所在的直线
3、学生动手操作，合作学习完成P11（1），教师用多媒体演示。
4、小组讨论、交流：
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高线的位置有何特点？
5、各小组交流，教师补充，形成结论
① 锐角三角形的三条高线都在三角形内部，且相交于一点O
② 直角三角形斜边上的高在三角形的内部，两直角边上的高与两直角边重合。三条高相交于直角顶点D。
③ 钝角三角形钝角对边上的高在三角形的内部，夹钝角的两条边上的高在三角形的外部。三条高的延长线也相交于一点O’
（三）师生互动，运用新知
1、解决引入问题：例1、△ ABC中，AD为BC边上的中线，为什么△ABD和△ACD面积相等
教师引导学生从以下几个方面考虑
①三角形面积公式
② AD为中线，可得到什么 结论？（BD＝CD）
③ △ABD和△ACD中BD、CD边上的高如何画？有什么特点？（重合）
④由例题可得到什么重要结论（同高等底的两个三角形面积相等）
2、补充例题2：在△ ABC中，∠ B=20° ∠ C=30° ，BD为AC边上的高，求∠ ABD大小？
3、例3、如图：在△ ABC中，AD是△ ABC的高，AE是△ ABC的角平分线，已知： ∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小
教师将此问题设计如下：将原图形分解成两个图形
设计问题（1）求出图（1）、图（2）中各个角的大小？
（2）∠ DAE可看作图（1）、图（2）中哪些角的差？
（∠DAE＝∠DAC－∠CAE或∠DAE＝∠BAE－∠BAD或∠DAE＝180°－∠ADC－∠AEB）
4、随堂练习：P13课内练习1、2
（四）梳理知识，归纳小结
（1）高的定义
（2）锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条高的特点
（3）角平分线、高的概念及三角形内角和为180°的综合运用，求角的大小
（4）“同高等底的两个三角形面积相等”这一结论的应用
（五）再创情景，拓展提高
有一块三角形地，一边靠河，张三、李四、王二家人口各为6人、4人、2人，若要按人口比分这块地，且要求每户人家分得的地均靠河，也是三角形状，问如何分这块地？
（六）布置作业，巩固应用
1、分层次布置作业P13-14 1、2、3必做， 4、5选做
2、P13探究活动小组讨论，合作完成
1.4 全等三角形
【教学目标】
1、通过实例，经历全等图形概念的发生过程，了解全等图形的概念。
2、会用叠合法判定两个图形全等。
3、了解全等三角形的概念。
4、理解全等三角形的对应边相等，对应角相等。
【教学重点、难点】
教学重点是全等三角形的概念；本节的范例是用叠合的方法和过程表述，学生缺乏经验，是本节教学的难点。
【教学过程】
全等图形的概念
通过对书本15页3个图的观察，让学生思考，鼓励学生能用自己的语言表述全等图形的概念。
引导学生举例生活中的全等图形，加强学生对全等图形概念的理解。
学生做书本15页“做一做”第1题及书本17页“课内练习1”，让学生体验“重合”的正确含义。
全等三角形的概念及表示方法：
学生两人一张印有两个全等三角形的纸片（类似于书本15页做一做第2题），尝试用全等图形的验证方法，引入“全等三角形”的概念：能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
引用15页“做一做”第2题说明全等三角形的“对应顶点、对应边、对应角”的概念。组织学生探讨两个全等三角形的一般记法（用“＝”只是表示数量的相等），提示学生将相应的边、角、顶点写在对应的位置上，这样会对以后分析全等三角形带来方便。让学生写出两个全等三角形的相等的角、相等的边。
探索全等三角形的性质：
借助全等三角形纸片，四人一组探索全等三角形的性质，鼓励学生能用自己的语言表述性质，然后由教师归纳并板书：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
全等三角形性质的应用：
问：（1）两条相等的线段是否能重合？（2）一条角平分线把这个角分成的两部分能重合吗？
范例分析：由上述问题帮助说明“⊿ABD与⊿ACD全等”，并由全等三角形性得出BD＝CD，∠B＝∠C。
问：除已知的和已得出的相等线段、相等角以外，图中还有没有其它的线段或角相等？如果有，请指出来。
学生完成书本17页课内练习第2题，要求说出相等的边和相等的角。
（机动）说出下列图形中的全等三角形，并说出对应边、对应角。
（1） （2） （3）
（给一些全等三角形的不同位置的变式,让学生辨认任意放置的两个全等三角形的相等的角、相等的边，以及对应的顶点，使学生能在不同放置的全等三角形中，找到对应的元素。）
五、小结回顾：师生共同完成，肯定学生在课堂教学中的探索精神、协作精神等，并提出相应要求及注意点。
六、布置作业：见书本17页“作业题”。
1.5 三角形全等的条件（第1课时）
【教学目标】
知识目标：使用直尺和圆规画已知角的角平分线
了解三角形稳定性性质
掌握三角形全等的条件——SSS
能力目标：运用三角形全等的条件——SSS
已知三边画三角形
学会简单推理过程的说明
情感目标：由三角形稳定性体会数学与实践联系紧密
简单推理过程培养学生严谨的逻辑思维
【教学重点、难点】
重点： 三角形全等的条件——SSS
难点：学会简单推理过程的说明
【教学过程】
（一）：复习旧知：
如图1，△ABC≌△DBC，∠A和∠D是对应角，
说出另外两组对应角和各组对应边，指出他们的
关系，并说明理由。
（二）：引入新知：
阅读课本，让学生使用直尺和圆规根据已知三边画三角形，并比较各组所画的三角形，让学生发现这些三角形的共同点
思考：两条弧线的交点是否只有一个？若连接D′E、D′F得到的△D′EF也是所求的三角形吗？这两个三角形能否互相重合？
（三）：归纳新知：
在学生发现的基础上适当点拨得出：
有三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）
（四）：验证新知：
（课前准备能组成三角形的两端有孔木条两组，两组木条边长相等）
先把其中一组的两根木条用螺栓固定，木条可自由转动，在转动的过程中，连结另两个端点所成的三角形的形状、大小会改变，把另两个端点也用螺栓固定在第三根木条上，则该三角形的形状、大小就完全确定，让学生去体会并发现三角形稳定性，同理，用另一组木条构成三角形，发现这两个三角形是全等的，若去除这两个三角形中的长度相等的边后把剩下部分重新组合成四边形，可发现它的形状会发生改变，可见四边形不具有稳定性。师生举例了解三角形的稳定性
（五）：应用新知
例1：如图2，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，则∠A=∠C，请说明理由。
解：在△ABD和△CDB中
AB=CD （已知）
AD=CB （已知）
BD=DB （公共边）
∴△ABD≌△CDB （SSS）
∴∠A=∠C （根据什么？）
注意：书写格式须规范
例2：已知，∠BAC（如图3），用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD，并说出该作法正确的理由。
作法：1、A为圆心，适当长为半径作圆弧，
与角的两边分别交于E、F点
2、分别以E、F为圆心，大于EF为半径作圆弧交于角内一点D
3、过点A、D作射线AD
射线AD就是所求的∠BAC的平分线
解：如图4，连结DE、DF
在△ADE和△ADF中
AE=AF （画法）
DE=DF （画法）
AD=AD （公共边）
∴△ADE≌△ADF （为什么？）
∴∠CAD=∠BAD （全等三角形的对应角相等）
即AD平分∠BAC
注意：有时为解题需要，在原图形上添上一些线，这些线叫做辅助线，辅助线通常画成虚线。
（六）：体验成功
课内练习1、2、3
（七）：归纳小结
今天你学到了哪些内容？
1.5 三角形全等的条件（第二课时）
【教学目标】
知识目标：1.掌握三角形全等（SAS）的判定方法。
2.理解线段的中垂线概念，掌握线段的中垂线性质。
能力目标：会运用三角形全等的判定方法、线段的中垂线性质，解决两条线段相等、两个 角相等的问题。
情感目标：几何图形及知识来源于生活实际，体验用几何知识解决实际问题。
【教学重点、难点】
重点：两个三角形全等（SAS）的判定条件。
难点：1.例4先判定两个三角形全等；再利用全等三角形的性质，判定两条线段相等。
2.线段的中垂线性质的应用。
【课前准备】
学生每人一张透明纸，多媒体课件。
【教学过程】
一、创设情景，提出问题
教室的钢窗，开窗时，随着∠ABC的大小改变，开窗的大小也随之改变。由于∠ABC 的大小在改变，问：△ABC的的形状能固定吗？
不能。只有当∠ABC不变时,开窗的大小就能确定，△ABC的形状也随之确定。
下面我们通过画图，考虑AB、BC已定，当夹角∠ABC的大小固定，△ABC能惟一确定吗？见书P.22
二、合作学习，引入新知
1.画三角形
让我们动手做一做：用量角器和刻度尺画△ABC，使AB=4Cm,BC=6Cm，∠ABC=60 。要求学生把图画在透明纸上。
在画△ABC时，教师可讲一下画图思路：先画一个“草图”△ABC（任意的），把已知条件，标写在图上，问学生：哪些可以先画？这样做使学生知道在小学时，做计算题我们常打“草稿”，现在画几何图形，我们可以先画“草图”，帮助我们寻找画图的方法。
2.合作交流，得出结论
教师在巡视中，有五分之四以上学生画好后，要求学生将你画好的三角形和其它同学画的三角形，重叠上去，它们能互相重合吗？使学生有感性认识，再由全等形的概念知：得到书本P.23的结论。
3.理解概念
指出：这个角一定要两条边的夹角。
如上图:在△ABC和△A′B′C′中:
AB= A′B′ (已知)
∠ABC=∠A′B′C′(已知)
BC= B′C′ (已知)
∴△ABC≌△A′B′C′( SAS )
复习:如上图: 在△ABC和△A′B′C′中:
AB= A′B′(已知)
AC= A′C′(已知)
BC= B′C′(已知)
∴△ABC≌△A′B′C′( SSS )
根据所学的知识判定两个三角形全等,已知条件还可以换吗 怎么换 要求学生灵活应用判定方法,加深概念的掌握。同时提出，在写两个三角形全等时，把对应顶点的字母写在对应的位置上。
三、应用新知，体验成功
1.例题讲解，P.23例3
分析: 在△AOB和△COD中:
已有哪些已知条件 OA=OC，OB=OD。根据三角形的判定方法，还需要什么条件？
∠AOB=∠COD或AB=DC，选哪一个好？∠AOB=∠COD。
而AB=DC，在两个三角形不全等的情况下，根据已有的条件，AB=DC吗？不可能。
教师板书解题过程，学生填写（ ）的理由。
2.做一做P.23
要求学生把实物图，抽象出几何图形。如下图。
3.讲解P.23例4
分析：首先理解题意中，点C是直线l上任意一点，点C在l上的特殊点是：点C与点O重合。由已知条件得CA=CB
其次，当点C与点O不重合时，直线l⊥线段AB于点O，可以知道什么？∠AOC=∠BOC=Rt∠,要使CA=CB，你思考什么？△AOC≌△BOC，根据哪一个判定方法？用“SAS”，即OA=OB，∠AOC=∠BOC，CO=CO
注：可根据学生的理解、掌握情况，适当提示，有的学生OC=OC公共边很难发现，教师可以通过实验，使学生理解。如下图。
4.讲解线段的中垂线线概念与线段的中垂线性质 P.24
如图，
∵OA=OB CO⊥AB （已知）
∴CO是线段AB的中垂线
∴CA=CB (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
四、梳理知识，归纳小结
通过本节课的学习，谈谈你的收获。
1.我们已学习了三角形全等的两个判定方法：SSS、SAS。
2.线段的中垂线概念及性质。
3.对所学的知识，重在于灵活运用。
五、应用新知，拓展提高
D，∠B和∠C是对应角，写出另外两组对应角和各组对应边。
解：对应角：∠DAC和∠EAB，∠ADC和∠AEB；
对应边：AB和AC，AE和AD，BE和CD。
2. 如图，已知：△ABC≌△BAD，DA和CB是对应边，∠DAB和∠CBA是对应角，写出另外两组对应角和对应边。
解：对应角：∠C和∠D，∠CAB和∠DBA；
对应边：AB和BA，AC和BD。
3. 课内练习 P.24 第1、2、题
4. 如图，在△ABC和△DEF中，已知：AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，问△ABC和△DEF一定全等吗？请说明理由。
六、布置作业，巩固应用
P.25 A组题全班做，
B组题选做。
1.5 三角形全等的条件（第三课时）
【教学目标】
1：探索并掌握两个三角形全等的条件：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。
2：会运用ASA判定两个三角形全等。
3：理解角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
【教学重点、难点】
1：本节教学的重点是两个三角形全等的条件：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。
2：例5涉及判定两个三角形全等和运用全等三角形的性质判定线段相等两个过程，是本节教学的难点。
【课前准备】
硬纸板、剪刀、量角器、尺等。
【教学过程】
1：复习引入 复习以上两节课已经学习了的三角形全等的条件，有SSS、SAS。
2：合作学习：（师生一起动手）
（1）动手 请每位同学用量角器和刻度尺在白纸上画△ABC，使BC＝3cm,∠B=400, ∠C=600
(2) 注意 相应的边、角的大小要符合要求，字母要一一对应。
（3）比较 相邻的几位同学互相比较所画的三角形的大小。
（4）结论 所画的三角形能够完全重合。
3：全等三角形的判定定理：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）
4：思考
如果是两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形会全等吗？为什么？
－―――――让学生来得到这个条件下的全等的结论。
如果表述为两个角和一边对应相等呢？
――――――提出反例来说明这句话是不正确的。
5：例5，如图，点P是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB，PC⊥AC。说明PB＝PC的理由。
讲解这个例题时要注意以下几点：
重视表述格式的规范。
重视尺规作图技能的培养。
强调培养让学生注明理由的习惯。
注意培养学生的推理思考能力。
引出角平分线的性质时，注意P点的位置也可以在顶点A上。
6：课外探究思考
三角形全等的条件已经有了SSS、SAS、ASA、AAS，这些全等的条件有什么相似的地方吗？
两边一角对应相等，角不是夹角行不行？
全等的条件还能少吗？
7：布置作业
课本作业题
举出在日常生活中需要用三角形全等的知识来解决问题的例子。
1.6 作三角形
【教学目标】
1.了解尺规作图的含义及其历史背景
2.掌握以下尺规作图并了解作法理由：
（1）作一个角等于已知角
（2）在给定边角条件下，求作三角形
（3）作已知线段的垂直平分线
【教学重点、难点】
1.重点：基本尺规作图
2.难点：作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的作法分析过程
【教学过程】
新课引入
我们曾常用刻度尺、量角器等工具画线段、角等几何图形，也已学过用没有刻度的直尺和圆规作线段、
线段和、差以及已知角的平分线，这种没有刻度的直尺和圆规作图，我们称之为尺规作图。
新课过程：
1.尺规作图的历史背景简介
2.利用直尺和圆规作角，使它等于已知角，了解尺规作图的步骤和要求
（1）分析引导用尺规作一个角等于已知角的思路
（2）按要求示范作图
（3）回顾作法，引导学生利用学过知识证明作图结果的正确性
（4）小结尺规作图的步骤、要求。
（5）已学基本作图总结（作一条线段等于已知线段，作已知角的平分线，作一个角等于已知角）
3.知识应用
（1）利用直尺和圆规作三角形
已知∠α、∠β和线段a，角直尺和圆规作ΔABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a
合作学习，边分析边逐次画图，找出其中包含的基本作图
教师规范书写作法，提醒学生应包含作图结果
（2）学生练习：P32 做一做
例题教学
利用尺规作已知线段的垂直平分线
例：已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分
1.分析：思路一，从线段的垂直平分线的定义出发，作线段AB的中垂线，让学生思考这一途径对
画图工具的要求。
思路二，由垂直平分线的性质及直线的基本性质，借助圆规找出两点，突出尺规作图的特点。
2.教师示范，书写作法。
练习：P33 1. 2.
小结（1）尺规作图的含义 （2）尺规作图的要求
（3）已学基本作图，特别是作一个角等于角的作法
（4）如何给定边角条件求作三角形
如何作已知线段的垂直平分线
六、作业布置
A
B
C
D
图1
A
B
C
D
图2
C
A
B
图3
A
D
E
F
C
A
B
图44.1二元一次方程
4.2二元一次方程组
4.3解二元一次方程组(第一课时)
4.3 解二元一次方程组（第二课时）
4.4二元一次方程组的应用(第一课时)
4.4 二元一次方程组的应用(第二课时)
4.1 二元一次方程
【教学目标】
知识目标： 1、通过观察，归纳二元一次方程的概念 ，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.
2、二元一次方程解的不定性和相关性，即二元一次方程的解有无数个，但又不是任意两个数是它的解。
过程与方法：通过与一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法。
情感态度与价值观：通过“合作学习”，使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点。
【教学重点、难点】
重点：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念。
难点：把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。
【教学过程】
复习引入：
方程的概念；一元一次方程的概念；什么是方程的解？一元一次方程的解如何表示？
合作学习：
①小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角。小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种面额的邮票？
这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？
如果设需要票额为6角的邮票x张，需要票额为8角的邮票y张，你能列出方程吗？
②在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米，如果设轿车的速度是a千米/小时，卡车的速度是b千米/小时，你能列出方程吗？
新课教学
这就是我们今天要学习的4、1二元一次方程（板书课题）
观察上述两个方程，归纳特点
讨论选择正确概念
含有两个未知数的方程叫二元一次方程。
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1次的方程叫二元一次方程。
做一做P86——1，2
例：已知方程3x+2y=10
用关于x的代数式表示y （分析：只要把方程3x+2y=10看作未知数是y的一元一次方程，解关于y的方程）
求当x=-2，0，3时，对应的y的值
（提问：把x=-2，y=8代入方程3x+2y=10，能否使其左右两边相等？
回忆方程解的概念，得出x=-2，y=8是二元一次方程3x+2y=10的一个解，记作。
同理试写出该方程的两个解（注意写法格式）
思考：方程3x+2y=10的解有多少个？
师归纳：二元一次方程解具不定性和相关性
练习：P88——课内练习1，2
补充练习：P89---作业题4（说明：方程的解须是正整数）
已知，是方程2x+3y=5的一个解，那么由此可知道些什么？
（说明：1．本例是根据教科书P89---B组第5题改编。原题要求a的值，但学
生常常有困难，因此这里把原题改为开放式命题，看起来似乎比原
题要求高了，其实有利于各类学生参与并寻求结论。
课堂小结：
二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念（注意书写格式）
二元一次方程解的不定性和相关性
会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式
作业 ：
课堂作业本
4.2 二元一次方程组
【教学目标】
1 了解二元一次方程组的概念。
2 理解二元一次方程组的解的概念。
3 会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解。
【教学重点 难点】
重点：归纳二元一次方程组及其解的概念。
难点：本节范例的问题情境比较复杂、并用列表的方法求出方程组的解。
【教学过程】
一 复习前课教学中的有关存在问题
二 引入课前预习：
1 在方程2x+3y=5中，如果x=y,则x=_____, y=_________.
2 如果x=2a,y=3a.则2x+3y=__________.
3 设第一个数是第二个数的2倍，第一个数与第二个数的2倍之和为20，求这个数？
（设第一个数为x，第二个数为y，则有，所以）
三 利用投影：一个苹果和一个梨的质量合计200克（如图4—1）这个苹果的质量加上一个10克砝码恰好与这个梨的质量相等（如图4－2）问苹果和梨的质量各为多少克？
教师评语：在这个问题中如果设苹果和梨的质量分别为x克和y克，同学们能列出几个方程，请同学们把它们写出来（x+y=200 y=x+10）
教师然后解释：方程x+y=200和方程y=x+10中，x ，y都分别表示同一个未知数，也就是说，X，y的值必须同时满足上述两个方程，因此可以把这两个方程合起来，写成
教师归纳：像这样由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫作二元一次方程组。
课堂练习P90练习1 （1）（2）（3）让学生填表格，然后教师将表中答案说明
2 分四个小组将①②③④个二元一次方程组的结果填入相应的位置
教师归纳：同时满足二元一次方程组中各个方程的解叫作二元一次方程组的解。
例如就是这个二元一次方程组的解。
例：小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片120张，商店里有两种型号的胶卷：A型每卷36张底片，B型每卷12张底片。小聪一共买了4卷胶卷，刚好有120张底片，如果两种胶卷分别买x卷和y卷，请根据问题中的条件列出关于x,y的方程组，并且列表尝试的方法求两种胶卷的数量。
分析：（1）审题，该问题情境涉及哪些量？哪些是已知的，哪些是未知的？
所求的是哪两个量？问题情境中两种胶卷及底片的总数有什么要求？
（2）分析数量关系，该问题情境主要数量关系有：
每卷胶卷底片的张数×胶卷数＝底片总张数：
A,B两种胶卷的总卷数＝4
A,B两种胶卷的底片总张数＝120
（3）建立数学模型，选择二元一次，则有
课堂练习P91 第1，第2题分组合作讨论完成。
探究活动 ：略
四 归纳小结，反思提高
1 通过本课的探讨学习，你获得了哪些新知识，你认为有哪些方面的进步。
（让学生进行总结，通过学生个人回顾、合作交流，总结本节课的所作所听所感，让知识系统化、合理化。）
2 进一步让学生理解二元一次方程组（解）的概念。
3 让学生体验对于含有两个未知数的实际问题可以用方程组来解。
4 让学生列表尝试方法解二元一次方程组，注意审题、分析数量关系，让学生选择数学模型。
五 布置作业
4.3 解二元一次方程组(第一课时)
【教学目标】
1.知识与能力：了解解方程组的概念，了解解方程组的基本思路是“消元”，会阐述用代入法解二元一次方程组的基本思路──通过“代入”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤。
2.过程与方法：通过浅显易懂并形象的“天平”实例，引入代入消元法，直观地揭示了代入消元的实质。通过例2的学习，让学生经历代入消元法解二元一次方程组的一般步骤，归纳出用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤。通过揭示解二元一次方程组本质思想——消元，让学生初步体验化“未知”为“已知”，化复杂问题为简单问题的化归思想，提高学生观察、归纳、猜想、验证的能力，不断增强解题能力。
3.情感态度与价值观：提供适当的情景，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作学习中，学会交流与合作。
【教学重点、难点】
重点：了解解方程组的基本思路是“消元”，了解代入消元法的思想和操作方法，掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤。
难点：例2要把其中一个方程变形后用含一个未知数的一次式来表示另一个未知数的形式时，方能代入。
【教学准备】电脑、投影
【教学过程】
(一)创设情景，提出问题
提问：1. 什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？
2. 下列哪些数对是方程组的解。
3. 引导性材料：我国古代数学名著《孙子算经》上有这一一题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头？如果设鸡有x头，兔有y头，所得的式子怎样？上节我们碰到过二元一次方程组，可知是方程组的解，但这是通过观察检验后得来的，那么，有没有一种一般解法？鸡兔同笼问题又如何解答？
(二)合作交流，探索新知
观察课本P93合作学习中图示，小组讨论下列问题：
1、观察图4－3,你得到什么启发？
2、如何解二元一次方程组，观察x+(x+10)=200与有没有内在联系？有什么内在联系？（通过较短时间的观察，学生通常都能说出上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系──把方程①中的“y”用“x+10”去替换就可得到一元一次方程。）
问题1 从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的研究中，我们可以得到什么启发？
把方程①中的“y用“x+10”去替换，就是把方程②代入方程①，于是我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化成熟悉的问题（解一元一次方程）。
解方程组
解：把②代人①，得x+（x+10）＝200，
x＝95
把x=95代入②，得y=105
∴方程组的解是
问题2 你认为解方程组的关键是什么？那么解方程组的关键是什么？求出这个方程组的解。
上面两个二元一次方程组求解的基本思路是：通过“代入”，达到消去一个未知数(即消元)的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫“代入消元法”，简称“代入法”。代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。
问题3 对于方程组能否象解上述两个二元一次方程组一样，把方程组中的一个方程直接代入另一个方程，从而消去一个未知数呢？应如何消元？
(说明：从学生熟悉的列一元一次方程求解两个未知数的问题入手来研究二元一次方程组的解法，有利于学生建立新旧知识的联系和培养良好的学习习惯，使学生逐步学会把一个还不会解决的问题转化为一个已经会解决的问题的思想方法，对后续的解三元一次方程组、一元二次方程、分式方程等，学生就有了求解的策略。)
(三)指导应用，深化理解
例1 解方程组：
按课本讲解、板书。（组织学生口头回答例题的解答，注意检验的方法）
探究以下三个问题：
问题1: 上述解题过程什么思想方法？用什么方法解二元一次方程组？
问题2：如何对方程组的解进行检验？
问题3：完成P94做一做(板演)。
补充练习：用代入法将下列解二元一次方程组转化为解一元一次方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
例2:解方程
教师引导学生讨论,完成解题过程．
探究活动1：解决这道题目的关键是什么？选择哪一个未知数表示另一个未知数？如何变形？方程组的解的表示要注意什么问题？
探究活动2:观察上例解题过程，小组讨论：解二元一次方程组的一般步骤怎样？
结论：用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：
(1)将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含另一个未知数的代数式表示；
(2)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
(3)把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；
(4)写出方程组的解。
课堂反馈练习：P95练习(板演)。
探究与提高(视课堂教学实际选择使用或留作课外思考题)：
1.解方程组
2.解方程组
3.已知是方程组的解，求(3a-6b)-(-13a-4b)的值。
4.已知x＝2t＋3，y＝3t－1，用含x的一次式表示y。
5.已知2x＋5y＋4z＝6，3x＋y－7z＝－4，求x＋y－z的值。
6.要使方程组有正整数解，那么自然数a的值等于多少？
(四)归纳小结，反思提高
问题：通过本课的探讨学习，你获得了哪些新的知识，你认为有哪些方面的进步。（让学生进行小结，经过学生个人回顾—同桌交流—给大家说说的过程，总结本节课的所做、所听、所感，让知识系统化、合理化。重视学生之间的相互补充，训练学生的归纳和表述能力，提高学生学习的积极性和主动性）
可以从以下三个方面归纳：
1.知识：解二元一次方程组的基本思想；代入消元法；解二元一次方程组的一般步骤。
2.方法：(1)用代入法解二元一次方程组的关键是“消元”，把新问题(解二元一次方程组)转化为用旧知识(解一元一次方程)来解决。
(2)用代入法解二元一次方程组，常常选用系数较简单的方程变形，这有利于正确、简捷的消元。
(3)用代入法解二元一次方程组，实质是数学中常用的重要的“换元”。
3.体验：感受生活中解二元一次方程组的存在与价值，数学来源于生活，通过探索与交流体验知识的形成过程。
(五)布置作业：P95课本4.3(1)节作业题的A组、B组、C组
4.3 解二元一次方程组（第二课时）
【教学目标】
1、学会用加减消元法解二元一次方程组。
2、使学生了解加减法是解方程组的一个基本方法
3、了解解二元一次方程组的消元思想，体会数学中“化未知为已知”的化归思想。
【教学重点、难点】
重点：用加减消元法解二元一次方程组。
难点：熟练掌握加减法的技巧。
【教学过程】
一、复习引入：
解二元一次方程组的基本思想是什么？
答：基本思想是“消元”；
2、用代入法解下列方程组：
二、新课学习：
【比一比】：
通过刚才的练习，我们发现用代入法来解某些二元一次方程组比较简便，如练习（1），但在解另外一些二元一次方程组时，却显得比较繁琐，如练习（2），因此我们就提出了问题：解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把较复杂的“二元”方程转化为简单的“一元”方程，代入法是其中的一种消元方法，但它在解如练习（2）的方程组时显得比较繁，那么还有没有其他的消元方法，也可以变“二元”方程为“一元”方程呢？
【看一看】：
现在请同学们观察练习（2）这个方程组，找出各个未知数系数的关系？
（x的两个系数正好相等，y的两个系数是一对相反数）。
【析一析】：
我们知道相反数的和是0而两个相同数的差也是0，从中你能否得到一些启发？
【想一想】：
为什么可以将方程组中的两个方程左边和左边相加、右边和右边相加，所得的仍旧是一个方程（等式），如何解释？
（根据等式性质1）
根据上述分析，如果对于y，我们只要把两个方程相加，即可将之消去，而得到一个关于x的一元一次方程，解出后，将其代入一个较简单的方程，即可求出y，具体解法如下：
(1)+(2)，得，6x＝18，
解得，x＝3
把x＝3代入(1)，得
9＋2y＝13
y＝2
现在请同学们，试着消去x，想想看，如何做？
像这种将方程组中的两个方程相加或相减，消去其中的一个未知数，转化为一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元方法，简称加减法。加减法也是解二元一次方程组常用的方法之一。
【做一做】：
解方程组
解：(1)－(2), 得 12y ＝－36
解得 y ＝－3
把y = －3代入(2), 得
解方程组 3x－2y＝11 （1）
2x＋3y＝16 （2）
分析：先通过方程的变形，使得某个未知数的系数的绝对值相同，就可以把两个方程的两边相加或相减来消元。
解：（1）×3，得9x－6y＝33 （3）
（2）×2，得4x＋6y＝32 （4）
（3）＋（4），得13x＝65
∴x＝5
把x＝5代入（1）中，得y＝2
∴ x＝5
y＝2
【试一试】：对于例1的方程组可以先消去x，来解方程组吗？
用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：
将其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）；
通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；
解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；
将求得的未知数的值代入原方程中的任一方程，求得另一个未知数的值；
写出方程组的解。
三、课内练习：
下列方程组中，消去哪个未知数比较合理？方程两边同乘以什么数？怎样消？
（1） 2x－3y＝8 （2）2x＝3－3y (3) 3x＋5y＝25
7x－5y＝－5 3x＝4－5y 4x＋3y＝15
2、用加减法解下列方程组：
2x＋y＝23 （2） 3x＋2y＝13
4x－y＝19 3x－2y＝5
（3） 3x－2y＝9 （4） 2x－3y＝1
x－y＝7 3x－2y＝2
四、课堂小结：
1、解二元一次方程组的基本思想是消元，代入法是一个基本方法，今天学习的加减法也是一个方法；
2、用加减法解二元一次方程组，如果有一个未知数的系数是相等的，则把这两个方程直接相减；若有一个未知数的系数是一结相反数，则把它们相加即可。
五、作业：
必做题：书本P99A组1、2、B组3、4；
选做题：书本P99C组5；
预习下一节新课；
4.4 二元一次方程组的应用（第一课时）
【教学目标】
1．掌握应用二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤．
2．会列二元一次方程组解应用题．
【教学重点、难点】
1．本节教学的重点是列二元一次方程组解应用题．
2．例l的问题情境比较复杂，不易列出方程，是本节教学的难点．
【教学过程】
一、创设情景，引入新课
从游泳池中的数学问题引入．
师：炎热的夏口，游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗
通过创设愉悦的问题情境，引起学生的学习兴趣，在轻松的气氛中探索问题．
师：你能用所学过的知识来解决这个问题吗
(学生通过四人小组活动，观察分析，仔细审题，纷纷讲述了自己的方法．)
教师可以启发学生思考下面的问题：
(1)这个实际问题中有哪些等量关系
(2)怎样设未知数 可以列出几个方程
通过师生共同归纳得出：
女孩人数二男孩人数－1，
男孩人数：2×(女孩人数－1)
教师引导学生用列一元一次方程和列二元一次方程组两种不同方法求解，并比较两种解
法的繁简，让学生体会学习二元一次方程组的必要性．
学生可得出下列方法：
(1)如果设男孩有，人，可根据每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，得方程
x＝2(x－1)—1，解得x＝4．
(2)如果设女孩有y人，可根据每位男孩看到蓝色的游泳帽与红色的游泳帽一样多，得
方程2(y－1)—1＝y，解得y=3．
(3)设男孩有x人，女孩有y人，由题意可列方程组 x－1＝y 解得 x＝4
x＝2（y－1）， y＝3
(4)列二元一次方程组求解，有什么优点
把学生逐步引入问题情境中，对学生的思考有一定的引导和启发作用，激励了学生探索
解决问题的欲望．
师生共同总结：当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容
易列出方程，要注意的是必须寻找两个等量关系，列出两个不同的方程，组成二元一次方程组(这里不同的方程的真实含义是不等价的方程，但对学生不讲述不等价的概念)．
如果当两个未知量之间的数量关系比较复杂隐蔽时，直接列一元—次方程就比较困难，这时列方程组解就显得优越．
二、典型例题分析
例1 用如课本图4-10中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如课本图4-11的竖
式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完
通过此例让学生感受到数学与数学应用的普遍性与科学性．
多媒体显示一个竖式纸盒，横式纸盒的平面展开图，学生小组讨论，并填写下表：
x只竖式纸盒 y只横式纸盒 合计
正方形纸板的张数
长方形纸板的张数
通过学生观察、思考、得到两个等量关系：
两种纸盒所用正方形纸板的张数的和＝1000(张)，
两种纸盒所用长方形纸板的张数的和＝2000(张)．
解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个．根据题意，得 x＋2 y ＝1000 解得 x＝200
4x＋3y＝2000， y＝400
经检验，这个解满足方程组，且符合题意．
答：做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好将库存的纸板用完．
引申：如果有正方形纸板500张，长方形纸板100l张，那么能否做成若干只两种纸盒后，恰好把库存的纸板用完 说明理由．
解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据题意，得
x＋2 y ＝500 解得 x＝
4x＋3y＝1001 y＝
可见x，y不是自然数，不符合题意．所以不能做成若干只纸盒，恰好把库存的纸板用完． 这里应该提醒学生注意：必须检验所求出的未知量的值是否符合实际意义．
上例属于配套问题，分析时应着重启发学生利用列表得到竖式、横式纸盒数与所需的正
方形与长方形纸板的张数之间的数量关系．
通过上面的例题，师生共同归纳应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：
(1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)．
这时要明确问题中的已知量是什么，未知量是什么．根据问题的不同，用“列表”“图示”“语言式子”揭示出问题中已知量和未知量之间的直接关系或间接的等量关系．
(2)制订计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)．
设未知数的方法有两种：一种是设直接未知数，就是把问题中要求的未知量用x，y等表示；一种是设间接未知数，就是把与问题中要求的未知量相关的另一些未知量用x，y的代数式表示．哪一种设法便于列出方程组就选用哪一种．
在列方程组时，根据所设的未知数、已知量和未知量之间的等量关系列出方程组．要注意的是：方程组中每个方程之间应不等价；方程的个数和未知数的个数相等；方程两边所表示的量相同．
(3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)．
解方程组时，应根据所列方程的特点选择最简便的方法求出方程组的解．
回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意)．
所设的未知数常常受到某些条件的限制，因此，要检验并判断方程的解是否符合题意，最后写出答案．
三、探究尝试
1．走路、骑车、乘车等是学生熟悉的事件，通过行程问题作为学生探究性学习的课题十分自然．
甲、乙两人从相距18km的两地同时出发，相向而行，经过兰时相遇．如果甲比乙先出发导时，那么在乙出发后经过÷时两人相遇，求甲、乙两人的速度．
学生面对新问题，非常好奇兴奋，并积极思考，教师要抓住时机，要求学生通过讨论，动手实验，积极探索解题方法．
教师针对学生的讨论，通过多媒体动态演示：
如：设甲的速度为每时行xkm，乙的速度为每时ykm，通过分析和探究得
x＋y ＝18
x＋（x＋y）＝18
要使学生懂得对不同问题要辅以不同的教学工具来解决，比如行程问题用图示法，配套
问题用列表法都十分适宜．
本题是行程问题，讲解时，应把问题分解成两个相遇问题，充分利用图示，引导学生找出两个等量关系．在讲解此例前，还应复习一下相遇问题的基本等量关系．
2．做课本课内练习第2题．
四、小结与作业
1．师：本节课有哪些收获与感受
(学生思考后用自己的语言回答本节课的所思所感．根据学生的回答，教师给以恰当的评价．)
2．课本作业题．
4.4二元一次方程组的应用（第二课时）
【教学目标】
1 会应用二元一次方程组解决简单的实际问题。
2 会综合运用二元一次方程以及统计等的相关知识解决实际问题。
【教学重点、难点】
重点：列二元一次方程组解应用题。
难点：例3的问题情境比较复杂，且涉及多方面的知识和技能，是本节教学的难点。
【教学过程】
一 复习回顾 温故知新
师：前面我们学习了应用二元一次方程组解决有关的实际问题，下面我们来回顾一下应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。
生：（1）理解问题 （审题，搞清已知和未知，分析数量关系）
（2）制定计划 （考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）
（3）执行计划 （列出方程组并求解，得到答案）
（4）回顾 （检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）
二 合作交流 探求新知
1 利用投影：例2 一根金属棒在0℃时的长度是qm，温度每升高1℃，它就伸长pm。当温度为t℃时，金属棒的长度L可用公式L＝pt+q计算，已测得当t=100℃时，L＝2.002m；当t=500℃时，L＝2.01m
求p,q的值；
若这根金属棒加热后长度伸长到2.016m，问这时金属棒的温度是多少？
师：问题中含有几个未知数？需列几个方程？要找出几个相等的关系？
生：问题中含有2个未知数？需列2个方程？要找出2个相等的关系？
师：从已知条件“当t=100℃时，L＝2.002m；当t=500℃时，L＝2.01m”你能得到怎样的相等关系？这两个相等关系从方程角度看是关于什么未知数的方程？
生：可得两个相等的关系式：100p+q=2.002；500p+q=2.01.
这两个相等的关系式从方程角度看是关于p,q两个未知数的方程。
（解题过程由四人小组合作完成，教师叫其中一组派代表到黑板上板演，然后请别组学生补充订正，充分体现新课程以学生为主体的思想）
变式拓展：教师改变已知条件中t,L的值，让学生求相应的p,q的值，以竞赛的形式比一比哪位学生的计算速度最快，从而从分调动学生学习的积极性，活跃课堂气氛。
归纳小结：回顾求解的全过程，使学生认识到二元一次方程组还可以用来求一个公式中的未知数，小结例2中的第一题解法的基本步骤，从而得出这种解法叫——待定系数法。
课堂练习：P107 3
2 利用投影：例3 通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：
快餐总质量为300克；
快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；
蛋白质和脂肪含量占50％；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85％。
根据上述数据回答下面的问题：
分别求出营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占的百分比；
根据计算结果制作扇形统计图表示营养快餐成分的信息。
例题分析：本题有多个未知量，因此如何设元是本题的关键，教师可作如下启发：
本题有哪些已知量？
本题有哪些未知量？要求什么？
蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质这四个未知量中，哪两个与已知量和其他未知量都有已知的数量关系？
（可以让学生充分尝试，设某两个未知量分别为x克，y克看能否把其他相关的未知量用代数式表示出来，能否使列出的方程最简单。根据已知条件的第③条，学生能够发现设蛋白质与脂肪的质量为未知量比较合适）
小组合作：因本题有四个未知量分别为：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质，任选2个未知量就有6种不同的设法，教师可安排四人小组合作交流用6种不同的设法列出方程组，然后叫学生把这6种不同的方程组到上面写出来，全体学生讨论找出认为最适合最简单的一种设法。
信息反馈：用刚才讨论得到的方法，让每一位学生把解答过程写在自己的练习本上，教师课堂检查，四人小组中的组长以最快的速度做好让老师批改，接着组员交给组长批改，然后四人小组在组长的帮助下完成订正，最后由组长反馈本组的练习情况。
3 课堂练习：学生完成书本P106 1 、2题
三、小结回顾 反思提高
1 小结用二元一次方程组解实际问题的基本步骤。
2 如何设元。
3 评出本节课最活跃的学生和最优秀的四人小组。第七章 分式
目录
TOC \o "1-3" \h \z 7.1 分式（1） 2
HYPERLINK \l "_Toc103559901" 7.1 分式（２） 3
7.2 分式的乘除 5
HYPERLINK \l "_Toc103559903" 7.3 分式的加减（1） 7
7.3 分式的加减(2) 8
HYPERLINK \l "_Toc103559905" 7.4 分式方程（1） 10
7.4 分式方程（2） 11
7.1 分式（1）
〖教学目标〗
◆1．了解分式的概念．
◆2．了解分式有意义的条件．
◆3．会用分式表示简单实际问题中的数量关系．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：本节教学的重点是分式的概念．
◆教学难点：例2的问题情境较为复杂，并涉及列分式、求分式的值等多方面的问题，是本节教学的难点．
〖教学过程〗
(一)发现新知
1．创设情境：
“代数式”庄园的果树上挂满了“整式”的果子：t，300，s，n，a－x，0，180(n－2)，请你任选其中的两个，运用整式的除法运算，合成一个代数式；并与同组的伙伴交流你的成果．
2．探索交流：
(1)议一议：你们所构造的这一些代数式：，，…它们有什么共同特征 它们与整式有什么不同 (得出分式的概念)
(2)类比分数，概括分式的概念及表达形式：
(3)练习：课本做一做第1题．
练习采用小组内互相提问、口答完成，通过列举具体例子，互说判别过程，鼓励学生积极参与活动．在活动的过程中强化分式概念，并及时纠正学生可能因分数负迁移所造成的认知障碍，注意辨析分式与整式的本质区别，强调分式的分母中必须含有字母．
(二)再探新知
1．提出问题(课本做一做第2题)：分式的分母中的字母能取任何实数吗 为什么 分 式中的字母x呢
2．自主概括：引导学生通过类比分数得出：当分母的值为零时，分式就没有意义．对一般表达式，分母B不能等于零．
3．例题与练习
例1 对于分式
(1)当x取什么数时，分式有意义
(2)当x取什么数时，分式的值是零
(3)当x＝1时，分式的值是多少
例1由学生在自主完成的基础上同桌交流，然后师生评述．其中第(1)题的讲解要突出从反面考虑问题以及排除法的思想方法，即先考虑问题的反面何时无意义，当3x－5=0，即x＝时，分母为零，分式无意义．排除x＝的情况，即x≠时，分式就有意义．强调分式有意义是求分式的值的大前提，也是今后进行分式其他运算的前提．并指出分式无意义与分式的值为零的区别，以防学生混淆．
练习：完成课本课内练习第1题．
练习采用组内合作、组间抢答的形式开展活动，激发兴趣，并加深学生对新知识的理解，强调分数线的括号作用及分式求值必须在有意义的前提下进行，强化分子、分母的整体意识．
(三)应用新知
例2 甲、乙两人从一条公路上某处出发，同向而行．已知甲每时行a千米，乙每时行b千米，a＞b．如果乙提前1时出发，那么甲追上乙需要多少时间 当a＝6，b=5时，求甲迫上乙所需的时间．并想一想：若取a＝5，b＝5，你所得到的分式有意义吗 它所表示的实际意义是什么
讲解例2时，可先复习同时出发追及问题的基本等量关系：
追上所需的时间＝追距÷甲、乙的速度差．
解释题意，指出关键是确定追距．然后由学生自主分步列出表示以下数量关系的代数式：追距、甲与乙的速度差、甲追上乙所需的时间．第2问由学生独立完成，第3问在小组内合作完成．
练习：课本课内练习第2题．
(四)小结巩固
1．小结
(1)请学生谈一谈：你这一节课有什么收获(知识、方法、情感)
(2)教师板书整理学生的回答．
2．布置作业
(1)课本作业题(分层布置)．
(2)请你联想：尽可能多地找出你学过的与分式有关的知识内容(例如，已知三角形的面积为s，底边长为a，那么底边上的高长为)，并将它写进你今天的数学小日记.
7.1 分式（２）
【教材内容分析】
本节的主要内容是：分式的基本性质。分式的基本性质是分式的约分、通分、运算等恒等变形的依据。课本通过具体的例子，用分数的基本性质引入分式的基本性质易于学生理解、接受。与传统教材不同的是课本中没有明确给出分式的符号法则，而是在想一想中渗透的，所以在教学中应注意让学生体会。
【教学目标】
1、通过类比分数的基本性质，说出分式的基本性质，并能用字母表示。
2、理解并掌握分式的基本性质和符号法则。
3、能运用分式的基本性质和符号法则对分式进行变性和约分。
【教学重点】分式的基本性制及利用基本性质进行约分
【教学难点】对符号法则的理解和应用及当分子、分母是多项式时的约分。
【教学过程】
一、类比引入，探求新知
问：下面这些式子成立吗？依据是什么？
＝＝ ＝＝
生：分子与分母都乘以或除以同一个数，分数的值不变。
问：这个是分数的基本性质，完整吗？
补充：不为0的数。
类似地，分式也有以下基本性质：
（板书）分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。（并举例对性质中的关键词：都、同一个、不等于0的整式加以理解）
强调关键词，可举例说明，如：≠，≠，≠
用式子表示为＝，＝（其中M是不等于零的整式）
设计说明：分式与分数有许多相似之处，通过类比几个浅显的例子，直观易懂，让学生经历分式的基本性质的得来过程；对几个关键词的理解，目的是让学生更好的掌握和应用性质。
二、应用新知，巩固新知
1、想一想：下列等式成立吗？为什么？
＝ ＝＝－
类比： = - ， = - ， = = - （有理数的乘法和除法法则）
注：这里较难解释＝－，教师可用类比、归纳的方法来帮助学生理解。
先让学生讨论，待学生回答后，教师引导学生得出结论：（板书）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变——符号法则。
2、练习： P170做一做。P172课内练习1、2
设计说明：目的是应用和巩固分式的基本性质及符号法则。
3、问：怎么化简？化简的实质是什么？（约分）
例3：化简下列各式：
（1） （2）
教学建议：教师可以先写出一个能约分的分数，让学生化简，并指出化简的实质：是约分（学生应该能讲出的）。对比分数的化简让学生试着完成例3。（教师巡视过程中应对基础弱的学生加以引导）
归纳：1、例题化简过程的依据是什么？（分式的基本性质）
2、具体是怎样操作的？（先找出分子和分母中的公因式，再分子分母同时除以公因式）
由此得出：
（板书）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
设计说明：因为前一章刚刚学过因式分解，学生对公因式应该比较熟悉，所以直接让学生完成，给学生探索和尝试的机会。
4、练习：P171课内练习3、用分式表示下列各式的商，并约分
（1）4a2b÷（6ab2） （2）-4m3n2÷2（m3n4）
（3）（3x2+x）÷（x2-x） （4）（x2-9）÷（-2x2+6x）
教学建议：板演或投影展示学生的解题过程，评价方式应以学生为主，尤其做错的，应该让学生知道错在哪里，及时改正。
三、小结
1、分式的基本性质
2、符号法则
3、约分
4、以上知识在应用时应注意什么？
四、作业：课后作业题
备选作业或练习：目标与评定中的 3、4、5、6题。
7.2 分式的乘除
〖教学目标〗
◆1、掌握分式的乘除法则。
◆2、会进行分式的乘除运算,并会用来解决简单的实际问题。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：本节教学的重点是分式的乘除法则。
◆教学难点：例1的第（3）题计算过程比较复杂，例2牵涉到较复杂的图形，有一定的难度，这些都是本节教学的难点。
〖教学过程〗
一、复习旧知
1化简下列各式：（1） （2）
二、引入新知
合作学习，探究新知。
1、根据分数的乘除法的法则计算
（1）（—）×； （2） ÷
类似的法则可以推广到分式的乘除运算中去吗？为什么？
2、请根据你的猜想填空
（1）×＝ （2）÷＝
3、通过上面的讨论与猜想，与分数的乘除法则类似，你能总结出分式的乘除法则吗？
答1(1) ()×＝－＝ (2)÷＝＝
能，因为从本质上看分式和分数具有很大的共性。
2．（1）＝ （2）＝＝
3．分式的乘除法则是：
分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即＝ ； ＝＝
应用法则，解决问题。
例1计算
（1）× （2）÷（）
（3）÷ （4）÷（）
讲解例1要注意以下几点：
（1）第（1）、（2）两题的解法都是将分子与分子，分母与分母分别相乘，然后再约分，以体现法则的运用。实际运算中两个分式相乘时，可以直接进行约分，然后再分子与分子，分母与分母分别相乘，得出最简的结果。如果两个分式相除，可以利用法则，先把除法转化为乘法。
（2）例1第（3），（4）两题反映了当分式中含有多项式时的乘除运算。基本步骤是先将多项式分解因式，然后进行约分得出最简结果；
（3）如果是分式与整式的乘除，只要把整式的分母看做1，就可以运用分式的乘除法则来运算。
例2书本
讲解例２时可按以下步骤进行分析：
理解问题。
明确以下已知条件：
长方体纸盒的长、宽、高为，，；圆柱形易拉罐的高为；易拉罐只放了一层就装满纸盒。这些条件是分析数量关系所必需的；
制定计划（分析解题途径）。
从所求出发考虑问题，只要分别求出纸箱的容积和易拉罐的总体积。纸箱的容积很容易求，这样问题的关键就归结为如何求出易拉罐的总体积，也就要求出单个易拉罐的体积和易拉罐的个数。如果设易拉罐的底面半径为，根据易拉罐的排列方式，每行易拉罐的个数为，每列易拉罐的个数为，这样就可以求出易拉罐的总数；
执行计划。让学生自己尝试求出结果；
（４）回顾。本题解法中所设的易拉罐的半径为，它不是已知数据，在最后结果中也不出现，但是它在表示各数量关系方面都起了很重要的作用。这种设参数的方法是一项值得总结的经验和一种重要的方法。
三、分层训练，能力升级。
课内练习
四、归纳小结：
让学生谈谈通过这节课的学习，有哪些收获或困惑？教师及时总结内容并解疑答惑。
五、布置作业，巩固应用。
分层次布置作业：：１，２，３，４，５必做；６，７选做
7.3 分式的加减（1）
〖教学目标〗
◆1、掌握同分母的分式加减法法则。
◆2、能运用法则进行同分母分式的加减运算。
◆3、能将分母绝对值相等的分式转化为同分母分式，并进行运算。
◆4、培养学生的观察能力，运算能力，理解能力。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：同分母分式加减运算。
◆教学难点：例2涉及两个分式的分母要作适当转化后，才能运用同分母分式的加减法则，过程较为复杂。
〖教学过程〗
创设情景，引入新课
(口答) 下列分数中，哪几个分数是同分母分数？
， ，-1 ，-3，，
（2）（口答）计算下列各式，并说出所根据的法则：
+ ， –1， 3 +
这一法则能否推广到分式运算中呢？
（3）（试一试）计算：① + ② –
并分别取a=3,x=4检验你的计算方法是否正确？
板书课题 分式的加减（1）
新课教学
1.同分母分式加减法则：
+ = – =
（小黑板）下面进行基础题组练习：计算
① + – ② + –
③ – ④ –
2.例1 计算：
⑴ + ⑵ –
对题组及例题的训练，指出注意问题：（1）用法则时找“同分母”，如有绝对值相等的分母如何化为同分母？x–y与 y–x一样吗？那（x–y）2与(y–x)2一样吗？（2）“分式相加减”是指分子的“整体”相加减，分子是多项式时，要充分发挥分数线的括号功能，尤其对减式的分子要加上括号再去括号计算，（3）计算的结果必须化简。
巩固练习课本P177 作业题A组 1 2 3
3．例2 先化简，再求值: + ,其中x=3.
问题：
①先观察算式，判断两个分式是否同分母？
②怎样将它们化成同分母呢？
③回顾前面学过的分式的符号法则。
④最后分子、分母含有公因式应该予以约简。
学生口述，教师强调书写格式。
巩固练习：P177课内练习2、作业题4
小结：
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；当分母是互为相反数时，通过变号转化；
当分式的分子为多项式时，减式的分子可先加括号再化简；
分式加减的结果应化为最简分式或整式。
布置作业
⑴见作业本（1）
⑵（探究活动）台风中心距A市S千米，正以b千米/小时的速度向A市移动，救援车队从B市出发，以4倍于台风中心移动的速度向A市前进，已知A，B两地的路程为3S千米，问救援车队能否在台风中心到来前赶到A城？
7.3 分式的加减(2)
〖教学目标〗
◆知识目标
1．了解并掌握异分母分式加减法法则。
2．会利用异分母分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法运算。
◆能力目标
会利用通分将异分母分式加减法转化为同分母分式的加减法进行计算。
〖教学重点与难点、关键〗
◆教学重点：了解并掌握异分母分式加减法法则。
◆教学难点：确定最简公分母。
◆关键：通分
〖教学方法〗类比猜想，讲练结合
〖辅助手段〗幻灯投影
〖教学过程〗
复习
1.什么叫通分（分数）？通分的关键是什么？
2.什么叫最小公倍数？如何确定最小公倍数？
3.通分：（1） （2）
4.为什么要学通分，通分有什么作用？
5．计算：
6．异分母分数加减法法则是什么？
（异分母的分数相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
新课讲解
1．异分母分式加减法法则（与异分母分数加减法法则进行类比）引出最简公分母概念。
2．例题分析
例3． 计算 (1) (2) ─
分析 先确定最简公分母，再通分，最后计算。
解：(1)原式==
分析 先确定最简公分母(x-3)(x-2)，再通分，最后计算。
(2) 原式=-==
=
例4．计算 并求当m=-2时原式的值
解：原式=)
=
=
=
=
=
=当m=-2时原式=-2
例5 计算
分析：把a+2看成分母是1的分式。
解：原式=
注意：若把a+2看成也可以，但运算复杂。
3．练习 P179 T1、T2、T3（板演、讨论）
小结
1．学习了异分母分式加减法法则，关键是确定最简公分母后通分。
2．多项式分母要因式分解。
3．整式看成分母是1的分式。
4．一些较复杂的题目可以采用逐步通分法。
作业
P180 A组
五、板书设计（略）
六、教学后记
7.4 分式方程（1）
〖教学目标〗
◆1、理解分式方程的概念．
◆2、掌握分式方程的一般解法．
◆3、理解分式方程增根产生的原因及检验方法．
◆4、理解分式方程与整式方程之间的联系与区别，进一步体验“转化”的教学思想。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：分式方程的概念及解法是本节的重点．
◆教学难点：理解分式方程的增根产生的理由是本节难点
〖教学过程〗
（一）合作学习：
1：列出相应的方程：
某数与它的倒数之和为，设某数为x，则方程为：
某地电话公司调低了长途电话的话费标准，每分费用降低了25%，因此按原标准6元话费的通话时间，在新收费标准下，可多通话5分钟，问前后两种收费标准各是多少？
若设原来的收费标准为X元/分，则方程为
2：分式方程的概念：
上述两个方程的特点为：只含分式或分式和整式，并且字母里含有未知数，像这样的方程称为分式方程。
然后让学生回答做一做中的问题。
（二）解简单的分式方程
例1：解分式方程
分析：怎样把分式方程转化为整式方程，请学生思考并回答
注意：可把分母中的（2x-4）和4去掉，即方程两边同乘以4（2x-4）,就把方程转化为一元一次方程（解略）
而且分式方程要进行检验，看其分母是否为零。
例2：解方程
这个方程的解法与上题无异，但出现了增根的概念，让学生明白增根产生的原因。本来是无意义的，但去掉分母后变为X=5就有意义，所以由去掉分母后的整式方程的解出来的根并不一定符合分式方程，因为根可能会使方程的分母为零，这样的根就是增根，所以分式方程必须检验，如果遇到增根必须舍去。（解略）
三：当堂训练：见书本课内练习1、3两题
四：作业：见书本作业题，可筛选一部分进行解题。
7.4 分式方程（2）
〖教学目标〗
◆1、掌握用分式方程解应用题的一般方法和步骤．
◆2、理解公式变形的实质就是简单的字母分式方程，其在变形过程中的方法和分式方程的解法一致，但应注意谁是常量，谁是变量．
◆3、掌握简单的公式变形方法，在实际应用中能基本变形．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：利用分式方程解应用题和公式变形是本节重点．
◆教学难点：公式变形中用到字母分式方程的知识，学生较难理解，是本节难点．
〖教学过程〗
（一）：1：复习用一元一次方程解应用题的一般步骤
理解问题，搞清未知和已知，分析数量关系
制订计划，考虑如何根据等量关系设元，列出方程
执行计划，列出方程并求解
回顾，检验答案的正确性及是否符合题意
2：用分式方程解应用题的一般步骤和一元一次方程类似。
例1：工厂生产一种电子配件，每只成本为2元，毛利率为25%，后来该工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，问这种配件每只的成本降低了多少元？（精确到0.01元）
分析：这道题主要弄清楚一个分式，毛利率=
解：设这种电子配件每只的成本降低了X元，改进工艺前，每只售价为元，由题意得
解这个方程约x=（元）
经检验：是方程的根，且符合题意
答：每只成本降低了0.21元。
（二）：分式变形：公式变形其实就是解字母方程，注意把要表示的字母当成未知数，其余的当成已知数。
例2：把公式 变为已知f、v，求u的公式
②当堂训练：已知商品的买入价为a，售出价为b，毛利率（b>a）把这个分式变形成已知p、b，求a的分式
解：pa=b-a
pa+a=b
(p+1)a=b
(三)：课内练习：见书本习题
（四）：作业：见作业题3.1认识事件的可能性
3.2可能性的大小
3.3可能性和概率
3.1 认识事件的可能性（教参）
【教材分析】
(一)教学内容分析：本节课内容属于概率范畴，意在帮助学生分清不确定的现象和确 定的现象，使学生能定性地认识事件“可能、不可能、必然”发生的含义．让学生学会怎样用观 察的方法去认识身边的不确定现象的数学规律．
(二)学情分析：学生在日常生活中接触过一些不确定的现象，但他们对这些不确定现
象的观察往往是零星的，短暂的．同时，学生对未知的事物又充满好奇且敢于质疑，很愿意投 人到合作探究的实践活动中去．在学生小学阶段已学的有关事件可能性的认识的基础上，进 一步使学生通过实例体会到可以用列举法来获得各种可能的结果数，从而使学生的认识达到升华．
【教学目标】
1．通过实例进一步体验事件发生的可能性的意义．
2．了解必然事件、不确定事件、不可能事件的概念．
3．会根据经验判断一个事件是属于必然事件、不可能事件，还是不确定事件．
4．会用列举法(枚举、列表、画树状图)统计简单事件发生的各种可能的结果数．
【教学重点、难点】
1．事件发生的可能性的意义，包括按事件发生的可能性对事件分类．
2．用列举法(列表、画树状图)统计简单事件发生的各种可能的结果数，需要较强的分析能力，是本节教学的难点．
(基于对教材、教学大纲和学生学情的分析，制订相应的教学目标．同时，在新课程理念的指导下，注重对学生的动手能力、合作交流能力和对学生探究问题的习惯和意识的培养．这里没有用“使学生掌握…”，“使学生学会…”等字眼，保障了学生的主体地位，反映了教法与学法的结合，体现了新教材，新理念．)
【教学过程】
一、激趣、设疑、引题
同学们做过抛掷硬币的游戏吗 请你试一试抛一枚硬币10次，把结果记录下来，看看有几次正面朝上，有几次反面朝上
做完游戏后，提出问题：
(1)抛掷硬币10次，每次都正面朝上或反面朝上，可能吗 可能性大吗
(2)在刚才的游戏中，可能正反面同时朝上吗
(3)在刚才的游戏中，还有哪些事件一定会发生 你能得到哪些结论
事实上在我们的周围有很多事件一定不会发生，有些事件可能会发生，也可能不会发生，有些事件必然会发生．
引出课题：认识事件的可能性．
(利用学生都感兴趣的小游戏引入，可以激发学生的学习欲望，让他们迅速投入到数学知识的学习中，同时加强了人文数学的教育)
二、观察、思考、巩固
(一)观察和思考：你能举出几个生活中必然发生，不可能发生，
可能发生的例子吗 (请大家发言)
不仅在现实生活中有很多例子，而且在我们所学的各学
科中也有很多例子．(利用多媒体展示“铁杵磨成针”“守株待兔”
“愚公移山”这三个成语故事和天气预报的动画)
同时给出必然事件、不可能事件和不确定事件的概念：
在数学中，我们把在一定条件下必然会发生的事件叫做必然事件(certainevent)；
在一定条件下必然不会发生的事件叫做不可能事件(impossibleevent)；
在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件(uncertainevent)或随机事件．
(这里用贴近学生生活的事例和动感十足的多媒体展示，不但能激起学生的学习兴趣和热情，而且能让学生感受到数学与现实生活以及其他学科之间的联系，增强学生应用数学的意识．)
(二)巩固、检测、反馈(利用题组区分概念)：
在课件巾设置能力区分度不同的三组题，以利于同学们正确理解概念．
1．头脑运动会(设置一组容易题，以快速抢答的方式请同学在规定的时间内给出正确答案，对于没有把握的问题也可以向其他人求助．)
问题：下面哪些事件是必然事件 哪些事件是不可能事件 哪些事件是不确定事件
(1)打开电视机，它正在播广告；
(2)抛掷10次硬币，结果有3次正面朝上，8次反面朝上；
(3)将一粒种子埋进土里，给它阳光和水分，它会长出小苗；
(4)黑暗中我从我的一大串钥匙中随便选中一把，用它打开了门；
(5)抛掷一枚均匀的骰子．掷得的数不是奇数就是偶数；
(6)从一副洗好的只有数字1到l0的40张卡片中任意抽出一张，卡片上的数比6小；
(7)一个普通的玻璃杯从10层楼落下，落到水泥地上会摔破．
2．头脑风暴．
例 在一个箱子里放有1个白球和1个红球，它们除颜色外都相同。
(1)从箱子里摸出一个球，是黑球．这属于那一类事件 摸出一个球，是白球或者是红 球．这属于哪一类事件
(2)从箱子里摸出一个球，有几种可能 它们属于哪一类事件
(3)从箱子里摸出一个球，放回，摇均匀后再摸出一个球，这样先后摸得的两球有几种不同的可能
(列表或画树状图是人们用来列出事件发生的所有不同可能结果的常用方法，它可以帮助我们分析问题，而且可以避免重复和遗漏，即直观又条理分明．)
不可能事件 可能事件 必然事件
｜a｜的值
a的倒数
若a＋b＝0（a，b的之间关系）
3．个性空间(设置一组稍难题，对所学知识进一步巩固)．
问题1：列表造句：
问题2：(1)有2种不同款式的衬衣和2种不同款式的裙子，各取一件衬衣和一条裙子搭配，问有多少种搭配的可能
(2)笼子里关着一只小松鼠(如图)，笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子的门都打开．松鼠要先经过第一道门(A，B或c)，再经过第二道门(D，或E)才能出去．问松鼠走出笼子的路线(经过的两道门)有多少种不同的可能
(在完成了两组区分度不同的练习之后，对于培养学生合作学习，激发学习兴趣都有帮助，至此本节课的教学目标已达成)
(三)完成课本课内练习．
三、概括、梳理、升华
1．采用谈话式小结．教师提问：
(1)你在这节课的学习中，最大收获是什么
(2)你对哪一点最感兴趣
(3)你受到哪些启迪
(4)你还有什么新的发现
(这种小结方式很容易沟通师生之间的感情，学生容易投入和参与，让学生自由说出自己的想法，把总结评价的主动权充分地交给学生，同时给学生一个开放的思维空间，培养学生的知识整理与语言表达能力，情绪会被再度调动起来，从而起到认知升华的作用)
2．判断一个事件是属于必然事件，不可能事件，还是不确定事件．用列举法统计简单事件发生的各种可能的结果数．
四、布置作业
1、课本作业题
2、1999年，全国少工委与中国青少年研究中心调查显示，46.9%的中小学生没有达到8时的睡眠时间标准，请你在班级里也做一次调查，你的结论是什么？
3．2节 可能性的大小
【教学目标】
1．通过让学生经历实际问题的情景，认识事件发生可能性大小的意义。
2．了解事件发生的可能性大小是由发生事件的条件来决定的。
3．会在简单情景下比较事件发生的可能性大小。
4．通过创设游戏情境，让学生感受到生活中处处有数学。主动参与，做“数学实验”，激发学生学习的热情和兴趣，激活学生思维。
【教学重点、难点】
教学重点：认识事件发生可能性大小的意义。
教学难点：在问题情景比较复杂的情况下，比较事件发生的可能性大小
【教学过程】
一、 创设情境 引入新知
提出问题：在一个盒子里放有4个红棋，1个蓝棋，摸出一个棋子，可能是什么颜色？摸出红棋的可能性大还是摸出蓝棋的可能性大？
为了解决这个问题，可先让学生分小组进行摸球游戏：
1、每位同学轮流从盒子中摸球，记录所摸得棋子的颜色，并将球放回盒中。
2、做20次这样的活动，将最终结果填在表中。
3、全班将各小组活动进行汇总，摸到红棋的次数是多少？摸到蓝棋的次数是多少？
4、如果从盒中任意摸出一球，你认为摸到哪种颜色的棋子可能性大？
游戏的结论：
在上面的摸球活动中，每次摸到的球的颜色是不确定的。摸出红棋的可能性比摸出蓝棋的可能性大，原因是红棋的数量比蓝棋多。
一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的。
说明：摸棋游戏教师首先要使学生明确试验的过程，“摸出一个棋子，记录下它的颜色，再放回去，重复20次”。然后还要使学生明确组内成员的分工，应有人负责摸出棋子，有人负责记录下它的颜色，并应提醒学生在试验前要选择好统计试验数据的方法(可以用画“正”字的方法)。而且还要向学生说明在试验的过程中，应注意保证试验的随机性，如：每次摸棋子前应将盒中的棋子摇匀；摸棋子时不要偷看等。在各小组进行试验的过程中，教师应关注每一个小组，及时给予指导，保证试验的随机性。
二、观察思考 理解新知
请考虑下面问题：
（1）如果你和象棋职业棋手下一盘象棋，谁赢利的可能性大？
分析：根据本人的实际棋艺水平来确定，答案不唯一。
（2）有一批成品西装，经质量检验，正品率达到98%。从这批西装中任意抽出1件，是正品的可能性大，还是次品的可能性大？
分析：要比较“任意抽出1件是正品”与“任意抽出1件是次品”两个事件发生的可能性大小，只要比较两个事件发生的条件：“正品率达到98%”与“次品率达到2%”，显然抽到正品的可能性大。
（3）任意抛一枚均匀的硬币，出现正面朝上、反面朝上的可能性相等吗？
分析：任意抛一枚均匀的硬币，有两种可能①正面朝上②反面朝上，因为它们出现的机会均等，所以出现正面朝上、反面朝上的可能性相等。
（4）一个游戏转盘如图，红、黄、蓝、绿四个扇形的圆心角度数分别是90°，60°，90°，120°。让转盘自由转动，当转盘停止后，指针落在哪个区域的可能性最大？在哪个区域的可能性最小？有可能性相等的情况吗？为什么？
分析：因为绿色扇形区域面积最大，黄色扇形区域面积最小，红、蓝色扇形区域面积相等，所以指针落在绿色区域的可能性最大，黄色区域的可能性最小，红、蓝色区域的可能性相等。
从上可得出以下结论：
①事件发生的可能性大小是由发生事件的条件来决定的。
②可能性的大小与数量的多少有关。
数量多（所占的区域面积大） 可能性大
数量少（所占的区域面积小） 可能性小
三、师生互动 运用新知
例1 某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒．当人或车随意经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大 遇到哪一种灯的可能性最小 根据什么
分析：在教学中要求学生先分清事件发生的条件分别是什么？事件“遇到红灯”发生的条件是“红灯时间设置40秒”，事件“遇到绿灯”发生的条件是“绿灯时间设置60秒”，所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，遇到红灯的可能性最小。本例相对容易，可让学生通过交流自己完成。
完成P76 1，2的做一做
例2 某旅游区的游览路线图如图3—4所示．小明通过入口后，每逢路口都任选一条道．问他进人A景区或B景区的可能性哪个较大 请说明理由．
分析：本题有一定难度，教学时要抓住这两个事件发生的条件，可分以下几个步骤：
（1）小明进入旅游区后一共有多少种可能的路线？可以把小明进入旅游区的A景点或进入旅游区B景点的过程分解为两个步骤：第一步进入左、中、右主干线，有3种可能，第2步进入每条主干线的两条支线，各有2种可能；
（2）将上述结果列表或画树状图；
（3）确认各种可能性是否相等，确认“进入A景点” “进入B景区”分别占了多少种，也就是确定两个事件发生的条件；
（4）比较两个事件发生的条件，判定哪个事件发生的可能性大。
完成课内练习1，2
四、梳理知识 形成结构
通过本节课的学习，谈谈你的收获？
在交流中，师生可共同梳理知识点：
（1）事件发生的可能性大小是由发生事件的条件来决定的。
（2）可能性的大小与数量的多少有关。
数量多（所占的区域面积大） 可能性大
数量少（所占的区域面积小） 可能性小
五、应用新知 体验成功
1、小明任意买一张电影票（每排有40个座位），座位号是2的倍数与座位号是5的倍数的可能性哪个大？
答案： 2的倍数可能性哪个大。
2、请你在班上任意找一名同学，找到男同学与找到女同学的可能性哪个大？为什么？
答案：要根据该班的男、女实际人数来确定．如该班男同学22名，女同学24人，则任意找一名同学，找到女同学与的可能性比找到男同学的可能性大。
3、某公交车站共有1路、12路、31路三路车停靠，已知1路车8分钟一辆；12路车5分钟一辆、31路车10分钟一辆，则在某一时刻，小明去公交车站最先等到几路车的可能性最大。
答案：间隔时间最短，31路车间隔时间最长，所以小明去公交车站最先等到12路车的可能性最大。
4、盒子中有8个白球、4个黄球和2个红球，除颜色外其他相同。任意摸出一个球，可能出现哪些结果？哪一种可能性最大？哪一种可能性最小？
答案：任意摸出一个球，可能摸出白球、黄球或红球。任意摸出一个球，摸出白球可能性最大，摸出红球可能性小。
5、如图是小明家地板的部分示意图，它由大小相同的黑白两色正方形拼接而成，家中的小猫在地板上行走，请问：小猫踩在哪种颜色的正方形地板上可能性较大？
讲故事 5 张
唱 歌 3 张
跳 舞 1 张
答案：由于黑色正方形比白色正方形块数多，所以小猫在地板上行走，踩在黑色的正方形地板上可能性较大。
6、联欢会上小红可能抽到什么节目？
抽到什么节目的可能性最大？抽到什么节目的 可能性最小？
答案：联欢会上小红可能抽到的节目是讲故事、唱歌或跳舞。抽到讲故事节目的可能性最大。
7、连续两次抛掷一枚均匀的硬币，朝上一面有几种可能？你认为两次正面朝上与一次正面朝上、一次正面朝下发生的可能性哪个大？
答案：
朝上一面有4种可能：①正、正 ②正、反③反、正 ④反、反。
一次正面朝上，另一次正朝面下发生的可能性大。
六、布置作业 巩固新知
作业题：1 — 4必做5、6选做。
3．3 可能性和概率
【教材分析】
（一）教学内容分析：
可能性和概率是七年级下册第三章《事件的可能性》的第3节内容。这是在学生通过具体情境了解了必然事件、不确定事件、不可能事件等概念，并在具体情境中了解事件发生的可能性的意义，会用列举法（包括列表、画树状图）统计在简单问题情境中可能发生的事件的种数的基础上，对其中的可能性事件的进一步学习和提升。通过一些简单的事例，初步认识概率的意义，导出等可能性事件的概率公式，知道不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，不确定事件的概率大于0且小于1。这样的安排完全是按照《新课程标准》的分步到位，螺旋式上升的整体设计。
教材中通过以下步骤建立概率的意义：通过实例认识事件发生的可能性及其大小——用事件发生的可能性的大小定义概率——在等可能性的前提下用比的形式来表示概率。其中第3个步骤“等可能性”这个前提十分重要。课本通过说理的方法来让学生认识等可能性。有关概率的概念，本教科书将在八年级下册学习频数和频率的基础上，主要安排在九年级上册学习。因此在本章教学中尽量不随意提高要求，主要是为以后的进一步学习打下扎实的基础。同时也进一步使学生了解概率的产生与发展是与生产、生活紧密联系的。
（二）学情分析
考虑到七年级学生的认知水平和知识结构，遵循启发式原则，在新课标的指导下，本节课采取发现与探究结合的教学方法。充分体现教师组织、引导、合作的作用，凸现学生的主体作用，让学生充分经历实际问题的情景，这是认识事件发生的可能性及其大小的唯一途径。教学中应通过大量的实际例子，让学生知道什么是等可能性？怎样认识两个事件发生的可能性是否相等？计算等可能事件发生的概率对学生来说不太容易。 涉及一些简单事件的概率计算，主要目的是让学生初步认识概率的意义，以及在等可能性的条件下概率的一种直观表现形式。这是学生学习了事件的可能性后的一个自然延伸。在教学中，应注意所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系。让学生感受到学习等可能性事件的概率的重要性和必要性。还应注意使学生在具体情境中体会事件的可能性与概率的意义。这些不仅是学习本节的关键，对于学好本章及至以后各章也是很重要的。
【教学目标】
了解概率的意义
了解等可能性事件的概率公式
会用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率
进一步认识游戏规则的公平性
【教学重点、难点】
重点：概率的意义及其表示
难点：例2涉及转盘自由转动2次，事件发生的条件构成比较复杂，是本节教学的难点。
【教学过程】
创设情境，引入新知：
引例：小红与小李被同学们推选为班长，获票数相等，谁担任正班长哪？老师决定用抽签的办法来决定：做4个纸团，其中只有1个纸团里写有“正”字。由小红从中任取1个纸团。抽出有“正”字的纸团，就决定由小红担任正班长。这个办法公平吗？如果不公平，怎样改正才会使之公平？
分析：小红从4个纸团中抽出写有“正”字的纸团的可能性是，即小红担任正班长的可能性是。如果小红抽到写有“正”字的纸团，就决定由小红担任正班长，这个办法不公平。然后由学生共同合作讨论，得到改正的方法。而且，这改正的方法不止一种。要充分发挥学生的主观能动性和合作精神，让学生积极参与。
解答：这种抽签决定正班长的办法是不公平的，如果仅对小红而言是不公平的。如果小李也按这个办法实行，小李担任正班长的可能性也是，也就是说，双方获胜的可能性相同。这个办法才是公平的。（改正的方案不唯一）
（这样的引入，体现数学来源于生活，素材与学生现实紧密结合，从解决实际问题的欲望而促进对数学学习的兴趣，鼓励合作学习。从多角度思考，采用多种解决问题的办法，创造积极合作、讨论的氛围。）
师生互动，探索新知：
从此题解答中可以得到，在客观条件下使小红与小李抽签胜出的可能性大小相等（也称机会均等）那么才是公平的。而事实上，我们在日常生活中，常常会遇到指明可能性大小的情况：教师可举一些描述实际生活中有关可能性大小的几个例子：
①小明百分之百可以在一分钟内打字50个以上，即小明在一分钟内打字50个以上的可能性是100%。
②小华不可能在7秒内跑完100米，即小华在秒内跑完100米的可能性是0。
③通过摇奖，要把一份奖品奖给10个人中的一个。每人得奖的可能性是。
接着类似的可以让学生自己结合生活经验独立举一些例子。
（这样的安排是使学生有独立思考的空间并让学生充分发表自己的意见。只要合理、正确都予以高度肯定，激发学生的兴趣。但学生难免犯错，但相信同学之间也能纠错。教师放手让学生在互相讨论和互相评价中得以提高和加深对知识的理解。在学生评价中，集思广益，能体会到如何更完善和辨证地分析问题。）
然后教师归纳，在教学中我们把事件发生的可能性的大小也称为事件发生的概率，一般用表示。事件发生的概率也记为，事件发生的概率记为，依此类推。
如果我们知道事件发生的可能性相同的各种结果的总数，并且知道其中事件发生的可能的结果总数，那么就可用以下式子表示事件发生的概率：
强调：概率的数学意义是一种比率，这个概率公式适用的条件——事件发生的各种可能结果的可能性都相等。这一点学生容易疏忽。可根据学生具体情况确定是否再举一些实例加以辨别各种可能结果的可能性是否都相等。
例如：任意抛掷一枚硬币，有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果。由于硬币质地均匀，抛掷时具有任意性，所以出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性认为是相等的。适用等可能性事件的概率公式。而对于“投篮”，虽然也只有两种可能结果：“命中”与“没命中”，但由于投篮的命中率与投篮者的技术水平相关，“命中”与“没命中”的可能性通常是不相等的。
讲解例题，综合运用：
在弄清等可能性的含义后，就可以应用本节课的概率公式解决实际问题。
例1：任意抛掷一枚均匀的骰子，当骰子停止运动后，朝上一面的数是1的概率是多少？是偶数的概率是多少？是正数的概率是多少？是负数的概率是多少？
分析：由于一枚骰子有六个面。当骰子停止运动后，每一个面朝上的可能性都为。即为等可能性事件。因此可用概率的公式计算。
解：任意抛掷一枚均匀的骰子，当骰子停止运动后，朝上一面的数有可能性相同的种可能，即1、2、3、4、5、6。所以朝上一面的数是只有种可能，即朝上一面的数是的概率；是偶数的有种可能，即2、4、6。所以朝上一面的数是偶数的概率；是正数的有种可能，即1、2、3、4、5、6。所以朝上一面的数是正数的概率；是负数的可能结果有种，即所有可能的结果都不是负数，所以朝上一面的数是负数的概率。
一般地，必然事件发生的概率为100%，即。不可能事件发生的概率为0，即。而不确定事件发生的概率介于0与1之间，即。
（例1的目的主要巩固等可能性事件的概率公式，教师着重讲清解法的思路和方法步骤。解这类问题的基本思路是先分析判断是否适用等可能性事件的概率公式。然后统计所有可能的结果数和所求概率的事件所包含的结果数，再把它们代入公式求出所求概率。）
从例1中自然引出必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，不确定事件的概率为。
练习反馈，巩固新知：
做一做：
从你所在小组任意挑选一名同学参加诗朗诵活动，正好挑中你的可能性是多少？
（根据班级各小组的实际人数回答）
转盘上涂有红、蓝、绿、黄四种颜色，
每种颜色的面积相同。自由转动一次转盘，
指针落在红色区域的概率是多少？
指针落在红色或绿色区域的概率是多少？
（1/4，1/2）
（五）变式练习，拓展应用：
例2：如图所示的是一个红、黄两色各占
一半的转盘，让转盘自由转动2次，指针2
次都落在红色区域的概率是多少？一次落在
红色区域，另一次落在黄色区域的概率是多少？
分析：（1）由于转盘上红、黄两色面积各占一半，转盘自由转动一次，指针落在黄色区域和落在红色区域的可能性是相同的。
（2）统计所有可能的结果数，让学生自己列表或画树状图。应注意转盘的两次自由转动意味着事件的发生分两个步骤，各种可能包括了顺序的因素。
（3）统计所求各个事件所包含的可能结果数。
解：根据如图的树状图，所
有可能性相同的结果数有4种：
黄，黄；黄，红；红，黄；红，红。
其中2次指针都落在红色区域的可能结
果只有1种，所以2次都落在红色区域
的概率；
一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的可能有结果2种，所以一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率。
变式：在例2的条件下，再问：第一次落在红色区域，第二次落在黄色区域的概率是多少？讲解时注意让学生自己分析同例2的第二问的区别。从中求出变式的正确的解答为。
（本环节主要让学生体验变式中的探究学习，培养学生的严谨的科学态度，提倡题后反思。）
反思总结，布置作业：
引导学生总结本节课的所学知识，反思有什么样的收获。进一步激发学生的学习热情，也让参与反思的学生更多。在交流的过程中学会学习，完善自己的知识体系。然后布置作业，有助于学生应用能力和创新能力的培养。
五、教学说明：
本章计算等可能性事件的概率只涉及简单的独立事件。一般每次取1个，最多取3次。教师应把握好教学要求。
第一次转出 第二次转出
黄
黄
红
黄
红
红2.1轴对称图形（教参）
2.2轴对称变换
2.3平移变换
2.4旋转变换
2.5 相似变换
2.6图形变换的简单应用
2.1 轴对称图形（教参）
【教学目标】
1．通过具体实例认识轴对称图形、对称轴，能画出简单轴对称图形的对称轴．
2．探索轴对称图形的基本性质，理解“对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段”的性质．
3．会用对折的方法判断轴对称图形，理解作对称轴的方法．
4．通过丰富的情境，使学生体验丰富的文化价值与广泛的运用价值．
【教学重点、难点】
1．本节教学的重点是认识轴对称图形，会作对称轴．
2．轴对称图形的性质的得出需要一个比较复杂的探索过程，其中包括推理和表述，是本节教学的难点．
【教学准备】
学生：复习小学学过的轴对称图形，从现实生活中找4-5个轴对称图形．
教师：准备教学活动材料，收集轴对称图形，可上互联网查询www．Oh1l00．com．
【教学过程】
一、回顾交流，列举识别
1．怎样又快又好地剪出这个“王”宇．说明：让学生用纸、剪刀剪一剪．
2．这个“工”字有什么特征
说明：对折后能够互相重合，具有这种特征的图形叫轴对称图形，这条折痕所在的直线叫做对称轴．
3．在小学时，我们已经学过轴对称图形，请例举一些数学、生活中的轴对称图形．
说明：让学生举例以回顾小学所学的知识，丰富学习情境，但要注意学生所举的例子会存在思路偏窄，教师要注意引导拓宽．
4．教师展示教学多媒体：指出下列图片中，哪些是轴对称图形．
说明：进一步丰富情境，体验轴对称的丰富的文化价值与广泛的运用价值．
二、合作探索，明晰性质
1．发给学生活动材料1
2．交流归纳，总结如下：
(1)可用对折的方法判断一个图形是否是轴对称图形；
(2)轴对称图形中互相对应的点称为对称点；
(3)对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段．
三、运用性质，内化方法
1．分发教学活动材料2，学生独立思考．
2．同伴交流．
同桌或小组交流各自的画法．
3．交流归纳，总结方法如下：
方法1：过线段AB，CD的中点画直线；
方法2：作线段AB的垂直平分线；
方法3：作线段CD的垂直平分线．
4．分发教学活动材料3，学生独立或小组合作完成．
说明：画一个点M关于对称轴l的对称点的方法是：作点M到对称轴l的垂线段MO并延长，在延长线上找一点N，使NO=MO，则点N就是已知点M的对称点．
四、总结提高，课内练习
1．本课知识要点：
(1)如果把一个图形沿着一条直线折起来，直线两侧的部分能够__________，那
么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做_______________.
(2)轴对称图形的性质：
____________________________________________________.
(3)作出一个轴对称图形的对称轴的常用方法：
_______________________________________________________________
(4)举几个轴对称图形的实例，并指出对称轴．
______________________________________________________________.
2．课内练习：见课本课内练习．
五、布置作业
1．见课本作业题．
2．剪一个“ ”字．想一想，你有哪些方法
2.2 轴对称变换
【教学目标】
1、了解轴对称变换的概念。
2、理解轴对称变换的性质：轴对称变换不改变原图形的形状和大小。
3、会按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对变换后的图形。
4、探索简单图形之间的轴对称关系。
5、了解并欣赏物体的镜面对称。
【教学重点、难点】
1、重点是轴对称变换的概念和作法。
2、难点是课本“合作学习”所要求解决的问题需要从立体图形转化到平面图形。
【教学准备】
1、复习上节学习的轴对称图形以及它的基本性质。
2、学生工具准备：一面小镜子。
【教学过程】
观察、回答、体会下列问题：
图2-1 图2-2
请问上面（图2-1）是轴对称图形吗？他的对称轴在哪里？
现在我们把他沿着对称轴剪开，这样我们把轴对称图形位于对称轴两侧的两个部分看成两个图形了。这里我们可以说“这两个图形成轴对称”。
再观察图2-2中直线a 两边的两个图形，他们就关于直线a 成轴对称。
针对图2-2：由左边的“喜”变为右边的“喜”并且这两个“喜”字关于直线a 成轴对称，这样的图形改变叫做图形的“轴对称变换”。也叫“反射变换”。（简称反射）
经变换所得的新图形叫做原图形的像。
反思：轴对称图形与轴对称变换有什么关系？（注意：要从两者涉及的图形个数、后者中对两个图形统一为一个图形来看等几方面说明）
交流归纳：一个图形经轴对称变换后，图形上的某点与在“像”上的对应点的连线被对称轴垂直平分。
动手实践：
1.例：如图，已知⊿ABC和直线m。以直线m 为对称轴，作⊿ABC经轴对称变换后所得的像。
图2-3 图2-4
分析：（1）作图形“像”的过程其实是找到关键点，然后作出关键点的“像”的过程。
（2）操作的依据是“对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段”。
作法：略。
反思：在图2-4中如果把图形沿直线m 折叠，由作法可知：两个三角形会重合吗？如果重合，这说明什么？
师生交流归纳：（1）轴对称变换不改变原图形的形状和大小。
（2）经轴对称变换所得的图形和原图形全等。
练一练：课本P44 “做一做”。
三、合作学习：
1. 如图2-5左边是刻在印章上的“马”，右边是印在纸上的“马”，如果把它们并排放在一起，两者关于怎样的一条直线成轴对称？
图2-5
请你在纸上写上数字“23”，把它放在你的小镜子前，在镜子中你看到了什么？
交流归纳：实际图形与它在镜子里的像也可以想象成图2-5那样成轴对称关系。
四、总结提高，课堂练习：
什么是“轴对称变换”？
怎样作一个图形经轴对称变换后所得的像？
“轴对称变换”的性质是什么？
理解并体验镜面对称
完成课本P45 的练习。
五、作业：
课本作业本。
复习本节课的知识。
3. 阅读课本中的“阅读材料”，了解现实中的轴对称现象。
2.3 平移变换
【教学目标】
1通过具体实例认识图形的平移；
2.了解图形平移变换的概念；
3.理解平移变换的性质；
4.会按要求作出简单平面图形经平移变换后所得的像。
【教学重点、难点】
1．平移变换的概念和性质，探求简单图形经平移变换后所得的像的画法，并掌握根据所提供的平移方向和移动的距离两个条件作图。
2．探求平移变换的性质及探求如何作一个图形经平移变换后所得的像。
【教学过程】
创设情境，引入新知。
教师以谈话的口吻询问学生：小时候是否滑过滑梯？学生的回答是肯定的，同时此问也必然会引发学生的好奇心去猜测教师提问的意图。此时，教师安排活动一：
看看想想：
请学生观察多媒体演示卡通小朋友保持一定的姿势沿一段直行的滑梯滑下的过程，并思考两个问题。
在滑梯过程中，小朋友身体各部分运动的方向相同吗？
小朋友各部分的运动距离怎样变化？
学生通过观察运动过程并结合自身的体验经历，不难回答以上问题。
紧接着教师继续利用多媒体演示；缆车在直轨上的运动过程；传送带上的箱子的运动过程等并提问：这些图形的运动过程与小朋友滑滑梯的运动过程，是否有共同点？若有是什么？
教师给学生独立思考的空间让学生充分发表自已的意见，只要合理都予以肯定，然后指出这些运动过程中蕴涵了同一种的变换（揭示课题）——平移变换
师生互动，探索新知。
1．概括形成平移变换的概念。
教师在学生观察分析描述以上所演示的各运动过程的共同点的基础上锁定传送带上箱子的运动为例展开计论，以两个问题来引导学生探索：
议一议：
（1）．为若传送带上的箱子的某个顶点（可在图中指定）向前移动50cm，则箱子的其他部位会向什么方向移动？移动了多少距离？
（2）．上的观察和讨论，你认为我们应从哪几方面来说明平移变换？
在学生计论的基础上师生共同概括出平移变换的概念：（板书）
由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向运动，且运动相等的距离，这样的图形改变叫做图形的平移变换，简称平移。
提问：由平移变换的意义，你认为描述一个平移变换需要几个条件？学生回答。
教师肯定：描述一个平移变换必须指出两个要素平移的方向和平移的距离。
P做一做1、2（先学生独立思考，再与同伴交流，评价时注重生生互评）
2．探求平移变换的性质。
教师仍锁定传送带上的箱子的运动，通过几个间题来引导学生继续探索。
议一议
（1）送带上的箱子在运动过程中，什么改变？什么仍不变？
（2）如果把移动前后同一箱子的某同一面记作四边形ABCD和四边形EFGH那么它们的形状，大小是否相同。
（3）（结合图形来说明）图中点A经平移到了点E，则点A和点E是一对对应点，你能在图中找出其他各对对应点吗？
（4）请连结各对对应点得线段，这些线段之间有什么关系？你可从哪些方面来说明。请简述理由。
通过学生的独立思考及相互之间的讨论，师生可共同总结平移变换的性质（板书）
平移变换不改变图形的形状、大小和方向；连结对应点的线段平行且相等。
提问：平移变换不改变图形的形状、大小，这意味着平移前后两图形具有怎样的图形关系？
3．求图形经平移变换后的图形的作法
做一做
（1）已知一条线段（如图），请作出它向上平移3cm后的图形。
（2）已知一个长方形（如图），请作出它向右平移2cm后的图形。
教师指出，某一个图形经平移变换后所得图形称作原图形经平移变换后所得的像。
想一想，做一做 A . D
如图：经过平移，线段AB的端点A移动到了D点，
你能作出线段AB经过这一平移变换后的像吗？你有哪些方法？ B
通过作图方案的探讨,可使学生了解到利用平移变换的性质就可以完成简单图形的平移作图。而作图过程中只要能找出几个关键的点的对应点问题就能解决。
例题讲解：
学生有了“想想做做”活动获得的经验，解决这一间题的难度就降低了，学生有了一定的思维导向，
教师以几个问题引导学生分析作图思路并总结作图步骤思考并回答：
（1）成一个长方形哪几个点是最关键的点？
（2）这些长 形经平移变换后的像的问题能否转化为先找些长方形的4个顶点的对应点的问题？
（3）已知一个顶点的对应点，你能否由些确定图形平移的方向和移动的距离？
（4）确定了图形的移动方向和移动的距离，如何作出其他3个顶点各自的对应点呢？
（5）找出各顶点的对应点后如何得出原图形经平移后的像呢？为什么你能肯定所作图形为所求的像？
解（略）见P50
教师请学生观察已作出的平移变换前后的图形，问：
（1）认为要作出某已知图形经平移后的像，必须具备哪些条件才能够作图？
（2）谁能说出本例的平移方向和平移的距离？
（3）你还有别的方法可作图吗？请发表自已的意见。
法一：利用到原图形与平移变换后所得形的全等腰三角形性
把透明纸覆盖在长方形ABCD上，画出相同的图形，然后把透明纸沿箭头方向平移，直到点C和C重合，长方形ABCD就是所求平移变换后得到的像。
法二：利用平移变换中，连结对应点的线段平行且相等的性质来作图。
三、练习反馈，巩固新知。
课内练习P，1、2、3及作业题4
四：梳理知识，归纳小结。
请学生谈自已学习了本节课的收获，在交流中师生可共同梳理知识点。（1）平移变换意义；（2）理解和掌握平移变换的性质；（3）会画出某图形经平移变换后的像。
五：分层作业，巩固应用。
分层次布置作业，作业题1、2、3必做，作业题5、6选做。
2.4 旋转变换
【教学目标】
知识与技能目标：
通过具体实例了解生活中图形的旋转及旋转变换的概念；理解旋转变换的性质并会按要求作出简单平面图形经旋转变换后所得的图像；能利用旋转中心、旋转的方向和度数来描述一个旋转变换。
过程与方法目标：
经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、操作、抽象概括，经历探索旋转变换的性质，探求如何画一个图形经旋转变换后所得的像的方法等过程，体验“以局部带整体”的作图思想方法，进一步发展学生的空间观念。
情感与态度目标：
通过对旋转图形的欣赏和探索，使学生体会旋转变换在现实生活的存在，激发学生的数学学习兴趣，增强审美观念，培养学生的科学探究精神。
【教学重点、难点】
教学重点：认识旋转变换的概念并理解其性质，探求简单图形经旋转变换后所得的像的画法，并掌握根据旋转中心、旋转的方向和度数三个条件作图。
教学难点：探求旋转变换的性质及探求如何作一个图形经旋转变换后所得的像。
【教学过程】
创设情境，引入新知
我们生活的世界，除了物体的平行移动外，还可以看到许多物体的旋转现象：
其中包含着丰富的数学知识。
1、探讨旋转变换的概念。
请学生思考风车的叶子由A至B及钟表的钟摆由C至D的运动过程中，提出三个问题：
（1）哪些部位作旋转？其形状、大小是否发生改变？
（2）旋转的部位，其物体各部分旋转有什么共同特征？（从方向和角度考虑）
通过学生与学生，学生与教师共同交流、感知并形成共识，指出这些运动过程中蕴涵了另一种图形的变换（揭示课题）——旋转变换。
想一想：通过以上讨论，
（1）你能举出实际生活中旋转运动的例子吗？
（2）从哪几个方面来说明物体运动是旋转变换？（从三个方面来说明：旋转中心，旋转方向和旋转角度）
在学生的讨论基础上师生共同概括出旋转变换的概念：
将一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形改变叫做旋转（rotation），这个固定点叫做旋转中心(centre of rotation)。
做一做：书本上第53页的练习。及时巩固旋转变换的概念。叙述旋转变换必须有三个要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度。
师生合作，探索新知
2、探求旋转变换的性质。
继续探索旋转变换的性质。观察右图并思考？
（1）旋转过程中旋转中心是什么？旋转后
形状、大小是否发生改变？
（2）经过旋转，点A、B、C分别移动到什么位置？
（3）AO与DO的长有什么关系？BO与EO，OC与OF呢？
（4）∠AOD、∠BOE、∠COF有什么大小关系？
学生交流总结得出旋转变换性质：
1、）旋转变换不改变形状、大小。
2、）对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转的角度。
教师追问：旋转变换不改变图形的形状、大小，这意味着旋转前后两图形具有怎样的图形关系？
3、探求图形经旋转变换后的图形的作法。
想一想：以点O为旋转中心，将点A顺时针方向旋转50度，作出对应点A’。
学生经过相互讨论和交流，可提供作图方案，教师可与学生共同整理。
作法：1、连结OA，以O为顶点，作∠AOB＝50
2、在边OB取点A’，使OA＝OA’。
A’就是作出A对应点。
通过作图，可使学生了解到利用旋转变换的性质就可以完成简单图形的旋转作图。也可借助尺规及量角器完成作图。在此基础上进一步对例题讲解。
例题讲解：如图，O是△ABC外一点，以点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转80度，作出经旋转变换后的像。
教师以几个问题引导学生分析作图思路并总结作图步骤：
思考并回答：
（1）组成一个三角形需几个关键点？
（2）作此三角形经旋转变换后的像的问题能否转化为先找此三角形的3个顶点的对应点的问题？
（3）确定了图形的旋转的方向和角度，能否确定图形上点旋转的方向和角度？
（4）确定了点的旋转的方向和角度，如何作出的共对应点呢？
（5）找出各顶点的对应点后如何得出原图形经旋转后的像呢？为什么你能肯定所作图形为所求的像？
学生解决了以上的各问也就能总结出作图步骤。具体作图教师板演示范，学生也动手进行操作：
解:
(1)以点O为旋转中心，分别把A、B、C按逆时针方向旋转80度，得点A’、B’、C’.
(2)连结A’B’、 B’C’ 、 C’A’.
△A’B’C’就是所求作的旋转变换后的像。
三、练习反馈，巩固新知
完成课本第54页练习1，2，3。
四、梳理知识，形成结构
1、请学生谈自己学习了本节课的收获。
2、在交流中师生可共同梳理知识点：
（1）认识旋转变换。
（2）理解和掌握旋转变换的性质。
（3）会画出某图形经旋转变换后的像。
（4）不论是作图还是描述一个旋转变换都需要知道三个要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度。
3、比较轴对称变换、平移变换、旋转变换区别及联系
变换\特征 形状 大小 方向
轴对称变换 不变 不变 改变
平移变换 不变 不变 不变
旋转变换 不变 不变 改变
五、共同探求，拓展新知
如图，能通过旋转变换由图形A得到图形B吗 如果用两种变换呢 比如旋转变换和轴对称变换，旋转变换和平移变换等．请说出能将图形A变换到B的一个(或一组)变换．如果将牌“梅花3”换成“方块8”呢 用扑克牌试一试．
让学生凭直观判断，能还是不能？
然后让学生用扑克牌实验。
（鼓励学生动手，思考，探讨，提供解题多种解决方案）
六、布置作业，巩固应用
作业题：1、2、3必做；作业题：4、5、6选做。
2.5 相似变换
【教学目标】
1、了解现实生活中图形的相似。
2、了解图形相似变换的概念。
3、了解图形相似变换的性质：不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数。
4、会按要求作出简单平面图形经相似变换后的图形。
5、了解相似变换的一些简单实际应用。
【教学重点、难点】
1、本节教学的重点是图形相似变换的概念和性质。
2、相似变换的性质的发现需要较强的观察能力，而且在现阶段还很难说明理由，是本节教学的难点。
【教学准备】
多媒体（几何画板4.05版），分好学习小组
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
师：前面我们已经学了几种图形变换？
生：3种，分别是轴对称变换、平移变换、旋转变换。（等学生回答完整后进入下一个问题）。
师：请你用学过的知识解决下面的练习。（几何画板出示练习题）
析：通过3位学生的回答再得出3种变换的异同
变 换 性 质
形状 大小 方向 连结对应点的线段 特有名称
轴对称变换 /
平移变换 /
旋转变换 /
析：小组交流后，请3名小组代表回答
师：这两幅图形属于前面3种变换中的哪一种？（几何画板出示两幅相似变换的图形）
析：独立观察思考，请一名学生回答。（不属于前面的3种变换）
师：这就是我们今天要一起探讨的另一种变换；给出课题——相似变换
二、合作交流，探求新知
1、形成概念
师：请同学仔细观察这两幅图有什么特点？(出示图形)
生：形状相同，大小不一样。
师：像这样由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫做图形的相似变换。图形的放大和缩小都是相似变换。原图形和经过相似变换后得到的像，我们称它们为相似图形。
练习：请同学们举例日常生活中的相似图形。
析：请3名学生举例并作点评
2、作相似变换图形
师：请根据刚学过的知识解决下面的问题。
例： 如图所示，把方格纸中的图形作相似变换，放大到原图形的2倍，并在方格纸上画出经变换所得的像。（几何画板出示题目，学生在练习纸上做）
析：练习题从简到难，让学生去探究怎样利用方格作相似变换。
师：通过上面的练习，你能回答下列问题吗？（合作交流）
①将一个图形作相似变换时，图形中各个角的大小改变吗？请举例说明。
②将一个图形作相似变换时，图形中各条线段的长改变吗？怎样改变？
析：交流后学生回答，教师在几何画板中做验证。让学生初步体验图形的相似变换后，角的大小不变，每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数。（鉴于上述图形的特殊性，对相似变换的性质要进行进一步的探究）
3、探究相似变换的性质
几何画板出示两个相似三角形，同时回答下列的两个问题：
①将一个图形作相似变换时，图形中各个角的大小改变吗？请举例说明。
②将一个图形作相似变换时，图形中各条线段的长改变吗？怎样改变？
析：先让学生交流，后教师利用几何画板做实验，得出相似变换的性质：
图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（缩小）相同的倍数。
师：请完成下列的表格
变 换 性 质
形状 大小 方向 连结对应点的线段 特有名称
轴对称变换 不变 不变 改变 / 对称轴
平移变换 不变 不变 不变 平行且相等 /
旋转变换 不变 不变 改变 / 旋转中点
相似变换
4、巩固提高
把如图所示的直角三角形ABC作相似变换，放大到原来的2倍，放大后所得的图形面积是原图形面积的多少倍？
析：巩固相似变换的性质，与已学的其它知识相结合成综合题。
如图所提供的浙江省航线图可看做该省实际版图通过哪一种变换所得的像？地图所附的比例尺告诉我们，这个变换把实际版图缩小到原来的几分之几？利用这个地图，分别求出杭州到宁波，杭州到温州的实际距离。
析：学已致用，解决实际问题。
三、小结回顾，反思提高
师：本堂课你有什么收获？
析：学生独立思考后回答，教师归纳总结：
相似变换与其它三个变换的联系与区别
简单相似变换图形的作法
相似变换的性质
四：布置作业
书本中的作业题
附：几何画板练习题
变 换 性 质
形状 大小 方向 连结对应点的线段 特有名称
轴对称变换 不变 不变 改变 平行 对称轴
平移变换 不变 不变 不变 平行且相等
旋转变换 不变 不变 改变 不平行 旋转中点
相似变换 不变 改变 改变 不平行
2．6 图形变换的简单应用
【教学目标】
基础知识目标------轴对称变换、平移变换、和旋转变换的概念和性质及应用。
能力训练目标------运用图形变换设计、制作图案，图象的周长和面积计算，应用图形变换的知识解决一些实际生活问题。通过观察和实验，培养学生的抽象思维和空间想象能力逐步培养学生的各种数学思想。
个性素质目标：------结合教材和联系生活实际培养学生的学习兴趣和热爱生活的情感。能够自主探索，与同学进行交流合作，能够使用数学语言有条理地表达自己解决问题的过程。
【教学重点、难点】
教学重点：轴对称变换、平移变换、和旋转变换在图案设计、图象的面积计算等方面的应用。
教学难点：运用图形变换设计、制作图案，不仅需要熟练掌握各种图形变换的概念和性质，还需要有丰富的想象力和创造性，是本节教学的难点；能把一些实际生活问题通过学习图形变换的知识转化为数学问题，从尔解决实际生活问题，将是部分同学更高层次的应用和目标。
【教学准备】
多媒体辅助课件，投影仪，学生自己搜集的图形，图案等。
教学前先布置一个课前任务：每位学生收集一些通过图形变换后形成的各种生活中的实际图形，以小组的形式每组推荐一幅学生认为最具代表性的图案准备上课出示。
目的是让学生初步学会应用轴对称变换、平移变换、和旋转变换的概念，充分发挥学生丰富的想象力和创造性，培养学生观察生活能力，团队协作精神，体现新课程学以致用的基本理念。
【教学过程】
一、生活中的图形变换
引入如图的图案，师生共同探究图案中的图形变换。
设问分析：
***由哪些基本图形组成？
***主体图形是什么？
***运用了哪些图形变换？
***是怎样变换的？
目的是复习轴对称变换、平移变换、和旋转变换的概念，
教会学生怎样观察图象，怎样分析图象中的图形变换。
然后投影仪演示这些概念。
2、展示学生收集的作品，教师经筛选现场出示两幅具有代表性的图案
引导学生观察、比较，再由选中的两组代表表述：
***由哪些基本图形组成？
***主体图形是什么？
***运用了哪些图形变换？
***是怎样变换的？
其他的学生纠正错误点，补充缺漏点。
目的是培养学生的观察力，分析能力，数学语言的表达能力，也给学生一定的成就感。
3、学生教学反思：应用了图形变换的哪些性质，怎样来分析图形变换：
***由哪些基本图形组成？
***主体图形是什么？
***运用了哪些图形变换？
***是怎样变换的？
然后投影仪演示这些性质和方法。
目的是教会学生分析图象中的图形变换。
4、学生小组再次合作，利用简单图形和图形变换，设计一幅图案。简单展示一下。
目的是知识的延伸和实际应用。
5、教师展示自己收集的几幅比较漂亮的图案，再次激发学生的学习兴趣。
总结：这一部分内容主要是落实重点，而且学生的可塑性和不确定性比较大，教师要进行适当合理的调控，时间控制为20分钟左右。
二、数学中应用图形变换
图形变换的思想还可以用来帮助进行有关图形的计算和判断。
例1如图图案是一个轴对称图形（不考虑颜色），直线l是它的一条对称轴。已知图中圆的半径为r，求绿色部分的面积。
练一练：课后练习1，2
例2说明：分别以三角形ABC的三边作等边三角形.请问：（1）DC、AE的大小关系如何？（2）三角形是通过哪个三角形怎样平移得到的？（3）四边形DBEF的形状如何？（4）选中点B或C随意移动,注意观察上述结论是否成立
练一练：课后作业2，4
总结：这一部分内容主要是突破难点，教师应引导学生探索学习，促进学生主动发展，教师要重分析，讲思路。
三、回顾设问小结：
图形变换应用了哪些变换思想？
怎样观察图形变换？
学习了哪些数学研究方法？
四、布置作业
观察63页图案，2人一组再设计一幅利用图形变换，更精美，复杂一点的图案。把课堂知识再次延伸到实际生活。
课后剩余练习。
作业本。
教学活动材料1
下列图形是轴对称图形吗 你是怎样判别的 讲给同伴听．
2．上述图形中，是轴对称图形的，找出对称轴．
3．在上述图形中，任选一个轴对称图形，绕着对称轴对折重合后，任选一
对重合的点作上记号，如点A，A’，问：
(1)点A，A’与对称轴有什么关系
(2)再任选另外一对重合的点，试一试，上述关系还成立吗
4．如下图，AD平分∠BAC，AB=AC．
(1)四边形ABCD是轴对称图形吗 如果你认为是，请找出 对称轴及点B的对称点；
(2)连结BC，交AD点E，把四边形ABDC沿AD
对折，BE与CE重合吗 ∠AEB与∠AEC呢
(3)请说明对称轴AD垂直且平分线段BC．
教学活动材料2
画对称轴
例1 如下各图的梯形ABCD是轴对称图形，你有哪些方法画出它的对称轴
教学活动材料3(练习)
1．蝴蝶图片是轴对称图形，点C，D为对称点，
(1)画出蝴蝶图片的对称轴；
(2)找出点E，F的对称点．
2．如图，四边形ABCD为轴对称图形．
(1)画出四边形ABCD的对称轴；
(2)点M有AB上，找出点M的对称点；
(3)四边形ABCD的对称轴能平分∠BAC吗 请说明理由．整式的乘除
目录
TOC \o "1-3" \h \z 5.1 同底数幂的乘法（1） 2
HYPERLINK \l "_Toc101592434" 5.1 同底数幂的乘法（2） 3
5.1 同底数幂的乘法（3） 4
HYPERLINK \l "_Toc101592436" 5.2 单项式的乘法（教参） 5
5.3 多项式的乘法 8
HYPERLINK \l "_Toc101592438" 5.4 乘法公式（1） 9
5.4 乘法公式（2） 11
HYPERLINK \l "_Toc101592440" 5.5 整式的化简 14
5.6 同底数幂的除法(1) 15
HYPERLINK \l "_Toc101592442" 5.6 同底数幂的除法(2) 17
5.7 整式的除法 19
5.1 同底数幂的乘法（1）
〖教学目标〗
◆1、理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则。
◆2、学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算。
◆3、体验在得到同底数幂的乘法法则过程中，是一个从特殊到一般，从具体到抽象，逐步地进行概括抽象的认识过程。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：掌握并正确应用同底数幂的乘法法则
◆教学难点：理解同底数幂的乘法法则是由乘法的概念加以具体到抽象的概括抽象的过程。
〖教学过程〗
（一）创设情境，引出课题
1、我们已经学习了整式加、减运算，在实际中，我们还需掌握整式的乘法和除法运算。例如：有一个长方形的桌面，因工作需要，在原来的长比宽多1.5米的基础上，长与宽再分别增加1米，那么这张桌面的面积增加5平方米，试求这张桌面原来的长与宽各是多少米？
2、师生共同讨论：设桌面宽为x米，长为y米，则有：
y-x=1.5 (1)
(y+1)(x+1)-xy=5 (2)
由(1)得y=1.5+x，代入(2)得：（x+1）(1.5+x+1)-x(1.5+x)=5
∴(x+1)(x+2.5)-x(x+1.5)=5
教师归纳：要解这个方程，须研究两个整式的相乘法则，为了研究整式的乘法与除法，我们先从最简单的乘法说起——同底数幂的乘法。
（二）交流对话，探求新知
1、设问：什么叫幂？（23=2×2×2=8）
学生答：am(a≠0,m为正整数)
2、设问：am表示a的m次幂，其中a、m分别叫什么？
学生答：am中a叫底数，m叫指数
3、教师归纳：幂是乘方的结果，同底数幂相乘，是指乘法中，两个乘数是幂的形式，并且这两个幂的底数相同的乘法。如23×22（引导学生得出结论：23×22=2×2×2×2×2=25）
4、学生完成下列练习
（14）103×104； （2）a3×a4
(学生答：103×104= 103+4=107 ；a3·a4=a3+4=a7 )
5、由a3·a4归纳a可以是任一代数式，再由学生归纳出同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。公式：am·an =am+n并且推广至：am·an·ap= am+n+p(a≠0，m，n，p均为正整数)
6、运用同底数幂的乘法法则
例1、计算：
（1）108×103 （2）x3·x5 (3)76×74 (4) y·y2·y3
例2、化简：
（1）（-2）8×（-2）7 （2）（a-b）2·(a-b) ·(a-b)3
例3、我国自行研制的“神威5”计算机的峰值运算速度达到每秒3840亿次，如果按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次（结果保留3个有效数字）？
（三）变式练习，激发情智
化简（s-t）2 (t-s) [-(t-s)3]
（四）整理知识，形成结构
1、运用同底数幂的乘法法则时，关键是要分清底数是否相同，尤其是底数有负号或幂是负数时要格外仔细。
2、当运用法则计算完毕时，一般运算结果的底数是正数或正分数。
（五）布置作业，巩固应用
作业题
5.1 同底数幂的乘法（2）
教学内容 §1.4 幂的乘方
教学目标 知识与技能目标经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
过程与方法目标在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力；学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力。
情感与态度目标在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美。
教学重点 幂的乘方的运算性质及其应用
教学难点 幂的运算性质的灵活运用
教学方法 引导—探究相结合
教学用具 多媒体演示
教 学 过 程
教师活动环节 学生活动环节 设计意图
一、引导回顾 搭建桥梁前面我们学习了同底数幂的乘法，那么同底数幂相乘的法则又是如何呢？ 一、参与回顾=同底数幂相乘：底数不变，指数相加 参与回顾旧知识为新课作准备
二、创设情境 诱发主动但我们发现我们所学的知识还是不够用的，比如：若甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的n3倍。地球、木星、太阳可以近似地看做是球体。木星、太阳的半径分别是地球的10倍和102倍，它们的体积分别是地球的多少倍？103易得而（102）3＝？ 二、投入情境（102）3 ＝102102102＝106 让学生体会数学是源于生活实践的且是为生活服务的，当出现新的问题也就促进了数学的进步。
三、引入课题 激发探究合作学习：计算下列各式，并说明理由。（62）4 （a2）3 （am）2 （am）n 总结：（am）n=amn （m，n都是正整数） 三、主动探究（am）n=amn 幂的乘方 底数不变，指数相乘 学会探索新知，学会总结。
四、诱向深入 拓展思维例3计算下列各式，结果用幂的形式表示：(1)（107）3 (2)（a4）8 (3)〔（-3）6〕3 (4) （y4）3 ·y(5)2（a2）5 - （a5）3 四、深入思考完成练习并请三位同学板演，师生共同评定正确答案。 通过练习加深对所学知识的认识。
五、展示应用 评价自我随堂练习：课本P115 五、展示能力完成练习并请三位同学板演，师生共同评定正确答案 检查学生掌握情况
六、链接知识 归纳小结[提问]请同学用自己的话说出幂的乘方的运算法则及其注意点。 六、建构体系底数不变，指数相乘 学会总结
七、知识留恋 课后韵味布置作业： 七、应用品味作业本5.1 《新课程怎样学》
5.1 同底数幂的乘法（3）
〖教学目标〗
◆1、理解积的乘方法则。
◆2、会计算积的乘方。
◆3、会进行简单的幂的混合运算。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：积的乘方法则
◆教学难点：积的乘方法则的推导过程
〖教学过程〗
一、创设情景，引入新课：
1、计算：(1) (53 )9 = (2) 53×93= 那么（5×9）3=？
（计算第（1）（2）两题既复习了同底数幂的乘法的前两个课时，又为后面新课的引入作了铺垫，同时把三节课的知识贯穿在一起。）
2、引导学生根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则填空：
（5×9）3=（5×9）（5×9）（5×9）
=（5×5×5）（9×9×9）
=5( )×9( )
那么（5×9）4=———————————————————=——————————————=5( )×9( )
（5×9）（5×9）（5×9）（5×9），（5×5×5×5）（9×9×9×9）
（5×9）5=？
（5×9）6=？
依次类推，（5×9）n=
3、假如我把（5×9）n中的5和9分别用字母a和b来代替，（ab）n=anbn成立吗？
你能运用所学的知识来验证吗？
4、点明这节课的学习内容：积的乘方
积的乘方的法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即(ab)n=anbn (n为正整数)
5、想一想：（abc）n=----------.为什么？
二、应用新知，体验成功
1、例题一：计算下列各式：
（1）(2b)5；（2）(3x)6;(3)(2/3ab)4;(4)(-x3y2)3
在教学中提醒学生注意不要遗漏系数的乘方。
2、完成第118页的课内练习1、2
3、例题二：填空 a3b6=( )3 81m4n2=( )2
在教学中强调积的乘方的法则，注意确定积的每一个因式。
4、完成第118页的课内练习3，第119页的第三题
5、例题三：你能口算2.59×48吗？结果是多少？那么0.12516×816呢？由此你获得了什么 启示？
强调积的乘方的法则的逆用，anbn=(ab)n
6、完成第119页的第四题
三、知识综合，攀登高峰
1计算(-x)3.(2x)2
2已知am=5，an=1/2,求代数式(a2m+3n)2的值
3完成例5
四、小结：
1、积的乘方的法则内容，提醒学生注意不要遗漏系数的乘方。
2、强调积的乘方的法则的逆用，anbn=(ab)n
五、作业：精选5.2第三课时
5.2 单项式的乘法（教参）
〖教学目标〗
◆1．经历探索单项式的乘法运算法则的过程，掌握单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．
◆2．理解单项式的乘法运算的算理，体会乘法的交换律、结合律及分配律的作用，发展有条理的思考及语言表达能力．
◆3．会运用单项式的乘法解决简单的实际问题．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：本节教学的重点是单项式与单项式相乘的运算．
◆教学难点：例2涉及的数、式较为复杂，运算时容易出差错，是本节教学的难点．
〖教学过程〗
一、创设情境，引出课题
同学们，你们到过北京天安门广场吗(投影天安门广场的照片) 它位于北京市中心，是 世界上最大的城中广场，可容纳100万人．你们能想像它有多大吗 如果要估算天安门广场的面积，你会想用什么办法呢
学生的回答可能有：步测法、根据天安门广场的地图测量计算、上互联网查询资料等(由 此引出课题)．
二、引出新知，探究示例
1．单项式与单项式的乘法．
探究活动一(出示投影)：现在有一位旅行者准备用步长测量天安门广场的面积．他先从 南走到北，记下所走的步数为1100步；再从东走到西，记下所走的步数为625步，然后根据自己 的步长来估算广场的面积．假设这位旅行者的步长为0．8m，那么广场的面积大约是多少m2？列式后学生可能会有两种计算的过程：
①(1100×0.8)×(625×0.8)＝880×500=440000(m2)；
②(1100×0.8)×(625×0.8)＝(1100×625)×0.82=440000(m2)．
设计以下问题：
①其中第二种运算的依据是什么
答：其中第二种运算的依据是乘法交换律和结合律．
②如果用字母。表示该旅行者的步长，你能用含。的代数式表示广场的面积吗 并且可以把这个代数式表达得更简单些吗
答：1100a·625a=687500a2．
③通过解决上述问题，你认为两个单项式相乘应怎样运算 运算的依据是什么
答：1100a·625a=(1100×625)×a2=687500a：．
通过这一系列问题的解决引导学生总结——两个单项式相乘，根据乘法交换律和结合律，可以把它们的系数、同底数幂分别相乘．
运用结论，计算例题(出示投影)：
例1 计算：(1)3b 3·b2； (2)(2×104)(6×103)·107；
(3)(－6ay3)(－a2)； (4) (－3x)3(5x2y)．
在这里教师把课本例题出现的顺序作适当的调整，目的是通过第(1)(2)题，对以上学生得出的两个单项式相乘的结论进行理解和体验；通过第(3)题让学生进一步探究来完善单项式乘法的方法．如果只在一个单项式里单独出现的字母，应连同它的指数，作为积的因式，教师同时板书完整的法则；第(4)题让学生体会明确运算顺序：若遇到乘方与乘法混合运算时，通常先乘方后乘法．
解（1）3b 3·b2＝（3×）（b 3·b2）＝b 5
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘．
(2) (2×104)(6×103)·107＝(2×6)·（104×103×107）＝1.2×1015
有理数的乘法也可以应用单项式与单项式相乘的规律计算．
(3) (－6ay3)(－a2)＝[(－6) ×(－1)](a·a2) ·y3＝6 a3 y3
(学生归纳，教师板书)单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
(4) (－3x)3(5x2y) ＝(－27x3) (5x2y) ＝－135 x5y．
遇到乘方与乘法混合运算时，通常先乘方后乘法．
练习反馈：课本课内练习第1，2题．
2，单项式与多项式的乘法．
合作探索学习二(出示投影)：一幅电脑画的尺寸如图：
(1)请用两种不同的方法表示画面的面积；
(2)这两种不同的方法表示的面积应当相等，你能用运算律解释它们相等吗
(3)通过上面的讨论，你能总结出单项式与多项式相乘的运算规律吗
(让学生以同桌合作的形式进行探索，然后表达交流．)
答：(1)a(b－2m)；ab－2am(或ab－am－am)；
(2)a(b－2m)＝ab＋a·(－2m)＝ab－2am；运用分配律，可以把左边的单项式与多项式相乘展开得到右边的多项式．
(3)单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
分配律的运用从小学就开始了，对学生来说并不陌生，因此这一环节应放手让学生自主探究，通过生生合作得㈩单项式与多项式的乘法法则．在这里要提醒学生注意：对于式子a(b－2m)，(b－2m)应看做是省略加号的和式b＋ (－2m)，这样又同时复习有理数的运算．最后师生共同总结得出单项式与多项式相乘法则(学生归纳，教师板书)．
应用结论，计算例题(出示投影)：
例2计算：(1)2a2b（ab－3ab2）；(2)（x－xy）·(—12y)．
教师在示范过程中引导学生在解题时注意下面几点：
1．单项式与多项式相乘，积是多项式，其项数与多项式的项数相同；
2．运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号．尤其是当单项式的符号是“—”时，多项式各项的符号要变号．
练习反馈：课本课内练习第3题．
三、分层训练，能力升级(视学情而定)
1．一住户的结构示意图如图所示，这家主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖 如果某种地砖的价格是a元／平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元
答：11mn；11amn．
本题的设计意图是使学生能初步应用单项式乘法解决简单的实际问题．
2．计算：(1)a(x－6y) 4·a3·(x－6y)5；
(2)－3xy(5xy2)+3 y2（x2y—2x3）
(3)6mn2(2－mn4)＋(－ mn3)2．
本题的设计意图说明：
1．第(1)题运用整体思想，把(x—如)看成一个整体，结果保留它的幂形式；
2．第(2)(3)题是单项式与单项式、单项式与多项式的混合运算，在这里第一要注意运
算的顺序；第二要注意结果出现同类项时要合并同类项．
四、小结
让学生谈谈通过这节课的学习，有哪些收获或困惑 教师及时总结内容并解疑答惑．
五、布置作业
1．课本分层作业题．
2．设计题：选择一个场地(如家里的客厅、卧室，学校的教室、运动场，田地等)，用步长估测它的面积．设你的步长为a米，将你估测的场地面积用含a的代数式表示，然后测出你的步长a，将你估测的方法与结果写一份简要的报告，与同伴交流．
5.3 多项式的乘法
〖教学目标〗
◆1、经历探索多项式的乘法运算法则的过程，掌握多项式与多项式相乘的法则。
◆2、会运用单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式相乘的法则，化简整式。
◆3、会用多项式的乘法解决简单的实际问题。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：多项式与多项式相乘的运算。
◆教学难点：例2包含了多种运算，过程比较复杂是本节的难点。
〖教学过程〗
一、创设情境，引出课题
小明找来一张铅画纸包数学课本，已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米，问如果你是小明你会在铅画纸上裁下一块多大面积的长方形？
二、引出新知，探究示例
1、合作探索学习：有一家厨房的平面布局如图1
（1）请用三种不同的方法表示厨房的总面积。
（2）这三种不同的方法表示的面积应当相等，你能用运算律解释吗？
（3）通过上面的讨论，你能总结出单项式与多项式相乘的运算规律吗？
（让学生以同桌合作的形式进行探索，然后表达交流）
答：(1)总面积：(a+n)(b+m)；a(b+m)+n(b+m)或b(a+n)+m(a+n)；ab+am+nb+nm
(2)总面积相等，由此可得到(a+n)(b+m)=a(b+m)+n(b+m)……①
=ab+am+nb+nm……②
第①步运用分配律把(b+m)看成一个数，第②步再运用分配律。
(3)由(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm师生共同总结得出多项式与多项式相乘的法则：
（学生归纳，教师板书）
2、运用新知，计算例题
例1：计算
（1）(x+y)(a+2b) （2）(3x-1)(x+3) （3）(x-1)2
解：(1)(x+y)(a+2b)=x a+x (2b)+y a+y (2b)=ax+2bx+ay+2by
(2)(3x-1)(x+3)=3x2+9x-x-3=3x2+8x-3
(3)(x-1)2=(x-1)(x-1)=x2-x-x+1=x2-2x+1
教师在示范过程中引导学生注意这三题都按多项式相乘的法则进行，运算过程中注意符号，防止漏乘，结果要合并同类项。
反馈练习：课内练习1
例2，先化简，再求值：(2a-3)(3a+1)-ba(a-4)，其中a=
解：(2a-3)(3a+1)-ba(a-4)=6a2+2a-9a-3-6a2+24a=17a-3
当a=时，原式=17a-3=17×()-3=-19-3=-22
注意的几点：(1)必须先化简，再求值，注意符号及解题格式。
(2)当代入的是一个负数时，添上括号。
(3)在运算过程中，把带分数化为假分数来计算。
反馈练习：1、计算当y=-2时，(3y+2)(y-4)-(y-2)(y-3)的值。
2、课内练习2、3。
三、分层训练，能力升级
1、填空
（1）(2x-1)(x-1)=
（2）x(x2-1)-(x+1)(x2+1)=
（3）若(x-a)(x+2)=x2-6x-16，则a=
（4）方程y(y-1)-(y-2)(y+3)=2的解为
2、某地区有一块原长m米，宽a米的长方形林区增长了200米，加宽了15米，则现在这块地的面积为 平方米。
3、某人以一年期的定期储蓄把2000元钱存入银行，当年的年利率为x，第二年的年利率减少10%，则第二年到期时他的本利和为多少元？
四、小结
让学生谈谈通过这节课的学习，有哪些收获与疑问？教师及时总结内容并解答疑惑。
五、布置作业
课本的分层作业题。
5.4 乘法公式（1）
【教学目标】
知识目标：1、观察总结平方差公式的特点和结果。并能判断多项式相乘是否能运用平方差公式计算。
2、掌握平方差公式，并能从广泛意义上理解公式中字母的含义。
3、会运用平方差公式进行多项式的乘法运算。
4、会用平方差公式进行简便计算。
过程与方法：通过运用多项式乘以多项式法则，观察、猜想、验证、平方差公式应用的条件和结论，并初步学会运用平方差公式。
情感态度与价值观：通过“合作学习”，使学生体验数学有关结论的形成过程，养成良好的数学学习思考的习惯。
【教学重点、难点】
重点：掌握平方差公式
难点：构造图形来解释平方差公式，需要较强的综合运用数学的能力，是本节的教学难点。
【教学准备】电脑、投影
【教学过程】
设情景，引出课题：
昨天我们学习了多项式相乘的法则。（学生回忆）。今天老师在一本参考书上看到这样一些多项式相乘和相乘的结果，请同学们观察他们的特点，并猜想下面的多项式相乘的结果。
（1）（x+2）（x-2）=x２－４ （２）（3-a）（3+a）=9-a２
（3）（5m+2n）（5m-2n）=25m２- 4n２
小组合作：
这些多项式相乘有特点吗？有什么特殊？
他们的结果有什么特点？和等式左边的多项式有什么联系？
运用你观察的结论，猜想下列多项式相乘的结果。并用所学的知识进行验证。
（a）（a+2）（a-2）=
（b）（3-x）（3+x）=
（c）（2m+n）（2m-n）=
（d）（a+b）（a-b）=
二、交流对话，探索新知：
请学习小组的代表根据所观察的结论进行总结：
等式的左边是两个数（字母）的和乘以这两个数（字母）的差。
等式的右边是这两个数（字母）的平方差。
2、以（a+b）（a-b）为例，师生共同猜想结论，并共同验证：
（a+b）（a-b）= a２ - ab +ab-b２ =a２-b２
教师揭示，这就是代数中重要的乘法公式之一：平方差公式。并结合投影片讲清公式与特征的对应关系及用语言叙述此公式。
平方差公式
做一做：
将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公式吗？
图甲 图乙
想一想：要把图乙的面积算出来，我们可以用小学的什么知识完成。（用割补法）
对照公式说出下列各题中的数（字母）与公式中的字母的对应关系并计算，教师以适当点评。
计算：
(a+b)（a-b） a b a２-b２ 最后结果
（y+3）（y-3） y２- 3２ y２- 9２
（a+3b）（a-3b） 3b
（1–5b）（1+5b） 1
（-x+2）（-x-2）
例1、用平方差公式计算：
（1）（3x+5y）（3x-5y）
（2）
例2、（1）103×97 （2）59.5×60.2
分析：把相乘的两个数写成两数和与两数差的形式，这样就可以使用平方差公式。
三、课堂练习：p127 1、2、3、4、 p127 5、6、7（注意引导学生观察相乘两个式子的特点，能否使用今天所学的平方差公式，平方差公式公式中的a、b表示的是什么数字（字母）
四、 归纳小结，反思提高：
1 通过本课的探讨学习，你获得了哪些新知识，你认为有哪些方面的进步。
（让学生进行总结，通过学生个人回顾、合作交流）
2、平方差公式及语言叙述
3、公式中的字母一定是数字吗？
4、公式中的字母a和字母b如何区分？特点是什么？是否是前面的一定是a ，后面的一定是b？
五、布置作业：作业本
5.4 乘法公式（2）
【教学目标】
1、掌握完全平方公式。
2、会用完全平方公式进行多行式的乘法运算。
【重点和难点】
1、重点是完全平方公式。
2、从两数和的完全平方公式到两数差的完全平方公式的推理方法，学生不容易理解，是本节教学的难点。
【教学过程】
一、创设情景，引入新课
1、让学生运用多项式与多项式相乘的法则，完成下列的运算：
① (a+b)2 ② (2+x)2 ③ (2a+x)2
2、让学生观察右边的图形，然后能否发现有什么规律？
能写出(a+b)2的结果吗？
即 (a+b)2=a2+2ab+b2
让学生用文字语言叙述上面的关系式：两数和的平方，等于这两数
的平方和，加上这两数积的2倍。
3、做做P.128
二、动手交流，探讨公式
1、提问：能否用两数和的完全平方公式，推出两数差的完全平方公式？
(a-b)2可看成哪二数和的完全平方？让学生动手运用两数和的完全平方公式算出结果，即(a-b)2=a2-2ab+b2。让学生通过交流，自己用文字语言概括出两数差的完全平方公式，即两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。然后与两数和的完全平方公式作比较，让学生自己找出它们的相同之处和区别。
公式 相同点 区别
(a+b)2=a2+2ab+b2 结果都是3项结果都有a2+b2 和平方中间一项是2ab，差平方中间一项是-2ab。
(a-b)2=a2-2ab+b2
2、强调指出公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是单项式，甚至可以是一个更复杂的代数式。
三、师生互动，运用公式
例1：用完全平方公式计算
① (x+2y)2 ； ② (2a-5)2 ； ③ (-2s+t)2 ； ④ (-3x-4y)2
分析：第①、②两题可直接用和、差平方公式计算；第③题可先把它变成(t-2s)2 ，然后再计算，也可以把-2s看成一项，用和平方公式计算；第④题可看成-3x与4y差的平方，也可以看成-3x与-4y和的平方。
解：（1）（x+2y）2 = x2+2·x·2y+(2y ) 2
= x2+4xy+4y2.
(2 ) (2a–5 ) 2 = (2a) 2–2·2a·5+52
= 4a2–20a+25.
(3 ) (–2s+t ) 2= ( t–2s) 2
= t2–2·t·2s + (2s) 2
= t2–4ts + 4s2.
(4 ) (–3x–4y) 2 = (–3x) 2 –2·(–3x)·4y + (4y ) 2
= 9x2+24xy+16y2
例2：一花农有4块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m，现将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少m2？
分析：本题如直接计算，比较麻烦。可设原正方形苗圃的边长为am，边长增加1.5m后，新正方形的边长为(a+1.5)m，则面积增加了(a+1.5)2-a2，注意应该先把式子化简，再代入求值。
解：设原正方形苗圃的边长为am，边长增加1.5m后，新正方形的边长为（a+1.5）m..
（a+1.5）2–a 2= a2+3a+2.25–a2 = 3a+2.25.
当a = 30.1时， 3a+2.25 = 3×30.1+2.25 = 92.55；
当a = 29.5时， 3a+2.25 = 3×29.5+2.25 = 90.75.
类似地，当a = 30，a = 27时，3a+2.25的值分别为92.25，83.25.
所以4块茶花苗圃的面积分别增加了92.55m2，90.75m2，92.25m2，83.25m2.
例3：计算：（2x＋y–3z）2
分析：可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y–3z的和平方，再用差平方公式计算。
解：（2x＋y–3z）2 ＝（2x）2＋2×2x (y–3z) + (y–3z) 2
= 4x2 + 4xy–12xz +y2–2×y×3z + (3z) 2
= 4x2+y2 + 9z 2+ 4xy–12xz–6 yz
四、练习反馈，巩固新知
1、课内练习：P.130， 1、2
① 第1题中的第①小题错在与平方差公式混淆。第②小题中间一项漏乘2。
② 第2题叫6个学生上来板演。
2、计算：①(2x-1)(-1+2x)；②(-2x-y)(2x-y) ；③(ab-1)(-ab+1)，让三个学生上来做，发现错误，教师及时指正。
五、梳理知识，归纳小结
① 两数和平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
② 两数差平方公式：(a-b)2=a2-2ab+b2
③ 特别要注意公式乘开以后都有三项及怎样确定中间一项的符号。
六、布置作业，体验成功
P130：1、3、4、5、6
5.5 整式的化简
【教学目标】
1 掌握整式的加、减、乘、乘方混合运算顺序。
2 会利用加、减、乘、乘方运算将整式化简。
3 会利用加、减、乘、乘方运算解决简单实际问题。
【教学重点 难点】
重点：整式的化简。
难点：例２的问题情景比较复杂，且涉及平均变化率的概念，是本节的难点。
【教学准备】电脑、投影
【教学过程】
一 创设情景。
用多媒体出示“合作学习”内容（略）
由“合作学习”图形的面积计算为背景，让学生经历列代数式－化简－求值过程。使学生在活动中体验，领悟特征实质；引导学生探索，整合知识系统。教师在以下环节中应予指导：
（１）如何用a、b的代数式表示两个正方形的边长，根据已知点M是AB的中点，可得：AM＝(1/2)AB=BM=2a，
∴AP=2a+b； BP=2a－b
则S＝（2a＋b）2 －（2a－b）2
（2）当a＝4，b＝1/2时，求s的值的时候，是直接代入，还是先将整式（2a＋b）2 －（2a－b）2化简后再代入？让学生动手后进行比较和选择。
（3）概括整式化简过程一般运算顺序？
二 例题设计：
例1：化简：（1）（2x－1）（2x+1）－（4x+3）（x－6）
（2）（2a+3b）2－4a（a+3b+1）
分析：例1是整式的化简。教学中要着重讲清以下几点：
先观察所要化简的整式，其中含有哪些运算？哪些运算的顺序；
各种运算应遵循怎样的运算法则？乘法公式是否适用？
结果的形式应保持最简，有同类项的必须合并同类项。
师生双边活动，教师板演。
例2：甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%。
5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？
(2)如果a=150，x=2，那么5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？
分析：讲解例2的关键是使学生理解4月份的销售额，5月份的销售额与平均每月增长x%或下降率x%之间的关系。教学中可作如下处理：
指出平均增长率（或下降率）并不是各个月的实际增长率（或下降率）的平均数，而是一种假设：假设每个月的增长率都相同。如甲超市3月份的销售额为a万元，假设平均每月增长x%，则4月份的销售额为a（1+x%），5月份的销售额为a（1+x%）（1+x%）。不过要真正使学生理解平均增长率（或下降率）与一般算术平均数概念之间的区别，要等到学习一元二次方程之后，通过实际的计算来达到；
总结出原来的量，变化后的量与平均变化率（包括增长或减少）之间的一般关系式（以后还有较多的应用，且简单易记）：S=a（1+x%）n(a表示原量，S表示变化后的量，x%表示平均变化率，n表示平均变化率，n表示所经过的时段数，如月数，年数)。例2的具体列式、运算过程可以在教师的启发下，由学生自己来完成。在小结时继续强调应用整式解决实际问题的基本过程：列代数式－化简－求值。
三．课内练习：P：133中1、2。探究与提高(视课堂教学实际选择使用或留作课外思考题)：(板演)
四．探究活动：略
五．小结归纳：1 通过本课的探讨学习，你获得了哪些新知识，你认为有哪些方面的进步。
（让学生进行总结，通过学生个人回顾、合作交流，总结本节课的所作所听所感，让知识系统化、合理化。）
2 进一步让学生掌握整式的加、减、乘、乘方混合运算顺序，会利用加、减、乘、乘方运算将整式化简。
3 让学生体验用加、减、乘、乘方运算解决简单实际问题。
六．布置作业：P133课本5.5节作业题的A组、B组、C组
5.6 同底数幂的除法(1)
【教学目标】
知识技能目标 理解同底数幂相除的法则。会用该法则进行同底数幂相除的运算。
过程情感目标 经历同底数幂相除法则的推导过程并体验其运用。
【教学重点和难点】
重点 同底数幂相除。
难点 同底数幂相除法则的推导过程和对限制条件的理解。
【教学过程】
创设情境
细胞在分裂时，第①次1个变成2个；第②次2个细胞各自再分裂后变成4个，即22=22；第③次4个细胞各自再分裂后变成8个，即222=23。
⑴经第次分裂后细胞数m=_____个，经第次分裂后细胞数n=_____个。
⑵上述n是m的多少倍？
但怎么求220÷212呢？这是关于同底数幂相除的新问题，下面就让我们一起来探究吧。（给出课题）
探究新知
我们先来考察几个较简单的情形。从简单到复杂是研究疑难问题的一种思想方法。
25÷22＝＝ 25–2 23
另一方面，从乘除法的相互关系看：∵22___=25，∴25÷22=___
a5÷a2＝＝ a5–2 a3
同底数幂相乘的法则怎样？你能从上述归纳出同底数幂相除的一般方法吗？
同底数幂相除的法则是：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
?am÷an=am–n (a≠0，m,n都是正整数且m>n)
说明：
⑴一般地有：
⑵a≠0。
⑶m,n都是正整数且m>n。
示例和训练
课本P135例1及“课内练习”1,2。
〖例1〗计算：
⑴ a9÷a3 ⑵ 212÷27 ⑶ (–x)4÷(–x) ⑷
小结幂的运算法则：
Ⅰ.am·an=am+n 同底数的幂相乘，底数_____，指数_____。如a2·a3=____。
Ⅱ. (am)n=am·n 幂的乘方，底数_____，指数_____。如(a2)3=____。
Ⅲ. (a·b)n=an·bn 积的乘方，等于把积的每一个因式分别____，再把所得的幂____。
如(–3b3)2=______=___。
Ⅳ.am÷an=am–n (a≠0，m,n都是正整数且m>n)同底数的幂相除，底数_____，指数_____。如a20÷a12=____。
课本P135例2及“课内练习”3。
〖例2〗计算：
⑴a5÷a4·a2 ⑵(–x)7+x2 ⑶(ab)5÷(ab)2 ⑷(a+b)6÷(a+b)4
说明：注意⑵的底数符号和⑶⑷所体现的整体思想方法。
对下列算式：①a2a3=a6 ②(a3)2=a9 ③a3+a3=2a6 ④a3÷a3=0 ⑤(x3y)2=x6y
⑥3x2·4x2=12x2 。其中正确的个数有………………………………………………( )
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个
计算:
⑴x(–x2y)3
⑵(–2)2n+1–2·(–2)2n
⑶(–2a2)3·(3b3)2÷(–2ab2)2
若am=2，an=3，求a3m–2n的值。
评注：求要会逆用幂的运算法则。
小结
⑴判断：a6÷a2=a6÷2=a3；
⑵请你概述本课所学的基本知识；
⑶在am÷an=am–n中，能否m=n如a3÷a3，或m作业
5.6 同底数幂的除法(2)
【教学目标】
知识技能目标 理解零指数幂、负整数指数幂的概念；学会用零指数幂和负整数指数幂的概念进行简单计算；会用科学记数法表示绝对值较少的数。
【教学重点和难点】
重点 零指数幂和负整数指数幂的概念。
难点 认识零指数幂和负整数指数幂的产生过程。
【教学过程】
创设情景，引出课题
1.提问：同底数幂相除的法则怎样？
2.设问：怎样计算a3÷a3，a2÷a5呢？同底数幂相除的法则能否推广到m=n或m交流对话，探究新知
1.探究m=n的情况
⑴怎样计算：53÷53呢
一方面，仿照同底数幂相除的法则计算：53÷53=53–3=50，这里出现了零指数，50该等于多少呢？另一方面，53÷53=125÷125=1。所以合理的解析是50=1。
⑵类似地探究：a3÷a3 (a≠0)
⑶教师讲述：为使同底数幂相除法则在m=n时仍能适用，我们规定：任何不等于零的数的零次幂都等于1。即a0=1（a≠0）
说明：零的零次幂没有意义。
⑷口答：(–1)0，(–2)0
2.探究m⑴怎样计算：32÷35
一方面，仿照同底数幂相除的法则计算：32÷35=32–5=3–3，这里出现了负指数，3–3该等于多少呢？另一方面，32÷35= = = 。所以合理的结果是3–3= 。
⑵类似地探究：a2÷a5 (a≠0)
⑶教师讲述：为使同底数幂相除法则在m说明：零的负次幂没有意义。
⑷计算：3–2， 2–1， (–3)–2， (–2)–3， (–1)–1
评注：注意符号！
应用新知，深化理解
1.基本题型
〖例1〗用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值：
⑴ 10–3 ⑵ (–0.5)–3 ⑶ (–3)–4
〖例2〗计算：
⑴ 950(–5)–1 ⑵ 3.610–3 ⑶ a3÷(–10)0 ⑷ (–3)5÷36
说明：按课本讲解、板书，强调运算顺序。
2.拓展
规定了零指数幂与负整数指数幂的意义，就把指数从正整数推广到了整数。正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用。如a2b–3 = a2+(–3) = a–1 = ，a3÷a–1 = a3– (–1) = a4
〖例3〗计算：
⑴ a(a2)–3÷a–5 ⑵ (ab2)–3÷(2a2b–1)2
3.应用性探究
设问：在函数型计数器中，输入0.00050.00007后，显示为3.510–08 ,这表示什么意思呢？
先请口答：100=___，10–1=____，10–2=_____，10–3=______，10–4=_______。
你能发现用10的负整数指数幂表示这样较小的数的规律吗？
用科学记数法表示325000=________。你能用类似的方法表示0.000325吗？
〖例4〗把下列各数表示成a10n (1≤a<10,n为整数)的形式：
⑴0.000325 ⑵ 0.0000501 ⑶ –0.00043
课内练习
完成“课内练习”1，2，3
课堂小结
1.零指数幂和负整数指数幂的概念；
2.用科学记数法表示数的一般形式是a10 n (1≤a<10,n为整数)。
作业。
见作业本
5.7 整式的除法
〖教学目标〗
◆1、经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算；
◆2、理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力。
◆3、使学生熟练地掌握单项式除以单项式,多项式除以单项式的法则，并能准确地进行运算。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：理解单项式除以单项式,多项式除以单项式的运算法则是本节的重点。
◆教学难点：确实弄清单项式除法、多项式除以单项式的导出过程是本节的难点。
〖教学方法〗启发式教学 、合作学习、探索讨论、归纳总结。
〖教学手段〗现代课堂教学手段，课件。
〖教学过程〗
（一）、 从学生原有认知结构提出问题
1．叙述用字母表示幂的运算性质：
(1)am×an= (2) (an)m= (3)(ab)n=
(4) am÷an= (5) a0= (a≠) (6) a-p=
2．计算：
(1)a20÷a10 (2) ( c)4 ÷( c)2
(3) (a2)3 ·(-a3 )÷(a3)5 ； (4) (x4)6 ÷(x6)2 ·(-x4 )2
（二）、师生共同研究单项式除以单项式的运算法则
1．创设情景，引入新课
（1）月球距离地球大约3.84×108千米，杨立伟乘坐的“神州五号”飞船的速度约为1.12×104千米／时，如果他乘坐此飞船飞行月球这么远的距离，大约需要多少时间？
2．类比探索
（1） （2）
（3）
提醒：可以用类似于分数约分的方法来计算。
3．观察归纳寻找法则(议一议)
讨论：通过上面的计算，该如何进行单项式除以单项式的运算？
结论：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例题讲解：
1、计算:（1） ; （2）
2、计算: (3)； （4）.
补充计算2的目的是:运算顺序;整体思想.
5．巩固练习:
1计算：
（1） （2）
（3）
（三）、师生共同研究多项式除以单项式的运算法则
1.法则的推导．
引例：(１４a3－７a2)÷７a =(？)
分析：
利用除法是乘法的逆运算的规定，我们可将上式化为
７a·( ？ )= １４a3－７a2．
原乘法运算： 乘式 乘式 积
(现除法运算)：(除式) (待求的商式) (被除式)
然后充分利用单项式乘多项式的运算法则，引导学生对“待求的商式”做大胆的猜测：大体上可以从结构(应是单项式还是多项式)、项数、各项的符号能否确定、各具体的项能否“猜”出几方面去思考．根据课上学生领悟的情况，考虑是否由学生完成引例的解答．
解：(１４a3－７a2)÷７a
=１４a3÷７a －７a2÷７a
=2a2-a．
以上的思想，可以概括为“法则”：
(am+bm+cm)÷m = am÷m+bm÷m+cm÷m
法则的语言表达是
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加
2．巩固法则．
例1 计算：
(l) (3x2y-xy2+xy)÷(xy)
= -3x2y ÷(xy )+ xy2÷(xy) -xy ÷xy
= -6x+2y-1
6.课内练习:P143
小 结：
(1)弄清单项式除法的含义及法则;
(2)多项式除以单项式是利用相应法则，转化为单项式除以单项式而求得结果的． 要特别注意:当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反(先要确定符号)；
作 业： 课本P143习题
教学后记：
n
a
m
右侧
矮柜
矮柜
b
（a + b） × （a - b） = a２- b２
两数和 两数差 两数平方差
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差
b
a
a
b
