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《4.1因式分解》学案
课题
因式分解
学科
数学
年级
七下
学习目标
1.理解因式分解的概念和意义
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
教学过程
知识链接
你能用几种不同的方法计算下列结果，哪种方法最简单？
(1)若a=101，b=99.则a2-b2=___________(2)若a=101,b=-1,则a2-2ab+b2=___________(3)若x=-3,则20x2+60x=____________
合作探究
1.在小学里,我们学过:
2×3×4=24
(
)24
=
2×3×4
(
)2.第三章里,我们学过:
x
(x
-
y)
=
(
)x2
-
xy
=
x
(x
-
y)
(
)观察下列两种代数式的变形，它们之间有什么关系？定义：（请完成巩固练习的对应练习题1、2、3）想一想：通过练习2的学习你能说出因式分解与整式乘法它们之间有什么关系吗?
例1.
检验下列因式分解是否正确.例2.计算下列各题，并说明你的算法.（1）872+87×13
（2）1012
-
99
2
巩固练习
1.先写出整式相乘（其中至少一个多项式）的例子，然后以乘出来的多项式为例，让你的同伴写出相应多项式的因式分解？把结果与你的同伴交流。2.下列代数式变形中，哪些是因式分解?哪些不是？(1)2m(m-n)=2m2-2mn(2)ab2-ab=ab(b-2)(3)4x2-4x+1=(2x-1)2(4)x2-3x+1=x(x-3)+13、把左、右两边相等的代数式用线连起来
当堂检测
1、下列等式中，哪些从左到右的变形是分解因式？（1）x+2y-(x+y)+y
（2）p(q+h)-pq+ph（3）4a2-4a+1=4a(a-1)+1
（4）5x2-10xy=5xy(x-2y)2、检查下列因式分解是否正确。（1）a3+a2+a=a(a2+a)
（2）-2a2+4a=-2a(a+2)（3）x2+xy=x(x+y)
（4）x2+x-6=(x-2)(x+3)3、如图：用1张如图甲的正方形纸片，3张如图乙的长方形纸片片，2张如图丙的正方形纸片可以拼成一个长方形如图丁。请写出表示图丁面积的一个多项式，并将其因式分解。4、多项式x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5)则m=_____,n=_____5、若多项式x2-4x+k有一个因式是x+2,求k的值。6、计算(a2-b2)÷(a+b)=_________
小结反思
今天你有哪些收获呢？
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《4.1因式分解》教案
课题
因式分解
学科
数学
年级
七下
教学目标
1.理解因式分解的概念和意义
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
3.由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。
重点难点
重点：因式分解的概念；难点：明确因式分解与整式乘法的关系及运用整式乘法的有关法则解决因式分解的相应问题。
教学过程
知识链接
你能用几种不同的方法计算下列结果，哪种方法最简单？请与你的同伴交流。
(1)若a=101，b=99.则a2-b2=___________(2)若a=101,b=-1,则a2-2ab+b2=___________(3)若x=-3,则20x2+60x=____________
合作探究
1.在小学里,我们学过:
2×3×4=24
(
)24
=
2×3×4
(
)2.第三章里,我们学过:
x
(x
-
y)
=
(
)x2
-
xy
=
x
(x
-
y)
(
)而在代数式中，我们也需要常常把一个多项式转化为几个整式的积.像这样把多项式转化为两个整式的积的形式，是一种重要的代数式变形。观察下列两种代数式的变形，它们之间有什么关系？定义（板书）：一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
要点：１．变形对象：多项式
２．由和的形式变成积的形式
３．几个整式的积
（请完成巩固练习的对应练习题1、2、3）想一想：通过练习2的学习你能说出因式分解与整式乘法它们之间有什么关系吗?结论：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。
例1.
检验下列因式分解是否正确.分析：检验因式分解是否正确。只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.例2.计算下列各题，并说明你的算法.（1）872+87×13
（2）1012
-
99
2解：（1）原式=87×（87+13）=8700，利用了因式分解的变形方法；（2）原式=（101+99）×（101-99）=200×2=400，利用了因式分解的变形方法.
巩固练习
1.先写出整式相乘（其中至少一个多项式）的例子，然后以乘出来的多项式为例，让你的同伴写出相应多项式的因式分解？把结果与你的同伴交流。（教师可以选择其中2组让学生展示，注重评价）2.下列代数式变形中，哪些是因式分解?哪些不是？(1)2m(m-n)=2m2-2mn(2)ab2-ab=ab(b-2)(3)4x2-4x+1=(2x-1)2(4)x2-3x+1=x(x-3)+1答案：√
√
√
×注意！！特点：左边是多项式，右边是整式的积3、把左、右两边相等的代数式用线连起来答案：左边1连右边2，左边2连右边3，左边3连右边1，左边4连右边4
当堂检测
1、下列等式中，哪些从左到右的变形是分解因式？（1）x+2y-(x+y)+y
（2）p(q+h)-pq+ph（3）4a2-4a+1=4a(a-1)+1
（4）5x2-10xy=5xy(x-2y)（是）2、检查下列因式分解是否正确。（1）a3+a2+a=a(a2+a)
（2）-2a2+4a=-2a(a+2)（3）x2+xy=x(x+y)
（4）x2+x-6=(x-2)(x+3)解：（1）错误,原式=a(a2+a+1)
（2）错误，原式=-2a(a-2)
（3）正确
（4）正确3、如图：用1张如图甲的正方形纸片，3张如图乙的长方形纸片片，2张如图丙的正方形纸片可以拼成一个长方形如图丁。请写出表示图丁面积的一个多项式，并将其因式分解。x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y)4、多项式x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5)则m=_____,n=_____解析：∵(x-2)(x-5)=x2-7x+10∴m=-7,n=105、若多项式x2-4x+k有一个因式是x+2,求k的值。解析：设x2-4x+k=(x+2)(x+n)
∵(x+2)(x+n)=x2+(2+n)x+2n
∴2+n=-4,2n=k
∴n=-6,k=-12
6、计算(a2-b2)÷(a+b)=_________解析：∵(a2-b2)=(a+b)(a-b)∴原式=a-b
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4.1因式分解
浙教版
七年级下
新知导入
看谁算的又对又快？
(1)若a=101，b=99.则a2-b2=___________
(2)若a=101,b=-1,则a2-2ab+b2=___________
(3)若x=-3,则20x2+60x=____________
400
10000
0
说一说谁的算法更简便！
新知导入
1.在小学里,我们学过:
2×3×4=24
(
)
整数乘法
24
=
2×3×4
(
)
因数分解
2.第三章里,我们学过:
x
(x
-
y)
=
(
)
x2
-
xy
整式乘法
x2
-
xy
=
x
(x
-
y)
(
)
?
因式分解
新知讲解
而在代数式中，我们也需要常常把一个多项式转化为几个整式的积.
根据等式的性质
↓
像这样把多项式转化为两个整式的积的形式，是一种重要的代数式变形。
新知讲解
观察下列两种代数式的变形，它们之间有什么关系？
一般地，把一个
化成几个
的
的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式.
积
巩固练习
1.先写出整式相乘（其中至少一个多项式）的例子，然后以乘出来的多项式为例，让你的同伴写出相应多项式的因式分解？把结果与你的同伴交流。
2.下列代数式变形中，哪些是因式分解?哪些不是？
注意！！特点：左边是多项式，右边是整式的积
√
√
√
×
巩固练习
3、把左、右两边相等的代数式用线连起来
2a2-2a
a2+6a+9
4-a2
3a2+12
(2-a)(2+a)
2a(a-1)
(a+3)2
3a(a+4)
新知讲解
通过练习2的学习你能说出因式分解与整式乘法它们之间有什么关系吗?
结论：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。
例题讲解
例1.
检验下列因式分解是否正确.
分析：检验因式分解是否正确。只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.
例题讲解
解：
例题讲解
例2.计算下列各题，并说明你的算法.
（1）87
2
+
87
×13
（2）1012
-
99
2
解：
（1）原式=87×（87+13）=8700，利用了因式分解的变形方法；
（2）原式=（101+99）×（101-99）=200×2=400，利用了因式分解的变形方法.
当堂检测
1、下列等式中，哪些从左到右的变形是分解因式？
（1）x+2y-(x+y)+y
（2）p(q+h)-pq+ph
（3）4a2-4a+1=4a(a-1)+1
（4）5x2-10xy=5xy(x-2y)
2、检查下列因式分解是否正确。
（1）a3+a2+a=a(a2+a)
（2）-2a2+4a=-2a(a+2)
（3）x2+xy=x(x+y)
（4）x2+x-6=(x-2)(x+3)
解：（1）错误,原式=a(a2+a+1)
（2）错误，原式=-2a(a-2)
（3）正确
（4）正确
√
当堂检测
3、如图：用1张如图甲的正方形纸片，3张如图乙的长方形纸片片，2张如图丙的正方形纸片可以拼成一个长方形如图丁。请写出表示图丁面积的一个多项式，并将其因式分解。
x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y)
4、多项式x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5)则m=_____,n=_____
当堂检测
解析：∵(x-2)(x-5)=x2-7x+10∴m=-7,n=10
解析：∵(a2-b2)=(a+b)(a-b)∴原式=a-b
5、若多项式x2-4x+k有一个因式是x+2,求k的值。
解析：设x2-4x+k=(x+2)(x+n)
∵(x+2)(x+n)=x2+(2+n)x+2n
∴2+n=-4,2n=k
∴n=-6,k=-12
课堂总结
今天你有哪些收获呢？
作业布置
教材同步练习题
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