【单元测评培优卷】第5章 分式（原版+解析版）

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2020-2021学年浙教版七年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第5章
分式
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·广东八年级期末）下列各分式中，最简分式是(
)
A．
B．
C．
D．
2．（2020·北京市第一六一中学九年级）如果m﹣n﹣3＝0，那么代数式的值为（　　）
A．3
B．2
C．﹣3
D．﹣2
3．（2020·河南九年级）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·重庆礼嘉中学八年级月考）如果把中的和都扩大6倍，那么分式的值（
）
A．扩大6倍
B．不变
C．缩小6倍
D．扩大5倍
5．（2020·河北八年级期末）甲乙丙丁四个同学玩接力游戏，合作完成一道分式计算题，要求每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如下所示，接力中出错误的是（
）
甲
乙
丙
丁
A．只有乙
B．甲和丁
C．丙和丁
D．乙和丁
6．（2021·河南东方二中九年级开学考试）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程(
)
A．
B．
C．
D．
7．（2020·南县官成镇第三初级中学八年级月考）若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　）
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
8．（2020·安徽九年级）已知关于x的分式方程=1的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A．m≥3
B．m＞3
C．m≥3且m≠2
D．m<
3且m≠2
9．（2020·浙江八年级期末）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（　　）
A．12
B．14
C．
D．9
10．（2020·全国七年级专题练习）已知关于的分式方程无解，则的值为（
）
A．
B．或
C．
D．或或
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020·上海七年级期末）当_________时，分式的值为0．
12．（2020·山东八年级期末）不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则______.
13．（2020·江苏南通第一初中八年级期末）已知，则分式__________．
14．（2020·湖北九年级）黄冈首届国际半程马拉松将于5月6日在遗爱湖公园起跑.小林与小雨两名同学为参加比赛，在学校运动场400米环形跑道上进行训练.两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，已知每隔12分钟小林追上小雨一次，小林每圈花费的时间比小雨少10秒，则小林跑步的速度为每秒___米
15．（2020·河北九年级）按如图所示的程序，若输入一个数字x，经过一次运算后，可得对应的y值．若输入的x值为﹣5，则输出的y值为_____；若依次输入5个连续的自然数，输出的y的平均数的倒数是50，则所输入的最小的自然数是_____．
16．（2019·山东八年级期末）阅读材料：方程的解为，方程的解为，方程的解为，根据你发现的方程的规律，写出解是的对应方程为____________________.
17．（2021·上海民办张江集团学校八年级月考）如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为_____________．
18．（2020·浙江七年级期末）如图，一个长方形窗框被分成上下两个长方形，上部分长方形又被分成三个小长方形，其中，为的四等分点（在左侧）且．一晾衣杆斜靠在窗框上的位置，为中点．若，分长方形的左右面积之比为，则分长方形的左右面积之比为________．（用含，的代数式表示）
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·北京市顺义区仁和中学八年级月考）解方程
（1）
（2）
20．（2020·湖北中考真题）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？
21．（2020·山东九年级）先化简，再求值：（）（），其中x=4．
22．（2020·北京八年级期末）阅读下列材料，然后回答问题
.
已知
，，，，，，….，当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，.
（1）求；（用含的代数式表示）
（2）直接写出
；（用含的代数式表示）
（3）计算：=
．
23．（2020·重庆八年级期末）阅读并完成下列问题
通过观察，发现方程：x+＝2+的解是：x1＝2，x2＝；
x+＝3+的解是：x1＝3，x2＝；
x+＝4+的解是：x1＝4，x2＝；
……
（1）观察方程的解，猜想关于x的方程x+＝10+的解是　
　；根据以上规律，猜想关于x的方程x+＝m+的解是　
　；
（2）利用上述规律解关于x的方程＝a+．
24．（2021·江苏七年级期中）“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.
（分数运算）怎样理解？
从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即.
（尝试推广）（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；
②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.
（2）①观察下图，填空：____________；
②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.
25．（2020·湖北八年级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4
即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
2020-2021学年浙教版七年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第5章
分式
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·广东八年级期末）下列各分式中，最简分式是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据最简分式的概念，可把各分式因式分解后，看分子分母有没有公因式.
【详解】=，不是最简分式；=y-x，不是最简分式；是最简分式；==，不是最简分式.故选C.
【点睛】此题主要考查了最简分式的概念，看分式的分子分母有没有能约分的公因式是解题关键.
2．（2020·北京市第一六一中学九年级）如果m﹣n﹣3＝0，那么代数式的值为（　　）
A．3
B．2
C．﹣3
D．﹣2
【答案】A
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m﹣n＝3代入计算可得．
【详解】解：＝＝m﹣n，
∵m﹣n﹣3＝0，∴m﹣n＝3，∴原式＝m﹣n＝3，故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
3．（2020·河南九年级）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可．
【详解】解：∴方程表达为：
解得：，经检验，是原方程的解，故选：B．
【点睛】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．
4．（2020·重庆礼嘉中学八年级月考）如果把中的和都扩大6倍，那么分式的值（
）
A．扩大6倍
B．不变
C．缩小6倍
D．扩大5倍
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质即可得．
【详解】把和都扩大6倍后的分式为，即分式的值不变，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
5．（2020·河北八年级期末）甲乙丙丁四个同学玩接力游戏，合作完成一道分式计算题，要求每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如下所示，接力中出错误的是（
）
甲
乙
丙
丁
A．只有乙
B．甲和丁
C．丙和丁
D．乙和丁
【答案】C
【分析】根据异分母分式加减法进行分析即可.
【详解】正确解法：
所以丙，丁错误故选：C
【点睛】考核知识点：分式加减法.掌握分式加减法则是关键.
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
6．（2021·河南东方二中九年级开学考试）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm，则根据题意可得方程(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8．
【详解】原计划用的时间为：，实际用的时间为：．所列方程为：
-=8．故选A
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．
7．（2020·南县官成镇第三初级中学八年级月考）若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　）
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
【答案】B
【分析】先化简分式，若的值为整数即的值为整数，故（x-2）为4的因数，由此确定整数x的值.
【详解】原式＝，
因为x为整数，分式的值也为整数，且x≠-2，
所以分式的值分别为﹣2、﹣4、4、2、1时，得X=0、1、3、4、6，
所以所有符合条件的x的值有5个．故选：B．
【点睛】此题考察分式的化简，分式有意义的条件，根据分式的值为0确定分母的值，由此得出x的值，注意分母中虽约去了（x+2），但是要考虑到x≠-2，避免错误.
8．（2020·安徽九年级）已知关于x的分式方程=1的解是正数，则m的取值范围是（　　）
A．m≥3
B．m＞3
C．m≥3且m≠2
D．m<
3且m≠2
【答案】B
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】解：去分母得m-2=x+1，∴x=m-3，∵x＞0，∴m-3＞0，解得m＞3，
∵x+1≠0，即x≠-1，∴m-3≠-1，解得m≠2，∴m的取值范围是m＞3故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的解，解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．注意分式方程分母不等于0．
9．（2020·浙江八年级期末）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（　　）
A．12
B．14
C．
D．9
【答案】A
【分析】把两边加上3，变形可得，两边除以得到，则，从而得到的值．
【详解】解：，，
即，，
而，，．故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．解决问题的关键是从后面的式子变形出．
10．（2020·全国七年级专题练习）已知关于的分式方程无解，则的值为（
）
A．
B．或
C．
D．或或
【答案】D
【分析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.
【详解】解：由得x=
∵分式方程无解∴=±2或m+4=0
∴m=0或m=-8或∴或或故答案为D.
【点睛】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.
的式子即为分式．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020·上海七年级期末）当_________时，分式的值为0．
【答案】
【分析】分式有意义的条件是分母不为0；分式的值是0的条件是分母≠0且分子=0．
【详解】若分式的值为0，则2-x≠0且=0，即x=-2．故答案为:-2．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义，并考查了分式值是0的条件．
12．（2020·山东八年级期末）不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则______.
【答案】
【分析】根据分式的性质，可得答案．
【详解】解：分子分母都乘以3，得，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键．
13．（2020·江苏南通第一初中八年级期末）已知，则分式__________．
【答案】
【分析】首先把两边同时乘以，可得
，进而可得，然后再利用代入法求值即可．
【详解】解：∵，∴
，∴，
∴故答案为：
【点睛】此题主要考查了分式化简求值，关键是掌握代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．
14．（2020·湖北九年级）黄冈首届国际半程马拉松将于5月6日在遗爱湖公园起跑.小林与小雨两名同学为参加比赛，在学校运动场400米环形跑道上进行训练.两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，已知每隔12分钟小林追上小雨一次，小林每圈花费的时间比小雨少10秒，则小林跑步的速度为每秒___米
【答案】5
【分析】设小林的速度为每秒x米，根据题意求得小雨的速度，再依据已知的等量关系列出分式方程即可解得此题.
【详解】设小林的速度为每秒x米，∵每隔12分钟小林追上小雨一次，
∴小雨的速度=
（米/秒），由题意得：
，
解得：x1=5，x2=（不合题意舍去），经检验，x=5是原分式方程的解.故填：5.
【点睛】此题考查分式方程的实际应用，设出小林的速度，根据题意得到小雨的速度是解题的关键，由此即可列出分式方程解答.
15．（2020·河北九年级）按如图所示的程序，若输入一个数字x，经过一次运算后，可得对应的y值．若输入的x值为﹣5，则输出的y值为_____；若依次输入5个连续的自然数，输出的y的平均数的倒数是50，则所输入的最小的自然数是_____．
【答案】
5
【分析】①将x=-5代入计算可得答案；②根据平均数的概念可得：++++=，即，进一步计算即可求得答案．
【详解】解：①当x=-5时，；
②根据平均数的概念可得：++++=，
即，
∴
解得x＝5或x＝-10（舍去），故答案为：；5．
【点睛】本题主要考察了流程图与有理数计算、分式方程求解，解题的关键在于读懂流程图的含义，并将x代入式子进行求解．
16．（2019·山东八年级期末）阅读材料：方程的解为，方程的解为，方程的解为，根据你发现的方程的规律，写出解是的对应方程为____________________.
【答案】
【分析】观察方程左边第二项的分母分别是x，x-1，x-2，可知解是的对应方程左边第二项的分母是x-（n-1），其它分母的情况对照与此分母的关系可分别写出.
【详解】解：解是的对应方程为.
【点睛】本题考查根据分式方程解的规律来写分式方程，观察所给的材料信息时，要注意从特殊形式到一般形式的规律与特征．
17．（2021·上海民办张江集团学校八年级月考）如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为_____________．
【答案】或．
【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：原方程变形为，
方程去分母后得：，
整理得：，分以下两种情况：
令，，；
令，，，
综上所述，的值为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于的方程是解题关键．
18．（2020·浙江七年级期末）如图，一个长方形窗框被分成上下两个长方形，上部分长方形又被分成三个小长方形，其中，为的四等分点（在左侧）且．一晾衣杆斜靠在窗框上的位置，为中点．若，分长方形的左右面积之比为，则分长方形的左右面积之比为________．（用含，的代数式表示）
【答案】
【分析】根据梯形的面积公式列代数式即可得到结论．
【详解】∵BC＝4，P为BC中点，∴AD＝EF＝4，PB＝PC＝2，
∵G，H为AD的四等分点，∴AG＝1，DG＝3，
∵PG分长方形BEFC的左右面积之比为a：b，
∴[BE?（EQ＋BP）]：[BE?（FQ＋PC）]＝a：b，
∴（EQ＋2）：（4?EQ＋2）＝a：b，∴EQ＝，
∴FQ＝4?EQ＝4?=，
∴PG分长方形AEFD的左右面积之比为：[AE?（AG＋EQ）]：[AE?（DG＋FQ）]＝（1＋）：（3＋）＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式及分式的运算，梯形面积的计算，正确识别图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·北京市顺义区仁和中学八年级月考）解方程
（1）
（2）
【答案】（1）无解；（2）无解
【分析】去分母化为整式方程，再求解，最后检验．
【详解】解：（1）
去分母得：，
展开得：，
整理得：，
解得：x=1，
经检验：x=1是原方程的增根，
故原方程无解；
（2）
去分母得：，
去括号得：，
解得：x=1，
经检验：x=1是原方程的增根，
故原方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是掌握解法，同时还要注意检验．
20．（2020·湖北中考真题）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？
【答案】现在每天用水量是8吨．
【分析】设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为吨，原来使用的天数为天，现在使用的天数为天，根据120吨水现在使用的天数比原来使用的天数多用3天列出方程求解即可.
【详解】设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为吨，根据题意得，
-=3解得，x=10，经检验，x=10是原方程的根.∴吨，
答：现在每天用水量是8吨．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求解后要进行检验．
21．（2020·山东九年级）先化简，再求值：（）（），其中x=4．
【答案】x﹣2，2
【分析】原式括号中进行计算，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=[+]?[﹣]
=
?（﹣）=?=x﹣2，
当x=4时，原式=4﹣2=2．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（2020·北京八年级期末）阅读下列材料，然后回答问题
.
已知
，，，，，，….，当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，.
（1）求；（用含的代数式表示）
（2）直接写出
；（用含的代数式表示）
（3）计算：=
．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先计算出S2，再计算出S3即可.（2）根据S1，S2，S3，S4，S5，S6，….的值，得出当n为大于1的偶数时的结果的规律，从而得出结果.（3）根据式子的规律，第n项奇数项与第n+1项偶数项相加得-1，可得出结果.
【详解】（1）∵
，∴∴
（2）由题意，可得，S5=-a-1,S6=a,……
根据以上结果可知，S7=S1,后面每6个数就依次循环一次
∵2020=336×6+4，∴
（3）
=（-1）+（-1）+（-1）+…+（-1）=
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的特点，利用技巧进行解答．
23．（2020·重庆八年级期末）阅读并完成下列问题
通过观察，发现方程：x+＝2+的解是：x1＝2，x2＝；
x+＝3+的解是：x1＝3，x2＝；
x+＝4+的解是：x1＝4，x2＝；
……
（1）观察方程的解，猜想关于x的方程x+＝10+的解是　
　；根据以上规律，猜想关于x的方程x+＝m+的解是　
　；
（2）利用上述规律解关于x的方程＝a+．
【答案】（1）x1＝10，x2＝；x1＝m，x2＝；（2）x1＝a，x2＝．
【分析】根据例题可以得到：方程的左边与右边的式子形式完全相同，只是左边是未知数，右边是把未知数换成了具体的数，则方程的解是方程右边的两部分，据此即可求解．
(1)根据已知分式方程的变化规律进而得出第10个方程，第m个方程的解；?
(2)利用已知解题方法得出方程的解．
【详解】（1）观察方程的解，猜想关于x的方程x+＝10+的解是x1＝10，x2＝；根据以上规律，猜想关于x的方程x+＝m+的解是x1＝m，x2＝；
故答案为：x1＝10，x2＝；x1＝m，x2＝；
（2）方程整理得：x+＝a+，即x﹣2+＝a﹣2+，
可得x﹣2＝a﹣2或x﹣2＝，解得：x1＝a，x2＝．
【点睛】本题考查分式方程的解，正确理解例题，发现方程与解之间的关系：方程的左边与右边的式子形式完全相同，只是左边是未知数，右边是把未知数换成了具体的数，则方程的解是方程右边的两部分，是解题的关键．
24．（2021·江苏七年级期中）“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.
（分数运算）
怎样理解？
从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即.
（尝试推广）
（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；
②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.
（2）①观察下图，填空：____________；
②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.
【答案】（1）①
②见解析
（2）①
②见解析
【分析】（1）长方形先被平均分成份，取其中的份；再将涂色部分平均分成份，取其中的份，这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即；
（2）长方形先被横向平均分成份，取其中1份，该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份，这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原来长方形的，即；
【详解】解：（1）①；故答案为；
②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂部分）；再将涂色部分平均分成c份，取其中d份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即.
（2）①（）
②长方形先被横向平均分成（）份，取其中的1份（涂部分）；
该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份（涂部分）.
这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，
所以占原长方形的，即.
【点睛】本题考查分式的性质；能够仿照分数的例子得到分式的性质，画出合适的图形是解题的关键．
25．（2020·湖北八年级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4
即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
【答案】（1）5；（2）；（3）
【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
（2）仿照材料二，设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；
（3）本题介绍两种解法：
解法一：（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），化简得：①，②，③，相加变形可得x、y、z的代入＝中，可得k的值，从而得结论；
解法二：取倒数得：＝＝，拆项得，从而得x＝，z＝，代入已知可得结论．
【详解】解：（1）∵＝，∴＝4，∴x﹣1+＝4，∴x+＝5；
（2）∵设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，∴＝＝＝；
（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），
∴①，②，③，
①+②+③得：2（）＝3k，
＝k④，
④﹣①得：＝k，④﹣②得：，④﹣③得：k，
∴x＝，y＝，z＝代入＝中，得＝，，k＝4，
∴x＝，y＝，z＝，∴xyz＝＝＝；
解法二：∵，∴，
∴，∴，∴，
将其代入中得：
＝＝，y＝，
∴x＝，z＝＝，∴xyz＝＝．
【点睛】本题考查了以新运算的方式求一个式子的值，题目中涉及了求一个数的倒数，约分，等式的基本性质，求代数式的值，解决本题的关键是正确理解新运算的内涵，确定一个数的倒数并能够根据等式的基本性质将原式变为能够进一步运算的式子.
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精品试卷·第
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