4.4二元一次方程组的应用（1）

4.4二元一次方程组的应用（1）
教学目标：
知识目标：1、掌握应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤；
2、学生学会利用列表、画线段图等辅助手段结合二元一次方程组的知识解决简单的实际问题。
能力目标：培养学生观察、分析、归纳及数学建模的能力。
情感目标：通过动手操作，激发学习兴趣，经历“思考-活动-交流”的学习过程，从中体验合作与成功的快乐。
教学重点：找等量关系列二元一次方程组。
教学难点：例1的问题创设情景比较复杂，不易列出方程。
教学方法：讲练结合与学生发现探究为主
教具：纸板及其展开图
我预学：模拟纸板材料预先发给学生，完成引例部分[目的:学生正处在好动阶段,对问题充满好奇心,让学生提前预习动手操作，一方面为例1突破难点打下基础，另一方面提高学生的动手操作和小组合作能力。]
教学过程：
一、创设情景，预学检测
竖式无盖纸盒（附展开图） 横式无盖纸盒（附展开图）
（模拟纸板材料）
我预学:如图：用10张正方形和20张长方形纸板作侧面和底面，做成竖式和横式两种无盖纸盒。小组合作，动手试一试，看哪个小组又快又不浪费材料。
师：请各个组派代表说出你们设计的制作方法，供大家参考。
生：我们发现两种纸盒需要的长方形和正方形的数量不一样，因此我们计算过发现当第一种盒子做2个，第二种盒子做一个的时候是最好的（学生用数字凑）
师：你们在设计的过程中考虑到不同类型需要的纸板有差别，差别在哪里？
生：在我们共同合作过程中，我们发现其实在“设计”不同类型的无盖长方体时，需要知道每种类型需要的长方形和正方形的数量，而且在我们的操作中我们意识到其实长方形和正方形的个数与两种类型的纸盒数量有关。（引出等量关系，由学生自己描述各种等量关系）
引例变身：用10张正方形和20张长方形纸板作侧面和底面，做成竖式和横式两种无盖纸盒，问各做多少种纸盒时能最省？
阶梯训练：（1）问题中所求的未知数有几个？
（2）有哪些等量关系？
（3）有哪些等量关系？
（4）怎样设未知数？可以列出几个方程？
（5）本例能用一元一次方程解吗？用二元一次方程组解有何优点？
（6）你觉得什么时候选择用二元一次方程组解决问题简单？
你的心得（让学生交流心得）
[设计说明]教材中的例1在本课时教学中设置成难点，针对难点，在教学中增加我预学部分，让学生设计，一方面以此来引起学生的学习兴趣，活跃气氛，提高学生的动手能力，并在此环节中添加小组合作，增进学生的组织合作能力，同时也为突破下面的难点打下基础。并设计简单的热身训练，以阶梯的方式设计多个小问题，降低学生的难点，借助问题的设置使学生发现等量关系，并在问题的设置中下意识的让学生体会解题的一般步骤，学会解决问题的关键等量关系的寻找。在最后的栏目中设置心得栏目，让学生自己归纳小结，也使预学达到一定的效果。
二、典型例题分析
例1 课本图4-10中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如课本图4-11的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完
多媒体显示一个竖式纸盒，横式纸盒的平面展开图，学生快速完成，并填写下表：
x只竖式纸盒 y只横式纸盒 合计
正方形纸板的张数 1000
长方形纸板的张数 2000
通过学生观察、思考、得到两个等量关系：
两种纸盒所用正方形纸板的张数的和＝1000(张)，
两种纸盒所用长方形纸板的张数的和＝2000(张)．
解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个。根据题意，
x＋2 y ＝1000
4x＋3y＝2000
解得 x＝200
y＝400
经检验，这个解满足方程组，且符合题意．
答：做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好将库存的纸板用完。
通过上面的例题，师生共同归纳应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：
(1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)
这时要明确问题中的已知量是什么，未知量是什么。根据问题的不同，用“列表”“图示”“语言式子”揭示出问题中已知量和未知量之间的直接关系或间接的等量关系。
(2)制订计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)
设未知数的方法有两种：一种是设直接未知数，就是把问题中要求的未知量用x，y等表示；另一种是间接设未知数，就是把与问题中要求的未知量相关的另一些未知量用x，y的代数式表示。哪一种设法便于列出方程组就选用哪一种．
在列方程组时，根据所设的未知数、已知量和未知量之间的等量关系列出方程组。要注意的是：方程组中每个方程之间应不等价；方程的个数和未知数的个数相等；方程两边所表示的量相同。
（3）执行计划(列出方程组并求解，得到答案)
解方程组时，应根据所列方程的特点选择最简便的方法求出方程组的解．
（4）回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意)。
所设的未知数常常受到某些条件的限制，因此，要检验并判断方程的解是否符合题意，最后写出答案。
[设计说明]通过此例让学生感受到数学与数学应用的普遍性与科学性。在引例热身的练习之下，学生对本来较复杂的例1的学习能较为轻松的面对。并提醒学生注意：必须检验所求出的未知量的值是否符合实际意义。
巩固练习1：如果有正方形纸板500张，长方形纸板100l张，那么能否做成若干只两种纸盒后，恰好把库存的纸板用完 说明理由．（课本P94）
解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据题意，得
x＋2 y ＝500 解得 x＝
4x＋3y＝1001 y＝
可见x，y不是自然数，不符合题意。所以不能做成若干只纸盒，恰好把库存的纸板用完。
[设计说明]通过本习题的练习是对本节课内容的一种巩固，并且在数字的设计上面，选择求出的答案不符合实际情况，进而排除答案。使学生在求解过程中充分意识到最后一环节回顾的重要性及其必要性。
三、探究尝试
题前热身：向学生提问，相遇问题的基本等量关系
[设计说明]本题是行程问题，在讲解时，将问题分解成两个相遇问题，充分利用图示，引导学生找出两个等量关系；但本身行程问题学生存在一定的困难，因此在此例前增加了此环节的设置，帮助学生复习回顾，降低下面问题难度。
例2甲、乙两人从相距36千米的两地匀速相向而行。如果甲比乙先走2时，那么他们在乙出发后经2.5时相遇；如果乙比甲先走2时，那么他们在甲出发后3时相遇。请分析题中的等量关系，你会用示意图表示数量关系吗？甲、乙两人各走多少千米？
（多媒体演示线段示意图，教师带领学生共同分析，板书过程图像。）
[设计说明]学生面对新问题，非常好奇兴奋，并积极思考，教师要抓住时机，与学生共同设计完成路程线段图，初步让学生体会建模解决问题的简单化，会用简单的路程图像表示数量关系。更好地发现题目中的各种路程关系，便于求解题目。
巩固练习2：甲、乙两人从相距18km的两地同时出发，相向而行，经过9/5时相遇。如果甲比乙先出发2/3时，那么在乙出发后经过3/2时两人相遇，求甲、乙两人的速度。（课本P95）
教师给予学生自主分析问题的时间，并让学生黑板上画出想到的线段图，教师与学生共同批改“作业”后让学生完成该练习的完整解答过程。
[设计说明]本题是行程问题，讲解时，应把问题分解成两个相遇问题，充分利用图示，引导学生找出两个等量关系．在讲解此例前，还应复习一下相遇问题的基本等量关系。
四、交流反思，自主建构
通过以上几个问题的解决，让学生谈谈对解决问题的感悟与体验：
1、列表与画线段图能有效地帮助我们分析问题，找出等量关系。
2、应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。
3、列二元一次方程组的关键是什么？应注意什么？
4、要注重理解问题与回顾反思的重要性。
5、建模的思想与方程的工具性。
[设计说明]自主归纳能有效地让学生把新知纳入自己的知识结构，当然，教师的强调、补充、修正是必不可少的；为了避免学生毫无目的、流于形式的随意讲，由教师根据本节课的教学目标适当引导，可使学生有的放矢，培养学生学会倾听他人意见和充分地发表自己的见解，从而在交流中获益。
五、板书设计
解决实际问题的基本步骤： 例1：
1、理解问题、2、制订计划、
3、执行计划、4、回顾
附：学案
一、我预学
列方程解应用题的一般步骤是：
竖式无盖纸盒（附展开图） 横式无盖纸盒（附展开图）
（模拟纸板材料）
课前热身:如图：用10张正方形和20张长方形纸板作侧面和底面，做成竖式和横式两种无盖纸盒。小组合作，动手试一试，看哪个小组又快又不浪费材料。
引例变身：用10张正方形和20张长方形纸板作侧面和底面，做成竖式和横式两种无盖纸盒，问各做多少种纸盒时能最省？
阶梯训练：（1）问题中所求的未知数有几个？
（2）研究这个问题时，你需要先了解哪些？
（3）有哪些等量关系？
（4）怎样设未知数？可以列出几个方程？
（5）本例能用一元一次方程解吗？用二元一次方程组解有何优点？
（6）你觉得什么时候选择用二元一次方程组解决问题简单？
你的心得：
二、典型例题分析
例1 课本图4-10中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如课本图4-11的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完
学生小组讨论，并填写下表：
x只竖式纸盒 y只横式纸盒 合计
正方形纸板的张数 1000
长方形纸板的张数 2000
通过观察、思考、得到两个等量关系：
通过上面的例题，归纳应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：
(1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)
这时要明确问题中的 量， 量。根据问题的不同，用“列表”“图示”“语言式子”揭示出问题中已知量和未知量之间的直接关系或间接的 。
(2)制订计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)
设未知数的方法有两种：一种是设 ，另一种是 ，就是把与问题中要求的未知量相关的另一些未知量用x，y的代数式表示。哪一种设法便于列出方程组就选用哪一种．
在列方程组时，根据所设的未知数、已知量和未知量之间的等量关系列出方程组。要注意的是：1、 ；2、 ； 。
（3）执行计划(列出方程组并求解，得到答案)
解方程组时，应根据所列方程的特点选择最简便的方法求出方程组的解．
（4）回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意)。
所设的未知数常常受到某些条件的限制，因此，要检验并判断方程的解是否符合 ，最后写出答案。
巩固练习1：如果有正方形纸板500张，长方形纸板100l张，那么能否做成若干只两种纸盒后，恰好把库存的纸板用完 说明理由．（课本P94）
三、探究尝试
题前热身：相遇问题的基本等量关系
例2甲、乙两人从相距36千米的两地匀速相向而行。如果甲比乙先走2时，那么他们在乙出发后经2.5时相遇；如果乙比甲先走2时，那么他们在甲出发后3时相遇。请分析题中的等量关系，你会用示意图表示数量关系吗？甲、乙两人各走多少千米？
巩固练习2：甲、乙两人从相距18km的两地同时出发，相向而行，经过9/5时相遇。如果甲比乙先出发2/3时，那么在乙出发后经过3/2时两人相遇，求甲、乙两人的速度。（课本P95）
四、交流反思，自主建构
通过以上几个问题的解决，让学生谈谈对解决问题的感悟与体验：
学生板演区
4.4解二元一次方程组的应用（1）
例2：