浙教版数学七年级下册单元专项训练四 因式分解（含答案）

浙教版数学七年级下册专项训练四 因式分解
一、选择题
1．【2019·株洲】下列各选项中因式分解正确的是(　　)
A．x2－1＝(x－1)2
B．a3－2a2＋a＝a2(a－2)
C．－2y2＋4y＝－2y(y＋2)
D．m2n－2mn＋n＝n(m－1)2
2．(1)下列代数式中，没有公因式的是(　　)
A．ab与b B．a＋b与a2＋b2
C．a＋b与a2－b2 D．x与6x2
(2)多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是(　　)
A．5mn B．5m2n2
C．5m2n D．5mn2
(3)将多项式－6a3b2－3a2b2因式分解时，应提取的公因式是(　　)
A．－3a2b2 B．－3ab
C．－3a2b D．－3a3b3
3．【2019·无锡】分解因式4x2－y2的结果是(　　)
A．(4x＋y)(4x－y) B．4(x＋y)(x－y)
C．(2x＋y)(2x－y) D．2(x＋y)(x－y)
4．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个长方形(如图)．根据图示可以验证的等式是(　　)
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a2－ab＝a(a－b)
5．【2019·临沂】将a3b－ab进行因式分解，正确的是(　　)
A．a(a2b－b) B．ab(a－1)2
C．ab(a＋1)(a－1) D．ab(a2－1)
6．【中考·厦门】设681×2019－681×2018＝a，2015×2016－2013×2018＝b，＝c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．bB．aC．bD．c7．【中考·贺州】n是整数，式子[1－(－1)n](n2－1)的计算结果(　　)
A．是0
B．总是奇数
C．总是偶数
D．可能是奇数也可能是偶数
二、填空题
8．因式分解
(1)【2019·南京】分解因式(a－b)2＋4ab的结果是________________．
(2)【2019·哈尔滨】把多项式a3－6a2b＋9ab2分解因式的结果是________________．
(3)【2019·广安】因式分解：3a4－3b4＝__________________．
9．因式分解：
(1)【中考·丽水】m2＋2m＝__________________；
(2)【2019·宁波】x2＋xy＝_______________；
(3)【2019·宿迁】a2－2a＝_______________；
(4)【2019·东营】x(x－3)－x＋3＝___________________．
10．把下列各式分解因式：
(1)【2019·大庆】a2b＋ab2－a－b＝_____________________．
(2)【2019·宜宾】b2＋c2＋2bc－a2＝_________________________．
(3)【2019·杭州】分解因式：1－x2＝___________．
(4)【2019·黔东南州】分解因式：9x2－y2＝______________．
(5)【2019·台州】分解因式：ax2－ay2＝__________________．
11．【中考·烟台】已知|x－y＋2|＋＝0，则x2－y2的值为________．
三、解答题
12．计算：
(1)2.1×31.4＋62×3.14＋0.17×314；
(2)×××…×；
(3)－101×190＋1012＋952.
13．对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2是否能被24整除？
14．已知三角形ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，试判断三角形ABC的形状．
15．长方形的周长为16 cm，它的两邻边长分别为x cm，y cm，且满足(x－y)2－2x＋2y＋1＝0.求其面积．
16．因式分解：
(1)a2－ab＋ac－bc；
(2)x3＋6x2－x－6.
17．因式分解：
(1)x2－y2－2x－4y－3；
(2)x4＋64.
18．因式分解：(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4.
19．已知a＋b＝1，ab＝，求代数式a3b－2a2b2＋ab3的值．
20．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0，求这个等腰三角形的周长．
21．阅读下列材料，然后解答问题：
分解因式：x3＋3x2－4.
解答：把x＝1代入多项式x3＋3x2－4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3＋3x2－4中有因式(x－1)，于是可设x3＋3x2－4＝(x－1)(x2＋mx＋n)，分别求出m，n的值，再代入x3＋3x2－4＝(x－1)(x2＋mx＋n)，就容易分解多项式x3＋3x2－4.这种分解因式的方法叫“试根法”．
(1)求上述式子中m，n的值；
(2)请你用“试根法”分解因式：x3＋x2－16x－16.

参考答案
一、选择题
1．【2019·株洲】下列各选项中因式分解正确的是(　　)
A．x2－1＝(x－1)2
B．a3－2a2＋a＝a2(a－2)
C．－2y2＋4y＝－2y(y＋2)
D．m2n－2mn＋n＝n(m－1)2
【点拨】A．x2－1＝(x＋1)(x－1)，故此选项错误；
B．a3－2a2＋a＝a(a－1)2，故此选项错误；
C．－2y2＋4y＝－2y(y－2)，故此选项错误；
D．m2n－2mn＋n＝n(m－1)2，故此选项正确．
【答案】D
2．(1)下列代数式中，没有公因式的是(　B　)
A．ab与b B．a＋b与a2＋b2
C．a＋b与a2－b2 D．x与6x2
(2)多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是(　C　)
A．5mn B．5m2n2
C．5m2n D．5mn2
(3)将多项式－6a3b2－3a2b2因式分解时，应提取的公因式是(　A　)
A．－3a2b2 B．－3ab
C．－3a2b D．－3a3b3
3．【2019·无锡】分解因式4x2－y2的结果是(　C　)
A．(4x＋y)(4x－y) B．4(x＋y)(x－y)
C．(2x＋y)(2x－y) D．2(x＋y)(x－y)
4．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个长方形(如图)．根据图示可以验证的等式是(　A　)
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a2－ab＝a(a－b)
5．【2019·临沂】将a3b－ab进行因式分解，正确的是(　C　)
A．a(a2b－b) B．ab(a－1)2
C．ab(a＋1)(a－1) D．ab(a2－1)
6．【中考·厦门】设681×2019－681×2018＝a，2015×2016－2013×2018＝b，＝c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．bB．aC．bD．c【点拨】∵a＝681×2 019－681×2 018
＝681×(2 019－2 018)
＝681×1
＝681，
b＝2 015×2 016－2 013×2 018
＝2 015×2 016－(2 015－2)×(2 016＋2)
＝2 015×2 016－2 015×2 016－2×2 015＋2×2 016＋2×2
＝－4 030＋4 032＋4
＝6，
c＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝<681，显然b【答案】A
7．【中考·贺州】n是整数，式子[1－(－1)n](n2－1)的计算结果(　　)
A．是0
B．总是奇数
C．总是偶数
D．可能是奇数也可能是偶数
【点拨】当n是偶数时，[1－(－1)n](n2－1)＝[1－1](n2－1)＝0；当n是奇数时，[1－(－1)n](n2－1)＝×(1＋1)(n＋1)(n－1)＝，设n＝2k－1(k为整数)，则＝＝k(k－1)．
∵0和k(k－1)(k为整数)都是偶数，∴选C.
【答案】C
二、填空题
8．因式分解
(1)【2019·南京】分解因式(a－b)2＋4ab的结果是___(a＋b)2_____________．
(2)【2019·哈尔滨】把多项式a3－6a2b＋9ab2分解因式的结果是__a(a－3b)2______________．
(3)【2019·广安】因式分解：3a4－3b4＝___3(a2＋b2)(a＋b)(a－b) _______________．
9．因式分解：
(1)【中考·丽水】m2＋2m＝_m(m＋2) ___________；
(2)【2019·宁波】x2＋xy＝_x(x＋y) _______；
(3)【2019·宿迁】a2－2a＝_a(a－2) _______；
(4)【2019·东营】x(x－3)－x＋3＝__(x－1)(x－3) __________．
10．把下列各式分解因式：
(1)【2019·大庆】a2b＋ab2－a－b＝___(ab－1)(a＋b) ___________．
【点拨】先分组，再利用提公因式法分解因式．原式＝ab(a＋b)－(a＋b)＝(ab－1)(a＋b)．
(2)【2019·宜宾】b2＋c2＋2bc－a2＝__(b＋c＋a)(b＋c－a) ________________．
【点拨】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．
(3)【2019·杭州】分解因式：1－x2＝_(1－x)(1＋x)___________．
(4)【2019·黔东南州】分解因式：9x2－y2＝__(3x＋y)(3x－y) ____________．
(5)【2019·台州】分解因式：ax2－ay2＝__a(x＋y)(x－y) ________________．
11．【中考·烟台】已知|x－y＋2|＋＝0，则x2－y2的值为__－4______．
【点拨】由|x－y＋2|＋＝0，根据非负数的性质，可求得x－y＝－2与x＋y＝2，继而由x2－y2＝(x－y)(x＋y)求得答案．
三、解答题
12．计算：
(1)2.1×31.4＋62×3.14＋0.17×314；
原式＝2.1×31.4＋6.2×31.4＋1.7×31.4
＝31.4×(2.1＋6.2＋1.7)
＝31.4×10＝314.
(2)×××…×；
解：原式＝××××××…× ×＝××××××…××＝×＝.
(3)－101×190＋1012＋952.
解：原式＝1012－2×101×95＋952＝(101－95)2＝36.
13．对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2是否能被24整除？
解：(n＋7)2－(n－5)2
＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋7)－(n－5)]
＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)
＝(2n＋2)×12＝24(n＋1)．
因为n是自然数，
所以(n＋7)2－(n－5)2能被24整除．
14．已知三角形ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，试判断三角形ABC的形状．
解：因为a2－b2＝ac－bc，所以(a－b)(a＋b)＝c(a－b)．
所以(a－b)(a＋b)－c(a－b)＝0.
所以(a－b)(a＋b－c)＝0.
因为a，b，c是三角形ABC的三边长，
所以a＋b－c≠0.所以a－b＝0.所以a＝b.
所以三角形ABC为等腰三角形．
15．长方形的周长为16 cm，它的两邻边长分别为x cm，y cm，且满足(x－y)2－2x＋2y＋1＝0.求其面积．
解：由题意，得2(x＋y)＝16，∴x＋y＝8.①
∵(x－y)2－2x＋2y＋1＝(x－y)2－2(x－y)＋1＝(x－y－1)2＝0，
∴x－y＝1.②
联立①②，得解得∴其面积为×＝(cm2)．
16．因式分解：
(1)a2－ab＋ac－bc；
【思路导引】按公因式分组，第一、二项有公因式a，第三、四项有公因式c，各自提取公因式后均剩下(a－b)；
解：原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)．
(2)x3＋6x2－x－6.
【思路导引】按系数特点分组，由系数特点知第一、三项为一组，第二、四项为一组．
解：原式＝(x3－x)＋(6x2－6)
＝x(x2－1)＋6(x2－1)
＝(x2－1)(x＋6)
＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
17．因式分解：
(1)x2－y2－2x－4y－3；
解：原式＝x2－y2－2x－4y－4＋1
＝(x2－2x＋1)－(y2＋4y＋4)
＝(x－1)2－(y＋2)2
＝[(x－1)＋(y＋2)][(x－1)－(y＋2)]
＝(x＋y＋1)(x－y－3)．
(2)x4＋64.
解：原式＝x4＋16x2－16x2＋64
＝(x4＋16x2＋64)－16x2
＝(x2＋8)2－(4x)2
＝(x2＋4x＋8)(x2－4x＋8)．
【点拨】拆项和添项是因式分解难以进行的情况下的一种辅助方法，通过适当的“拆项”或“添项”后再分组，最终达到因式分解的目的．
18．因式分解：(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4.
解：令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋4
＝y2＋2y－3＋4＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.
将y＝m2－2m代入上式，
则原式＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.
19．已知a＋b＝1，ab＝，求代数式a3b－2a2b2＋ab3的值．
【点拨】恒等变形的最后一步应用(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝a2＋2ab＋b2－4ab＝(a＋b)2－4ab，这一变形的目的是使所求的式子里含a＋b这样的项．
解：a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2
＝ab[(a＋b)2－4ab]．
因为a＋b＝1，ab＝，所以原式＝×＝.
20．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0，求这个等腰三角形的周长．
解：a2＋b2－4a－6b＋13＝(a－2)2＋(b－3)2＝0，故a＝2，b＝3.
当腰长为2时，则底边长为3，周长＝2＋2＋3＝7；
当腰长为3时，则底边长为2，周长＝3＋3＋2＝8.
所以这个等腰三角形的周长为7或8.
21．阅读下列材料，然后解答问题：
分解因式：x3＋3x2－4.
解答：把x＝1代入多项式x3＋3x2－4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3＋3x2－4中有因式(x－1)，于是可设x3＋3x2－4＝(x－1)(x2＋mx＋n)，分别求出m，n的值，再代入x3＋3x2－4＝(x－1)(x2＋mx＋n)，就容易分解多项式x3＋3x2－4.这种分解因式的方法叫“试根法”．
(1)求上述式子中m，n的值；
(2)请你用“试根法”分解因式：x3＋x2－16x－16.
解：(1)原式＝(x－1)(x2＋mx＋n)＝x3＋mx2＋nx－x2－mx－n＝x3＋(m－1)x2＋(n－m)x－n，根据题意得解得
(2)把x＝－1代入，发现多项式的值为0，∴多项式x3＋x2－16x－16中有因式(x＋1)，于是可设x3＋x2－16x－16＝(x＋1)(x2＋mx＋n)，可化为x3＋mx2＋nx＋x2＋mx＋n＝x3＋(m＋1)x2＋(m＋n)x＋n，可得解得
∴x3＋x2－16x－16＝(x＋1)(x2－16)＝(x＋1)(x＋4)(x－4)．