5.4乘法公式2

(共23张PPT)
乘法公式（2）
完全平方公式
张老汉和地主
a
a
5
5
从前张老汉到地主那租了一块正方形土地种植，有一天，张老汉想扩大种植面积，对地主说：“我把正方形的边长扩大，都加上5，然后多给你25平方的租金，您看可以吗”
地主说，可以，但是租金不止加25平方，还要多一些。
老张，怎么比25还要多，觉得委屈！你认为呢
公式的结构特征:
左边是
a2 b2;
两个二项式的乘积,
平方差公式
应用平方差公式的注意事项:
回顾 & 思考

(a+b)(a b)=
即两数和与这两数差的积.
右边是
这两数的平方差.
使用平方差公式(a+b)(a-b)=a -b 时，关键在于
找准_a__与_b__，公式左边积的两个因式中相同的
项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b。
想一想：下列各式能用平方差公式计算吗
运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式
(1)(3+x)2
=(3+x)(3+x)
=9+6x+x2
观察以上算式，你发现了什么规律？
(a+b)2=
a2 +2ab
+ b2
两数和的平方,等于这两数的平方和,加上这两数积的2倍
(2) (a+b)2 =
= a2+2ab+b2 .
(a+b)(a+b)
=9+3x+3x+x2
= a2+ab+ab+b2
算一算你发现什么
做一做:用两数和的完全平方公式计算(填空):
(a+1) 2 =____2 +2 . ___ . ___ + ___2 =_____________
(2) (2a+3b)2 =____2 +2 . ___ . ____+____2=____________
a
a
1
1
a2+2a+1
(2a)
3b
(3b)
2a
4a2+12ab+9b2
两数和的完全平方公式 (a+b)2 =
a2 +2ab
+ b2
提问:（a－b）2等于什么？
是否可以写成[a＋（-b）]2 你能继续做下去吗？
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
a
a
b
b
(a-b)
a
ab
ab
b
b
b
完全平方差公式：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2的图形理解
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式
首平方，尾平方，首尾两倍中间放
公式变形为
（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
两数和的完全平方公式 (a+b)2 = a2+2ab+b2 .
两数差的完全平方公式 (a b)2 = a2 2ab+b2 .
这两个公式的区别与联系是什么
提示:
以上两个公式统称完全平 方公式.
平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
一般的，我们有以下两数和的完全平方公式：
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a 1)2＝2a2 2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) ( a 1)2＝ a2 2a 1.
解: (1)
第一数被平方时, 未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ;
应改为: (2a 1)2＝ (2a)2 2 2a 1+1;
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);
应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2 2a 1 +1;
(3) 第一数平方未添括号,
第一数与第二数乘积的2倍 错了符号;
第二数的平方 这一项错了符号;
应改为: ( a 1)2＝( a)2 2 ( a ) 1+12;
纠 错 练 习
(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
(a b)2 = a2 2ab+b2 .
课内练习：运用完全平方公式计算。
(2) (-2a2+b)2
例2、运用完全平方公式计算：
(1) ( 4a2 - b2 )2
(3) (2a-3b)2-2a(a-b)
生活在线：一花农有1块正方形茶花苗圃，边长为am。现将这块苗圃的边长都增加1.5m，求这块苗圃的面积增加了多少m 。
a
a
1.5
1.5
(a+1.5) -a
=a +3a+2.25-a
= 3a+2.25
例3：一花农有4块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m。现将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少m 。
解：设原正方形苗圃的边长为am,边长都增1.5m，
新正方形的边长为（a+1.5）m，
（a+1.5）2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25
当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55
当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75
类似地，当a=30， a=27时， 3a+2.25的值分别为92.25，83.25。
答：苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2,
92.25m2,83.25m2.
1、计算：
2、若 ，则
= 。
发散练习,勇于创新
1.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )
(A ) 11 (B) 9 (C) -11 (D) -9
2.已知(a+b)2=11 , ab=1 , 求(a-b)2的值.
B
完全平方公式
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
我们把完全平方和公式与完全平方差公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；
(2) (a - b)2 与 (b - a)2
(3) (-b +a)2 与(-a +b)2
(1) (-a -b)2 与(a+b)2
1、比较下列各式之间的关系：
相等
相等
相等
2、下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2
错
错
错
错
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x +y)2 =x2+2xy +y2